湖南省湘一名校联盟2026届高三上学期12月质量检测（二模）数学试题（含答案）

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高三数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘

贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

北

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合A={1,2,3,4,5},B={xlx=3k-2,k∈I*},则A∩B=

A.{1,4}B.{2,5}C.{1}D.

上2.在△ABC中，AB=3,BC=5,AC=7,则△ABC最大的内角为

ABCD

3.设等差数列{an}的前n项和为Sₙ,若S₄-a₃=18,S₂=7,则{an}的公差为

梨A.2B.3C.4D.5

4.在平面直角坐标系x0y中，A,B是不同于原点0的两个点，点S关于点A的对称点为M,点

S关于点B的对称点为N,设OA=a,OB=b,则MN=

A.a+bB.a-bC.2(a-b)D.2(b-a)

5.若f(x)=sin(x+2φ)(0<φ<π)为偶函数，则f(φ)=

ABC.0D

6.在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=6,BC=4,E,F分别是棱AB,BC的中点，点P满足CP=

ACC₁(0<λ<1),若过点E,F,P的平面截长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁所得的截面为五边形，

则实数λ的取值范围是

ABCD

数学试题第1页(共4页)

7.已知,则sin(2α-β)=

ABCD

8.已知抛物线y²=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点(A在第一象限),线

段AF,AB,BF的中点分别为M,P,N,若IMPI=2INPI,则l的斜率为

AB.-1C.-√2D.-2√2

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设(2x-1)¹⁰=ao+a₁x+a₂x²+…+a₁ox¹⁰,则

A.a₀=-1B.a,=-5120

D.a₁+2a₂+…+10a10=20

10.已知函数f(x)=xe+1,则

A.两个函数的图象在x=0处的切线互相平行

B.存在实数a,b,使得f(a)=g(b)

C.函数f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递增

D.f(x)的图象可由g(x)的图象绕某个点旋转180°得到

11.已知双曲线)的左、右焦点分别为F₁,F₂,且F₂到C的渐近线的距离为2.

过点F₁且不与x轴重合的直线与C的左、右两支分别交于点B和点A,AB的中点为D,坐

标原点为0,则下列说法正确的是

A.b=2

B.210DI<IBF₁I+IAF₂I

C.若DF₂//OB,则1AF₂I+IBF₂I=2IABI

D.若IAF₂I=IBF₂I,则△ABF₂的面积为4√3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知复数z≠0,,则Izl=

13.已知正数a满足logg(log,a)=5,则log₂(log₃a)=

14.已知集合U={1,2,3,4,5},甲、乙两人分别从U的所有子集中随机抽取一个集合，两人的

抽取结果相互独立，设X为两人取到的集合中相同元素的个数，则X的数学期望E(X)=

数学试题第2页(共4页)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

记数列{a}的前n项和为S。,已知a₁=1,

(1)求{a。}的通项公式；

(2)设b=nan,求数列{b}的前n项和Tn.

16.(15分)

某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统

计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1～16年的居民存款余额y(单位：万亿

元)的散点图，如图所示：

160居民存款余额y

140

120

100

80

0

678910111213141516年份序号1

(1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2

年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率；

(2)由散点图知，y和t的关系可用经验回归模型y=a·e“进行拟合，求y关于t的经验回

归方程.

参考数据：设z;=Iny;,则z≈4,

参考公式：对于一组数据(t;,z;)(i=1,2,3,…,n),其经验回归直线z=&+3t的斜率和截

距的最小二乘估计分别为

数学试题第3页(共4页)

17.(15分)

如图，在正四棱锥P-ABCD中，点E在棱PB上，点F在棱PD上，且BF⊥AE.

(1)证明：BF⊥平面AEC;

(2)若E,F分别为所在棱的中点，求平面AEC与平面PAB的夹角的余弦值.

A

18.(17分)

已知函

(1)若a=1,求f(x)的最大值；

(2)证明f(x)存在唯一的极大值点x₀,且f(x₀)≥0;

(3)若对任意的x>0,不等式.恒成立，求a的取值范围.

19.(17分)

已知椭圆的左、右焦点分别为F,F₂,上顶点和右顶点分别为M,

(1)求E的方程.

(2)已知过点F₂的直线l与E交于A,B两点，过点F₂且与l垂直的直线与E交于C,D两

点，B,D在x轴的上方，P,Q分别为AB,CD的中点，直线BD与AC交于点H.

(i)求证：直线PQ过定点；

(ii)求△PQH面积的最小值.

数学试题第4页(共4页)

高三数学·答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.答案A

命题透析本题考查集合的表示与交运算.

解析由题可知B={1,4,7,…,从而A∩B={1,4}.

2.答案C

命题透析本题考查余弦定理的应用.

解析因为三条边中AC最大，所以最大的内角为B,由余弦定理得,所以

3.答案B

命题透析本题考查等差数列的基本量的计算.

解析设公差为d,则解得

4.答案D

命题透析本题考查平面向量的线性运算.

解析如图，易知2AB=M,因为AB=OB-OA=b-a,所以MN=2(b-a).

N

5.答案A

命题透析本题考查三角函数的性质.

解析若f(x)为偶函数，又0<φ<π,则或,若,贝,若

,所以.

6.答案B

命题透析本题考查长方体的截面问题.

解析如图所示，要使点E,F,P所在的截面为五边形，则截面与棱DD₁相交.因为E,F分别是AB,BC的中点，

—1—

所以CN=BE=3,,因为DQ≤DD₁,所,即

M

7.答案B

命题透析本题考查三角恒等变换的应用.

解析由,得sin2αcosβ=2cos2αsinβ,又sin(2α+

,所以,因此sin(2α-β)=sin2αcosβ-

8.答案D

命题透析本题考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系.

解析易知F(1,0),设直线l:x=my+1,与抛物线方程联立，得消去x,得y²-4my-4=0,设A(x₁,

y₁),B(x₂,y₂),则y₁+y₂=4m,y₁Y₂=-4.从而IFAI=x₁+1,IFBI=x₂+1,IABI=x₁+x₂+2,因此IMPI=

5.由IMPI=21NPI,得x₂=2x₁+1,即y2=2y²+4.而,代入可

得y₂=-2√2(正根舍去),由,解得,从而l的斜率为-2√2.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的

得0分.

9.答案BD

命题透析本题考查二项式定理的应用.

解析对于A,令x=0,则ao=(-1)¹⁰=1,故A错误；

对于B,可知x⁹的系数为C|o×2⁹×(-1)¹=-5120,故B正确；

对于C,令x=1,则ao+a₁+…+a₁0=1①,令x=-1,则ao-a₁+…+a10=31②,可得a₂+a₄+…+a10=

,故C错误；

对于D,对原式两边求导，有20(2x-1)⁹=a₁+2a₂x+…+10a₁ox⁹,令x=1,得a₁+2a₂+…+10a₁₀=20,故D

正确.

—2—

10.答案ACD

命题透析本题考查利用导数研究函数的性质.

解析对于AJ'(x)=(x+1)e,所以f'(0)=g'(0)=1,又f(0)≠g(0),故A正确；

对于B,由导数分析单调性可得f(x)的最小值为,g(x)的最大值为,显然f(-1)>

g(1),故不存在实数a,b,满足f(a)=g(b),故B错误；

对于C,设h(x)=f(x)-g(x),则h'(x)=f'(x)-g'(x)=(eˣ+e⁻*)x+(e-e⁻*),当x>0时，(eˣ+e⁻)x>

0,e⁵-e⁻>0,所以h'(x)>0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增，故C正确；

对于D,因为f(-x)+g(x)=1,所以f(x)与g(x)的图象关于点中心对称，故D正确.

11.答案ABC

命题透析本题考查双曲线与直线的位置关系.

解析对于A,由双曲线的焦点到渐近线的距离为b,可知b=2,故A正确；

对于B,如图(1),取F₂B的中点E,连接ED,OE,可知1,由三角形的三边关

系，,因此210DI<IBF₁I+IAF₂I,故B正确；

对于C,如图(2),可知OB是△DF₁F₂的中位线，因此IBDI=IDAI=IBF₁I,又IBF₂I-IBF₁I=IABI+IBF₁1-

IAF₂I,因此IAF₂I+IBF₂I=IABI+2IBF₁I=21ABI,故C正确；

对于D,易知C的半焦距c=√5,如图(3),设IAF₂I=IBF₂I=x,则IBF₁I=x-2,IAF₁I=x+2,所以IABI=4,

因此IBDI=IADI=2,IDF₁I=x,连接DF₂,可知IDF₂I=√x²-4,在Rt△DF₁F₂中，有x²+x²-4=4c²=20,

解得x=2√3,因此IDF₂I=2√2,从而△ABF₂的面积为4√2,故D错误.

图(1)图(2)

图(3)

—3—

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.答案2

命题透析本题考查复数的模.

解析由得z²=2z,所以1zl²=21zl=2Iz1,又z≠0,故lzl=2.

13.答案16

命题透析本题考查对数的运算性质.

解析

14.答案

命题透析本题考查离散型随机变量的数学期望.

解析方法一：X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.

设甲、乙两人抽取的子集分别为A,B.因为U的子集一共有2⁵=32个，故所有的抽取结果有32²=1024种.

要得到X=k(k=0,1,2,3,4,5),先从5个元素中选k个公共元素，有C'种方式.对于剩余的(5-k)个元素，每个

元素有3种状态：①仅在A中；②仅在B中；③既不在A中，也不在B中，故共有3⁵-种方式.所以

所以X的分布列为

X012345

P

方法二：设甲、乙两人抽取的子集分别为A,B.

对于U中的每个元素i,定义

对每个i∈U,U有一半子集中含有i,另一半子集不含i,即,所以

所以,故

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.命题透析本题考查数列的通项公式与错位相减法求和.

解析(1)当n=1时，,得a₂=1.…………(1分)

当n≥2时，由n

得,整理得aa+1=3a,………………(3分)

即{a从a₂=1开始成公比为3的等比数列，所以aₙ=3"⁻²(n≥2).

—4—

故……………(5分)

(2)由(1)得

当n=1时，T₁=b₁=1(6分)

当n≥2时，T,=1+2×1+3×3+4×3²+…+(n-1)×3”⁻³+n×3”-²,

则3T。=3+2×3+3×3²+4×3³+…+(n-1)×3”-²+n×3”-¹,(8分)

,………(11分)

所以,T₁=1也满足该式，

故…………………(13分)

16.命题透析本题考查线性回归，概率的计算.

解析(1)由题意，16年中有4年居民存款余额超过100万亿元，………(2分)

故所求概率…………(5分)

(2)∵y=a·e”,∴z=Iny=Ina+bt,………………………(7分)

由题知

…………(10分)

∴Ina=z-bī≈4-0.1×8.5=3.15,(13分)

∴z=Iny=0.1t+3.15,故y=23.34e°.1(15分)

17.命题透析本题考查空间位置关系的推理与证明、两平面夹角的计算.

解析(1)连接BD,与AC交于点0,连接PO,如图.

根据正四棱锥的性质可知AC⊥BD,PO1平面ABCD.

所以PO⊥AC,又AC⊥BD,BD∩PO=0,所以AC1平面PBD,

又BFC平面PBD,所以AC⊥BF(4分)

又BF⊥AE,AE∩AC=A,

所以BF1平面AEC(6分)

(2)连接OE.由(1)知BF1平面AEC,所以BF⊥OE.

因为0是BD的中点，E是PB的中点，所以OE//PD,所以BF⊥PD.

又F是PD的中点，所以PB=BD,从而△PBD是正三角形.………………(7分)

如图，以直线OA,OB,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.………(8分)

—5—

C

设OA=1,则A(1,0,0),B(0,1,0),P(0,0,√3),………(9分)

因为BF⊥平面AE,所以平面AEC的一个法向量为m=(0,-√3,1).…………(10分)

设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),因为PA=(1,0,-√3),PB=(0,1,-√3),

所以不妨取n=(√3,√3,1).…………………(13分)

所以

所以平面AEC与平面PAB的夹角的余弦值为………(15分)

18.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质.

解析(1)当a=1时……(1分)

易知h(x)=-1nx-x+1在(0,+∞)上单调递减，且h(1)=0,

所以当x∈(0,1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(1,+∞)时，f'(x)<0ʃ(x)单调递减，…………(3分)

因此f(x)的极大值即最大值，为f(1)=0.…………………(4分)

②

设g(x)=-Inx-ax+1,因为a>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减，

又g(e)=-ae<0,当x→0时，g(x)→+∞,

因此3x₀∈(0,e),使得g(x₀)=0,即f'(x₀)=0,即-Inx₀-ax₀+1=0.………………(6分)

则当x∈(0,xo)时f'(x)>0f(x)单调递增，当x∈(x₀,+∞)时f'(x)<0f(x)单调递减，

因此f(x)存在唯一的极大值点x₀.·…………(7分)

当且仅当时等号成立，得证.………(9分)

(或者：因为x。是f(x)的极大值点也是最大值点，所以f(x₀)≥f(1)=0.)

—6—

3周,因为x>0,所以2(1-ax)Inx<1.……(10分)

①当x=1时，不等式恒成立；………………(11分)

②当x>1时，不等式转化为

设函数,则

令m'(x)=0,解得x=e(在(0,1)内的根舍去),分析单调性可得m(x)在(1,+∞)内有唯一极大值点x=e,

即,从而………………………(14分)

③当0<x<1时，不等式转化为

由前面的分析可知在(0,1)内有唯一极小值点,此时m(x)≥m(e-2)=2√e,

从而a<2√e.

综上，a的取值范围是

19.命题透析本题考查椭圆的方程、几何性质，直线与椭圆的位置关系.

解析(1)设E的半焦距为c(c>0).由题知，M(0,b),N(a,0),F₁(-c,0),

由椭圆的几何性质知，,IF₁NI=a+c=3,………(1分)