（人教A版）选择性必修二高二数学上学期期末复习 第一章 空间向量与立体几何 十大题型归纳+随堂检测（拔尖篇）（解析版）

第页高二上学期期末复习第一章题型归纳（提高篇）题型1根据空间向量的线性运算求参数题型1根据空间向量的线性运算求参数1．如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若BE=AA．x=−12,y=12B．x=1【解题思路】根据空间向量的线性运算即可求解.【解答过程】根据题意，得；BE又∵BE=2．在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，OM=λMAλ>0，NA．13B．3C．12【解题思路】根据空间向量的线性运算即可得解.【解答过程】如图，

因为OM=λMA，N为BC的中点，所以又因为ON=12又MN=−34a+题型2题型2向量共线、共面的判定及应用1．如果A(1,5,−1),B(2,4,1),C(a,3,b+2)三点共线，那么a−b=（

）A．1B．2C．3D．4【解题思路】首先表示出AB、AC，依题意可得AB//AC，即可得到【解答过程】解：因为A(1,5,−1),B(2,4,1),C(a,3,b+2)，所以AB=又三点共线，所以AB//AC，所以AC=λAB，所以a−1=λ−2=−λb+3=2λ，解得2．下列条件能使点M与点A,B,C一定共面的是（

）A．OM=OA−C．OM=−OA−【解题思路】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.【解答过程】设OM=xOA+yOB+z对于A，OM=OA−对于B，OM=OA+对于C,OM=−OA−对于D，OM=−OA−OB+3题型3题型3空间向量的夹角及其应用1．已知向量a=(1,0,3)，单位向量b满足a+2b=2A．π6B．π4C．π3【解题思路】利用向量的模平方得向量积的值，再利用向量夹角公式求解【解答过程】因为a=(1,0,3)，所以|所以a+2b2=12，即a2所以cos〈a,b〉=2．在三棱锥P−ABC中，BC⊥平面PAB，平面PAC⊥平面ABC.

(1)证明：PA⊥平面ABC；(2)若PA=22AB=22BC,D为PC中点，求向量【解题思路】（1）由线面垂直和面面垂直的性质定理和判定定理证明即可；（2）由BD=12BA+【解答过程】（1）证明：过点B作BO⊥AC于点O，

∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC,BO⊂平面ABC，∴BO⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC,∴BO⊥PA.∵BC⊥平面PAB,PA⊂平面PAB,∴BC⊥PA.∴BC∩BO=B,BC,BO⊂平面ABC,∴PA⊥平面ABC.（2）由（1）知BC⊥PA,BC⊥AB,PA⊥AB，设AB=1，则PA=22∵D为PC中点，∴BDBD∴∴AP与BD夹角的余弦值为2题型4题型4利用空间向量的数量积求模1．如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，其中AB=2，AD=4，

A．9B．29C．47D．4【解题思路】由AC1=【解答过程】由AC1=因为底面ABCD是矩形，AB=2，AD=4，AA1=3，所以AC因为∠A1所以2ACAC2．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=

A．AC1=a+b+C．AC1=a+b+【解题思路】用向量的线性运算可直接求得AC【解答过程】在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，AD=1，∴A=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×3．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，AA1=22，(1)求AB⋅AD；(2)求∠DAA1；【解题思路】（1）利用数量积的公式求数量积即可；（2）利用余弦定理求出∠D1A（3）通过线性运算得到OA【解答过程】（1）AB⋅（2）因为ABCD−A1B1C1D1为平行六面体，所以四边形在三角形AA1D1中，AA1=22，又A1D1∥AD（3）由题意知，OA1=−1题型5题型5利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题1．若a,b,A．a−b，2a+b−c，3C．a−b，a+b−c，2b−c【解题思路】由空间共面向量定理求解即可.【解答过程】对于A选项，因为a−b+2a+b−c=3a−c，所以a−b，2a+b−c，3a−c共面，故A错误；对于B选项，设xa−b+y2对于D选项，因为2a−b+3a+b2．已知O、A、B、C为空间中不共面的四点，且OP=13OA+12A．34B．−18C．1【解题思路】根据平面向量基本定理得到PA=xPB+y【解答过程】∵P、A、B、C四点共面，∴必存在唯一一组有序实数对(x,y)使得PA=x∴OP−OA∵O、A、B、C四点不共面，∴x+y≠1，否则A、B、C三点共线，即O、A、B、C四点共面，与题意不符，∴OP=11−x−yOA−x1−x−y故选：C.题型6题型6利用空间向量基本定理解决夹角、距离、垂直问题1．已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长为2，底面ABC是边长为2的正三角形，∠A1AB=∠A1A．3B．2C．5D．6【解题思路】以AB,AC,AA【解答过程】依题意可知M是BC1=12=1故选：D.

2．已知斜三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=2，CC1=2，AA1与ABA．14B．155C．105【解题思路】设AB=a，AC=b，AA1=c，则AB【解答过程】设AB=a，AC=b，AA1=c，则BC1=b+BC1=a故选：D．题型7题型7空间向量平行、垂直的坐标表示1．已知空间向量a=1,2,−2，b=3,λ,μ−1，若a//A．1B．−1C．2D．−2【解题思路】利用空间向量平行的坐标表示即可得解.【解答过程】因为a//b，a=1,2,−2，b=所以λ+μ=1.故选：A.2．设x，y，z∈R，向量a=(x，1，1)，b=1，y，z，A．57B．36C．3D．9【解题思路】根据空间向量平行垂直条件求出参数，再根据模长公式计算即可.【解答过程】∵a⊥c，∴2x−4+2=0，即x=1，∵b//c，∴∴a=(1,1,1),b=(1,−2,1)，∴a+3．已知点A(1)若c=3，且c//BC(2)若ka+b与k(3)求cosa【解题思路】（1）由空间向量共线及模的坐标表示运算即可得解；（2）利用空间向量线性运算及垂直的坐标表示运算即可得解；（3）由空间向量夹角余弦值的坐标表示运算即可得解.【解答过程】（1）由题意，BC=−2,−1,2，c//又c=3，所以−2λ2+−λ2+2λ（2）由题意，a=所以ka又ka+b与k解得k=−52或k=2，所以k=−5（3）由（2）可得a=所以cosa题型8题型8利用空间向量研究点、线、面的距离问题1．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1DA．2B．233C．1【解题思路】建系，求利用空间向量设两条直线上的点为M,N，根据题意结合空间中的两点间距离公式运算求解.【解答过程】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则A2,0,0可得AD1=则AM=x0−2,0,z0，可得同理可得：N2−2μ,2μ,2则MN=22μ−λ对λ22+λ−12=32λ2−2λ+1=32λ−2

2．如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2AD=4,PD=455,E是PA的中点，FB=2PF，则点

A．3105B．2105C．【解题思路】如图，以D为坐标原点，DA,DC,【解答过程】如图，以D为坐标原点，DA,DC,则D0,0,0,C0,4,0,A2,0,0,B2,4,0所以E1,0,255,F设n=x,y,z是平面

则n⋅DE=x+255z=0n⋅DF=故选：B.3．如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD

(1)在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM//平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由；(2)若二面角P−CD−A的大小为45°，求P到直线CE的距离.【解题思路】（1）作出辅助线，证明出四边形BCDE为平行四边形，即EB//CD，故CM//BE，从而找到点M的位置；（2）先求出∠PDA是二面角P−CD−A的平面角，大小为45∘，得到PA=AD，设AD=2，则BC=CD=12AD=1，建立空间直角坐标系，求出EC方向上的单位向量，求出【解答过程】（1）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=12AD，∵BC=CD=∵AD//BC，即ED//BC，∴四边形BCDE为平行四边形，即EB//CD.∵AB∩CD=M，∴M∈CD，故CM//BE，∵BE⊂平面PBE,CM⊄平面PBE，∴CM//平面PBE，∵M∈AB,AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点MM=AB∩CD，使得直线CM//平面PBE

（2）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90∘，即PA⊥AB，且异面直线PA与CD所成的角为90∘又AB∩CD=M,AB,CD⊂平面ABCD，∴AP⊥平面ABCD.∵AD⊂平面ABCD,∴PA⊥AD，又AD⊥CD,PA⊥CD,AD∩PA=A,AD,PA⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD，因此∠PDA是二面角P−CD−A的平面角，大小为45∘.∴PA=AD不妨设AD=2，则BC=CD=1以A为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系A−xyz，∴P0,0,2∴EC=−1,1,0,EP则EP在EC上的投影的绝对值为|EP所以P到直线CE的距离为EP2题型9题型9利用空间向量求空间角1．已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，点E，F分别是B1C

A．36B．1117C．176【解题思路】建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，根据向量法求解即可.【解答过程】如图，

建立空间直角坐标系，则A2,0,0，D10,0,4，C0,2,0，E1,2,4，F2,2,2，则M1,1,3，AM=−1,1,3，CE故选：D.2．已知平面α与平面β的法向量分别为n1与n2，平面α与平面β相交，形成四个二面角，约定：在这四个二面角中不大于90∘的二面角称为两个平面的夹角，用θ表示这两个平面的夹角，且cosθ=cosn1,n2=n1⋅n2n

A．63B．42121C．−【解题思路】建立空间直角坐标系，写出B，E，F点的坐标，分别求出平面BEF和平面BCF的法向量，再根据两个平面的夹角公式直接计算出结果即可.【解答过程】以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，可得B(2,0,0)，E(0,0,1)，F(1,2,0)，所以EB=(2,0,−1)，EF=(1,2,−1)，设平面BEF的法向量为a=(x,y,z)，则有a⋅EB=0a⋅EF=0，得题型10题型10利用空间向量研究存在性问题1．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱B1①存在点P，使得PA1=PE；②存在点P，使得B③△PA1E的面积越来越小；其中，所有正确的结论的个数是（

）A．1B．2C．3D．4【解题思路】设正方体棱长为2,DP=m，求出PA12,PE2，由PA12=PE2解得m(0≤m≤2)，确定①正确，考虑到设P(0,m,0)，(0≤m≤2)，由空间向量法求得P到A1【解答过程】设正方体棱长为2,DP=m，由AA1⊥平面ABCD,AP⊂平面ABCD得A所以PA12由8+m2=5+(2−m)2得m=正方体中，CD//平面A1B1C1D1,P∈CD，所以P到平面A1B以DA,DC,DD1为正方体棱长为2，则A1(2,0,2),E(1,2,2),B(2,2,0),D1(0,0,2)，A1E=(−1,2,0),BD1=(−2,−2,2)设P(0,m,0),(0≤m≤2)，PE所以cosPE,A1E=(1,2−m,2)⋅(−1,2,0)

d=|由二次函数性质知0≤m≤2时，y=(m−4)2+20递减，所以d递减，又A1E=2．正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高，E､F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角(1)求证：直线AB∥平面DEF；(2)求二面角E−DF−C的余弦值；(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？若存在，请指出P点的位置，若不存在，请说明理由.【解题思路】(1)判定线面关系，可以从线线关系寻找，由线段中点，可利用中位线性质的线线平行，再利用线面平行判定定理确定；(2)求二面角，一般利用空间直角坐标系，结合空间向量的数量积解决：先建立空间直角坐标系，再分别计算两平面的法向量，最后利用空间向量数量积求夹角的余弦值，经判断所求二面角为锐角即可得出结论；(3)确定点的位置，一般利用空间直角坐标系求出点的坐标，再明确位置关系.要求点P的坐标，只需列两个独立条件，一个为在直线上，另一个为垂直，利用这两个条件可得点P的位置，进而求解.【解答过程】（1）如图，在△ABC中，由E､F分别是AC､又AB⊄平面DEF,EF⊂平面DEF,∴AB∥平面DEF.（2）由题知，AD⊥CD，平面ADC⊥平面BDC，且交线为DC，∴AD⊥平面BDC，因为BD,DC⊂平面BDC，所以AD⊥BD,AD⊥DC，又已知BD⊥CD，∴AD,BD,CD两两垂直，以点D为坐标原点，直线DB､DC､DA为x轴､y则A0,0,2平面CDF的法向量为DA=0,0,2，设平面EDF的法向量为则DF·n=0DE·n=0∴二面角E−DF−C的余弦值为217（3）设Px,y,0，因为AP⊥DE，则AP又BP=∵BP∥PC,∴x−2∴在线段BC上存在点P43,234．如图所示，在三棱锥P−ABC中，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．

(1)证明：BC⊥平面PAB；(2)若PA=AB=6，BC=3，在线段PC上（不含端点），是否存在点D，使得二面角B−AD−C的余弦值为105，若存在，确定点D【解题思路】（1）过点A作AE⊥PB于点E，由面面垂直性质定理可得AE⊥平面PBC，由此证明AE⊥BC，再证明PA⊥BC，根据线面垂直判定定理证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求平面ACD，平面ABD的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条件列方程确定点D的位置；【解答过程】（1）过点A作AE⊥PB于点E，因为平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC=PB，AE⊂平面PAB，所以AE⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC，又PA⊥平面ABC，BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC，又因为AE∩PA=A，AE，PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．

（2）假设在线段PC上（不含端点），存在点D，使得二面角B−AD−C的余弦值为105以B为原点，分别以BC、BA为x轴，y轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则A0,6,0，B0,0,0，C3,0,0，P0,6,6，AC=3,−6,0，设平面ACD的一个法向量为m=x,y,z，m⋅AC=0,m⋅AP=0,所以m=2,1,0为平面因为D在线段PC上（不含端点），所以可设PD=λPC=所以AD=AP+PD=n⋅BA=0,n⋅AD=0,即6y=0,所以n=2λ−2,0,λ为平面ABD的一个法向量，cosm由已知可得2×2λ−25×2λ−22+λ2=−105，解得λ=23或λ=2

第一章《空间向量与立体几何》综合检测卷（培优卷）1．已知，若，则m的值为（

）A．3B．C．D．4【答案】A【分析】根据向量垂直时，数量积等于0，列出相应方程，求得答案.【详解】由题意可得，故，则，故选：A2．已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量．【详解】即故选：D．3．已知边长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则点B到平面AEF的距离为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】以DA，DC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求出平面AEF的法向量，进而可求出点B到平面AEF的距离.【详解】以DA，DC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，.设平面的法向量为，，则，即令，则，得.又，所以点B到平面AEF的距离为故选：C4．如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（

）A．1B．C．D．【答案】D【分析】先将转化为，再按照数量积的定义及运算律计算即可.【详解】由题意得，故.故选：D.5．在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夹角公式求解.【详解】解：，则，，，，所以，故选：D6．如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线．(1)证明：平面；(2)若，当三棱锥的体积最