2026届北京市昌平区实验中学高二上数学期末质量检测模拟试题含解析

2026届北京市昌平区实验中学高二上数学期末质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是A. B.C. D.2．圆与圆的位置关系是（）A.相离 B.内含C.相切 D.相交3．已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．如图，在三棱柱中，E，F分别是BC，中点，，则（）A.B.C.D.5．若圆C：上有到的距离为1的点，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.6．已知点P是双曲线上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则的最小值为（）A.4 B.3C.2 D.17．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的结果是（）A.128 B.64C.16 D.328．已知是上的单调增函数，则的取值范围是A.﹣1b2 B.﹣1b2C.b﹣2或b2 D.b﹣1或b29．已知下列四个命题，其中正确的是（）A. B.C. D.10．已知圆，圆相交于P，Q两点，其中，分别为圆和圆的圆心.则四边形的面积为（）A.3 B.4C.6 D.11．在平面上有一系列点，对每个正整数，点位于函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切．若，且,,的前项之和为，则（）A. B.C. D.12．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，且，点是抛物线的准线上的一动点，则的最小值为（）.A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．命题“，”是真命题，则的取值范围是________14．半径为的球的体积为_________15．若过点和的直线与直线平行，则_______16．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（a为常数）（1）讨论函数的单调性；（2）不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.18．（12分）设点P是曲线上的任意一点，k是该曲线在点P处的切线的斜率（1）求k的取值范围；（2）求当k取最大值时，该曲线在点P处的切线方程19．（12分）已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an；(2)求{an}前n项和Sn的最大值20．（12分）已知函数在处有极值，且其图象经过点.（1）求的解析式；（2）求在的最值.21．（12分）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，|AB|＝|AD|＝2，|CD|＝4，为的中点（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正切值22．（10分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质2、D【解析】先由圆的方程得出两圆的圆心坐标和半径，求出两圆心间的距离与两半径之和与差比较可得答案.【详解】圆的圆心为，半径为圆的圆心为，半径为两圆心间的距离为由，所以两圆相交.故选：D3、A【解析】由，结合基本不等式可得，由此可得，由此说明“”是“”的充分条件，再通过举反例说明“”不是“”的必要条件，由此确定正确选项.【详解】∵，∴（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），∴（当且仅当时等号成立），若，则，∴，所以“”是“”的充分条件，当时，，此时，∴“”不是“”的必要条件，∴“”是“”的充分不必要条件，故选：A.4、D【解析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可.【详解】，故选：D5、C【解析】利用圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】将圆C的方程化为标准方程得，所以．因为圆C上有到的距离为1的点，所以圆C与圆：有公共点，所以因为，所以，解得，故选：C6、C【解析】根据双曲线的对称性可得为的中点，即可得到，再根据双曲线的性质计算可得；【详解】解：根据双曲线的对称性可知为的中点，所以，又在上，所以，当且仅当在双曲线的顶点时取等号，所以故选：C7、C【解析】根据程序框图的循环逻辑写出执行步骤，即可确定输出结果.【详解】根据流程图的执行逻辑，其执行步骤如下：1、成立，则；2、成立，则；3、成立，则；4、成立，则；5、不成立，输出；故选：C8、A【解析】利用三次函数的单调性，通过其导数进行研究，求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题【详解】∵∴∵函数是上的单调增函数∴在上恒成立∴，即.∴故选A.【点睛】可导函数在某一区间上是单调函数，实际上就是在该区间上（或）（在该区间的任意子区间都不恒等于0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围，本题是根据相应的二次方程的判别式来进行求解.9、B【解析】根据基本初等函数的求导公式和求导法则即可求解判断.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B.10、A【解析】求得，由此求得四边形的面积.【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，所以，由、两式相减并化简得，即直线的方程为，到直线的距离为，所以，所以四边形的面积为.故选：A11、C【解析】根据两圆的几何关系及其圆心在函数的图象上，即可得到递推关系式，通过构造等差数列求得的通项公式，得出，最后利用裂项相消，求出数列前项和，即可求出.详解】由与彼此外切，则，，，又∵，∴，故为等差数列且，，则，，则，即，故答案选：.12、A【解析】求出点坐标，做出关于准线的对称点，利用连点之间相对最短得出为的最小值【详解】解：抛物线的准线方程为，，到准线的距离为2，故点纵坐标为1，把代入抛物线方程可得不妨设在第一象限，则，点关于准线的对称点为，连接，则，于是故的最小值为故选：A【点睛】本题考查了抛物线的简单几何性质，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】依题意可得，是真命题，参变分离得到在上有解，再利用构造函数利用函数的单调性计算可得.【详解】，等价于在上有解设，，则在上单调递减，在上单调递增，又，，所以，即故答案为：14、【解析】根据球的体积公式求解【详解】根据球的体积公式【点睛】球的体积公式15、【解析】根据两直线的位置关系求解.【详解】因为过点和的直线与直线平行，所以，解得，故答案为：316、【解析】运用导数的几何意义进行求解即可.【详解】由，所以，而，所以切线方程为：，令，得，令，得，所以三角形的面积为：，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解析】（1）求出的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即得解；（2）问题转化为，，，令，求出的最大值，从而求出的范围即得解【详解】解：（1）函数的定义域为，，①当时，，，，在定义域上单调递增②当时，若，则，在上单调递增；若，则，在上单调递减综上所述，当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）当时，，不等式在，上恒成立，，，，令，，，，在，上单调递增，（1），，的范围为，18、（1）（2）【解析】（1）先求导数再求最值即可求解答案；（2）由（1）确定切点，从而也确定的斜率就可以求切线.【小问1详解】设，因为，所以，所以k的取值范围为【小问2详解】由（1）知，此时，即，所以此时曲线在点P处的切线方程为19、（1）an＝－2n＋5.（2）4【解析】（Ⅰ）设{an}的公差为d，由已知条件，，解出a1＝3，d＝－2所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5（Ⅱ）Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2时，Sn取到最大值420、（1）（2），【解析】（1）由与解方程组即可得解；（2）求导后得到函数的单调区间与极值后，比较端点值即可得解.【详解】（1）求导得，处有极值，即，又图象过点，代入可得..（2）由（1）知，令得又，.列表如下：0230+4↘极小值↗1在时，，.【点睛】本题考查了导数的简单应用，属于基础题.21、（1）见解析；（2）.【解析】(1)证明BC⊥平面BDE即可；(2)以D为原点，DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，求平面BMD和平面BCD的法向量，利用法向量的求二面角的余弦，再求正切﹒【小问1详解】∵ADEF为正方形∴ED⊥AD又∵正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，且ED⊂平面ADEF∴ED⊥平面ABCD∵BC⊂平面ABCD∴ED⊥BC在直角梯形ABCD中，|AB|＝|AD|＝2，|CD|＝4，则，|BD|＝2，在△BCD中，，∴BC⊥BD∵DE∩BD＝D，DE与BD平面BDE，∴BC⊥平面BDE又∵BC⊂平面BEC∴平面BDE⊥平面BEC；【小问2详解】由(1)知ED⊥平面ABCD∵CD平面ABCD，∴CD⊥ED，∴DA，DC，DE三线两两垂直，故以D为原点，DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz：则,则设为平面BDM的法向量，则，取，取平面BCD的法向量为，设二面角的大小为θ，则，∴.22、（1）V（r）=（300r﹣4r3）（0，5）（2）见解析【解析】（1）先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及