【《灰色系统原理及经典模型介绍综述》4900字】

灰色系统原理及经典模型介绍综述1.1灰色系统基本原理灰色系统的创立者邓聚龙1985年在《灰色系统（社会·经济）》书中提出了5条公理，对于灰色系统必须要满足这5条公理：公理1（差异信息原理）：“差异”是信息，凡信息必有差异。公理2（解的非惟一性原理）：信息不完全、不确定的解是非惟一的。公理3（最少信息原理）：灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最少信息”。公理4（认知根据原理）：信息是认知的根据。公理5（新信息优先原理）：新信息对认知的作用大于老信息。公理6（灰性不灭原理）：“信息不完全”（灰）是绝对的。对于灰色系统来说，其最重要以及应用最广泛的模型是G（1,1）模型。接下来重点介绍一下各种灰色模型及其应用。1.2灰色关联分析模型灰色关联分析模型是灰色系统里面很重要的一个模型。灰色关联分析是指对一个系统发展变化态势的定量描述和比较的方法，其基本思想是通过确定参考数据列和若干个比较数据列的几何形状相似程度来判断其联系是否紧密，它反映了曲线间的关联程度。其通过线性插值的方法将系统因素的离散行为观测值转化为分段连续的折线，然后对比几何形状的相似性，越相似，其相关序列之间的关联度越大，反之越小。其优点是不用考虑样本的大小，计算量不大，而且不用考虑样本的分布，正常情况下最后量化得出的结果不会出现与定性分析结果不同的情况。1.2.1灰色关联因素和关联算子集在进行量化分析时，由于系统行为特征映射量及各个相关因素的意义和量纲可能会存在不同，则要对它们进行算子作用，转化为无量纲化，并把负相关因素转化为正相关因素。定义1.1：为系统因素，其在序号上的观测数据为，，则称为因素的行为序列。并且对于观测数据中解释的不同，代表不同序列，具体如下表所示：表1.1：不同行为序列1为时间序号行为时间序列2为指标序号行为指标序列3为观测对象序号行为横向序列当然，对于表1.1这么三种行为序列数据都可以用来作关联分析。定义1.2：若为因素的行为序列，为序列算子，且上式中 其中为不为0的数，，就称为初值化算子，为初值化算子下的象，称为初值象。下面引入一个初值象序列的简单例子，假设有序列，求它的初值象序列。根据之前的式子，可得，同理也可得；；。因此最后可得。定义1.3：若为因素的行为序列，为序列算子，且上式中 其中，，就称为均值化算子，为初值化算子下的象，称为均值象。下面也引入一个均值象序列的算例，也以之前的数据序列为例，求它的均值象序列。首先计算，，同理也可得；；。因此最后可得。定义1.4：若为因素的行为序列，为序列算子，且上式中 其中，就称为均值化算子，为区间化化算子下的象，称为区间值象。下面也引入一个区间值象序列的算例，也以之前的数据序列为例，求它的区间值象序列。首先计算，，，，因此最后可得。定义1.5：若，为因素的行为序列，为序列算子，且其中 其中，且就称为逆化算子，为区间化化算子下的象，称为逆化象。下面也引入一个逆化象序列的算例，以数据序列为例，求它的逆化象序列。首先计算，同理可得，，因此最后可得定义1.6：若，为因素的行为序列，为序列算子，且其中 其中；就称为倒数化算子，为区间化化算子下的象，称为倒数化象。下面也引入一个倒数化象序列的算例，也以之前的数据序列为例，求它的倒数化象序列。首先计算，，，，因此最后可得定义1.7：称为灰色关联算子子集。定义1.8：若为系统因素集合，为灰色关联算子集，称为灰色关联子空间。1.2.2灰色关联公理与灰色关联度定义1.9：设为相关因素序列。给定实数，且有满足下面几个性质（1）规范性，（2）整体性对于有（3）偶对对称性对于有（4）接近性越小，越大则称为和的灰色关联度，当表明系统中任意两个系统多多少少都有关联的；为和在点的关联系数。上面4个性质被称为灰色关联公理。定义1.9：设系统行为序列这里令其中则满足灰色关联公理，为分辨系数；称为和的灰色关联度。1.2.3灰色绝对关联度命题1.1：设有系统行为序列，记折线为，令（1）当为增长序列时，；（2）当为衰减序列时，；（3）当为振荡序列时，符号不定。定义1.10：设有系统行为序列，序列算子，且有其中，，就称为初始零化算子，为的始点零化象，因此上式又可记为定义1.10：序列各个观测数据间时距之和为序列的长度，并且两个长度相同的序列其观测数据数量可以是不同的。下面给出了一个例子，在序列，和中的长度都为7，但是这3个序列中观测数据个数是不同的。定义1.11：假设序列和长度相同，则引入为和的灰色绝对关联度。并且灰色绝对关联度具有以下性质：（1）；（2）值只与和的几何形状有关，平移不会改变其值；（3）；（4）和在几何上越相似，值越大；（5）和平行，或围绕摆动，且位于之上部分的面积与位于之下部分的面积相等时，；（6）当或中观测数据变化时，值也会发生变化；（7）值与和的长度有关；（8）；（9）1.3灰色聚类评估模型灰色聚类这一概念，是我国邓聚龙教授根据“灰箱”理论，扩展出来的一个概念。…………..1.1.1灰色关联聚类模型设有个对象，每个对象有个不同的属性指标，具体序列如下所示：对于所有的；，计算出和的灰色绝对关联度，得到以下矩阵其中，，则称矩阵为属性指标关联矩阵。定义1.12：取定一个临界值，一般要求，时，则认定和为同类属性。定义1.13：属性指标在临界值下的分类称为属性指标的灰色关联聚类，且由实际需要进行确定，越趋于1，则分类越详细，每组中属性指标对应也会越少；越趋于0，则分类越粗糙，每组中属性指标对应也会越多。下面给出一个具体的例子，某班级选定班长，假设8个人竞选班长，评判指标有12条：（1）专业课能力（2）体育成绩（3）班级投票分（4）交际能力（5）合作能力（7）实践能力（8）老师评价（9）上课积极性（10）作业完成情况（11）潜力（12）自信。下面表1.2给出8个竞选对象各个评判指标的分数：表1.2：8名竞选者10个指标得分情况竞选者指标1234567857104685773878104694574674468108998677876109108596894726978810810756783491065477938810796对于所有的；，计算出所有和的灰色绝对关联度，（具体过程可见下一节的软件操作），由于下三角和上三角矩阵是对称一样的，所以下三角矩阵就省去不写了，具体得到的上三角矩阵如下表所示：表1.3：指标关联矩阵10.520.510.700.980.510.520.510.800.5110.610.510.520.630.710.740.510.7110.500.510.930.550.730.510.7710.670.500.510.510.820.5110.510.520.510.760.5110.560.770.510.8210.600.510.5910.510.9310.511基于表1.3对属性指标进行聚类，临界值可按需求取值，若，则10个指标各自都为一类。这里令，我们可从表1.3中挑出所有大于0.7的灰色绝对关联度，具体数据如下，，，，，，，，，从结果可知，，与为同一类；，，与为同一类；，，与为同一类；与为同一类；与为同一类；与为同一类；与为同一类；与为同一类。然后对以上类别取并集，最后10个属性指标可以得到总共2个聚类：，最后每个聚类根据相关的调查进行评价判断。1.1.2灰色变权聚类模型定义1.14：设有个对象，每个对象有个不同的属性指标，个不同灰度，根据对象关于指标的观测值将对象归入灰类，称为灰色聚类。定义1.15：把个对象关于指标的取值相应地分为个灰度，称之为指标子类。并且记指标子类的可能度为。定义1.16：（1）若可能度函数如图1.1所示，则称，，，为的转折点，则可能度函数可记为，被称为典型可能度函数。（2）若可能度函数如图1.2所示，则，为的转折点，无第一和第二转折点，则可能度函数可记为，被称为下限测度可能度函数。（3）若可能度函数如图1.3所示，则为的转折点，无第三四转折点，则可能度函数可记为，被称为上限测度可能度函数。（4）若可能度函数如图1.4所示，则，，为的转折点，无第三转折点，则可能度函数可记为，被称为适度测度可能度函数或三角可能度函数。定义1.17：称为指标子类的基本值，则（1）图1.1的指标子类可能度函数可表示为。（2）图1.2的指标子类可能度函数可表示为。（3）图1.3和1.4的指标子类可能度函数可表示为。定义1.18：设为指标子类的基本值，则定义为指标子类的权。定义1.19：定义为对象属于灰类的灰色变权聚类系数。定义1.20：称为对象的灰色聚类系数向量。并且称为灰色聚类系数矩阵。定义1.21：若，则称对象属于灰类。1.1.2灰色定权聚类模型写定义基于灰色定权聚类的值对研究对象进行归类则称为灰色定权聚类。当聚类指标的含义、量纲、数量、权重上存在差异时，使用灰色变权聚类模型可能会导致最后某些聚类指标参与聚类的影响很小。为了解决这个问题，则需要对各个聚类指标进行赋，即采用灰色定权聚类模型进行聚类。定义1.22：选定对象关于指标的观测值，为指标子类的可能度。若指标子类的权与无关，即对任意的有，因此可略写为，称为对象属于灰类的灰色定权聚类系数。定义1.23：选定对象关于指标的观测值，为指标子类的可能度。若对任意的，有，称为对象属于灰类的灰色等权聚类系数。1.4GM（1,1）模型GM（1,1）模型是GM系列模型中最基础的模型，也是是当前在灰色系统中最经典的也是应用最广的模型，它通过对部分已知信息进行提取，然后分析、模拟、预测得到最后的结果。本小节主要介绍GM（1,1）模型的基本形式、原理、推演过程及其拓展，以及残差GM（1,1）模型。1.4.1GM（1,1）基本模型其中GM（1,1）中的G代表Grey（灰色），M代表（Model），括号里两个1中的第一个1代表1阶方程，第2个1代表1个变量。定义1.24：设；称 为GM（1,1）模型的原始形式。定义1.25：设如下所示,其中称 为GM（1,1）模型的基本形式定理1.26设为非负序列：其中且；为的1-AGO序列：其中且；为的紧邻均值生成序列：其中,若为参数列，且 则GM（1,1）模型的最小二乘估计参数列满足定义1.27：设为非负序列，为的1-AGO序列，为的紧邻均值生成序列，，则称：为GM（1,1）模型的白化方程，也叫影子方程。定理1.28：若，则可得白化方程的解也称时间响应函数为 并且，GM（1,1）模型的时间响应序列为 此公式被称为均值GM（1,1）模型响应式。定义1.29：称GM（1,1）模型中的参数为发展系数，为灰色作用量。反映了及的发展态势。一般情况下，系统作用量应是外生的或者前定的，而GM（1,1）是单序列建模，只用到系统的行为序列（或称输出序列、背景值），而无外作用序列（或称输入序列、驱动量）。GM（1,1）模型中的灰色作用量是从背景值挖掘出来的数据，它反映数据变化的关系，其确切内涵是灰的。灰色作用量是内涵外延化的具体体现，它的存在，是区别灰色建模与一般输入输出建模（黑箱建模）的分水岭，也是区别灰色系统观点与灰箱观点的重要标志。定理1.30：GM（1,1）模型可以转化为 其中，定理1.31：设，且为GM（1,1）模型时间响应序列，其中则 定理1.32：GM（1,1）模型可以转化为 定理1.33：GM（1,1）模型可以转化为 定理1.34GM（1,1）模型可以转化为 定理1.35：GM（1,1）模型可以转化为 定理1.36：GM（1,1）模型可以转化为 定理1.37：GM（1,1）模型可以转化为 定理1.38：若为准光滑序列，则其GM（1,1）发展系数可表示为 其中定理1.39：离散GM(1,1)模型如下 并且离散GM（1,1）模型的时间响应式可表示为 定理1.40：原始差分GM(1,1)模型的时间响应式可表示为 定理1.41：均值差分GM(1,1)模型的时间响应式可表示为 1.4.2残差GM（1,1）模型若选用前面各式GM（1,1）模型，最后结果还是有差距达不到理想要求时，可以考虑采用残差GM（1,1）模型对之前的模型进行一个修正，以提高精度。定义1.42：设为原始序列，为的1-AGO序列，GM（1,1）模型的时间响应式为则称为导数还原值。定义1.43：设其中为的残差序列。若存在，满足（1），；（2），则称为可建模残差尾段，仍记为定义1.44：若用对进行修正，则修正后的时间响应式为为残差修正GM（1,1）模型，其中残差修正值的符号应与残差尾段的符号保持一致。若用和的残差尾段建模