湖北省重点高中智学联盟2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 含解析

2025年秋季高一年级12月月考

数学试题

一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.下列表述中正确的是（）

A.0B.3,11,3

C.D.3,11,3

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合与元素的关系依次判断各选项即可.

【详解】对于A，0是含一个元素0的集合，不含任何元素，故A错误；

对于B，集合元素具有无序性，故正确；

对于C，是包含空集的集合（有一个元素），是空集（无元素），故错误；

对于D，3,1表示有序数对3,1的集合，1,3表示有序数对1,3的集合，有序数对3,1与1,3不

相等，故这两集合不相等，故错误；

故选：B

3x12

2.已知集合Ax|1，集合Bx|xa3x3a0，若“xA”是“xB”的充分

x3

不必要条件，则实数a的取值范围为（）

A.,1B.,1C.1,D.1,

【答案】A

【解析】

【分析】首先需要分别求解集合A和集合B，然后根据充分不必要条件的定义，确定集合A与集合B的关

系，进而求出实数a的取值范围.

3x13x12x22x2x30

【详解】由1得：10，∴，

x3x3x3x30

解得：1x3，A1,3；

由x2a3x3a0得：x3xa0；

“xA”是“xB”的充分不必要条件，则A是B的真子集，

当a3时，B3,a，不满足题意；

2

当a3时，Bx|x30，不满足题意；

当a3时，Ba,3，则需满足a1；

综上所述：实数a的取值范围为,1.

故选：A.

3.下列命题中的真命题是（）

A.xR,x210

B.xR,3xx2

C.函数y=x2和函数y2x的图象在定义域R内有且只有三个交点

D.“a2,b2”是“ab4”的充要条件

【答案】C

【解析】

【分析】通过推理分析判断A项不正确；通过举反例可判断B项不正确；利用作图观察分析可判断C项；

利用充要条件的判断方法判断D项.

【详解】对于A，因为yx211，所以不存在xR，满足x210，故A错误；

对于B，当x0时，3x0x2，即3xx2不成立，故B错误；

对于C，由作图可知，两函数图象在第二象限有一个交点，在第一象限有2,4,4,16两个交点，

故共有三个交点，即C正确；

对于D，由“a2,b2”易得“ab4”，即“充分性”成立；

若“ab4”，则“a2,b2”不成立，如a3,b2，满足ab64，

但推不出a2,b2，即“必要性”不成立.

故“a2,b2”是“ab4”的充分不必要条件，故D错误.

故选：C.

4.利用二分法求方程log2x7x的近似解，可以取的一个区间是（）

A.2,3B.3,4C.4,5D.5,6

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数fxlog2xx7，易知fx在0,上单调递增，进而根据f40，f50

即可判断.

【详解】解：由log2x7x得log2xx70，

构造函数fxlog2xx7，

因为ylog2x与yx7在0,上单调递增，

所以fx在0,上单调递增，

因为f3log2337log2340，f4log24476710

f5log2557log2520，

所以fx的零点位于区间4,5，也即方程log2x7x的近似解在区间4,5.

故选：C

axa0且a1,x1

5.若函数fxa，且满足对任意的实数x1,x2,(x1x2)都有

6x2,x1

3

成立，则实数的取值范围是（）

fx1fx2·x1x20a

A.1,B.6,8C.6,18D.8,18

【答案】C

【解析】

【分析】由条件可得f(x)在R上单调递增，结合分段函数的单调性要求即可求解.

【详解】解：∵对任意的实数都有成立，

x1,x2,(x1x2)fx1fx2·x1x20

axa0且a1,x1

∴函数fxa在R上单调递增，

6x2,x1

3

a1

a

∴60,解得a6,18，

3

1a

a612

3

故选：C

2

6.设函数fxxaxblnx，若fx0恒成立，则a的最大值为（）

A.2B.1C.2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】由对数函数的性质得到函数gxx2axb在0,1和1,上函数值的正负，由二次函数

的性质可知方程x2axb0的根的情况，从而建立关系式，然后求得a的最大值.

【详解】fxx2axblnx,fx0，

当x0,1，lnx0，当x1,，lnx0

∴当x0,1时，x2axb0，当x1,时，x2axb0，

∵函数gxx2axb是一个开口向下的二次函数，

∴x2axb0的一个根小于等于0，一个根为1，

g0b0

则，ab11，所以a的最大值为1，

g11ab0

故选：D

2112

7.设abc0，则2a8ac16c取最小值时，bc的值是（）

abaab

222

A.2B.C.D.

234

【答案】D

【解析】

2112211

【分析】2a8ac16c可变形为，再通

a4cabaab

abaababaab

过基本不等式求其最小值并确定取最小值时bc的值即可.

21122211

【详解】因为2a8ac16ca4caabab

abaababaab

211

，

a4cabaab

abaab

2

因为a4c0，当且仅当a4c时等号成立，

11

因为ab0，所以ab2ab·2，当且仅当ab1时等号成立，

abab

11

因为aab0，所以aab2aab·2，当且仅当aab1时等号成

aabaab

立，

2112

所以2a8ac16c0224，

abaab

222

当且仅当a4c0，ab1，aab1，即a2，b，c时，等号成立，此时bc.

244

故选：D.

fx1x2fx2x1

8.已知函数fx是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数，x1,x2，都有0，

x1x2

2

记a100f0.1,bf1,clog23flog12，则（）

3

A.abcB.acbC.cabD.bac

【答案】B

【解析】

fxfx

【分析】构造函数gx，函数gx在0,上单调递增，化简a,b,c为的形式，即可得

xx

出答案.

fx

【详解】构造函数gx，可知函数gx为偶函数，不妨设x2x10，

x

fx1x2fx2x1

gx2gx1，

x1x2

因为x2x10，所以x2x10,x1x20,fx1x2fx2x10，

所以gx2gx10，即gx2gx1，因此函数gx在0,上单调递增；

f0.12f1flog2

又23

a100f0.12,b,clog23flog12

0.113log32

1

由于1log20.12，故acb.

32

故选:B

二、多选题：（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）

2

9.设A{x|x4x30},Bx|ax10，若ABB，则实数a的取值可以是（）

1

A.0B.C.1D.3

3

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据题意，求得A1,3，且BA，分B和B，两种情况讨论，列出方程，即可求

解.

【详解】由集合A{x|x24x30}1,3，因为ABB，所以BA，

当B时，即方程ax10无实根，可得a0；

1

当B时，可得B{x|ax10}，

a

1

若1，解得a1，此时B1，满足BA；

a

11

若3，解得a，此时B3，满足BA，

a3

1

综上可得，实数a的值可以是0或1或.

3

故选：ABC.

41

10.设a0,b0，且1，则下列不等式成立的是（）

ab

A.a4B.ab16C.4ab25D.4a2b2126

【答案】AC

【解析】

1

b0

【分析】根据4判断A；直接利用基本不等式求解判断B；结合基本不等式“1”的用法判断C；

1

a

利用ab5特殊值法检验判断D，也可以利用赫尔德不等式或权方和不等式求解判断D.

4111

1,b0

【详解】解：选项A：因为a0,b0，且4，由b0可知4,又a0，解得a4，

ab11

aa

故A正确，

41414141

选项B：由12，当且仅当时取等号，此时，解得ab16，故B错误；

abababab2

414b4a4b4a

选项C：因为4ab4ab17172·25，

ababab

4b4a

当且仅当时取等号，此时ab5，故C正确，

ab

选项D：方法一：ab5代入4a2b2125，故D错误，

3

4141223

方法二：赫尔德不等式4ab641125，当且仅当ab5时等号成立,

abab

故4a2b2的最小值为125，小于126，故D错误；

333

414212412

22

方法三：权方和不等式111，即4ab125，当且仅当ab5时

ab

4a22b224a2b22

等号成立，故4a2b2的最小值为125，小于126，故D错误；

故选：AC.

11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列

为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx

1ex

称为高斯函数，例如：4.55，3.13，已知函数fx，则关于函数gxfx

21ex

的叙述中正确的（）

A.gx是偶函数B.fx是奇函数

C.fx在R上是减函数D.gx的值域是0,1

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于选项A，通过计算g1和g1的值，从而判断gx不是偶函数；对于选项B，利用奇函

数定义，通过计算fxfx0，证明fx是奇函数；对于选项C，通过分析fx的表达式，得出fx

在R上是减函数；对于选项D，先求fx的值域，再根据高斯函数定义，得出gx的值域是1,0.

e1

【详解】∵g1f11，

1e2

1

e111

g1f10，

1

12e12

e

∴g1g1，则gx不是偶函数，故A错误；

1ex

∵fx的定义域为R，

21ex

1

ex1ex1xex

fxfxe1

xx1x

1e21e211e

ex

1ex

10，

1ex1ex

∴fx为奇函数，故B正确；

ex11ex1111

∵fx，又yex在R上单调递增，

1ex21ex221ex

11

∴fx在R上是减函数，故C正确；

21ex

11111

∵ex0，∴1ex1，则01，可得

1ex221ex2

11

即fx，∴gxfx1,0，故D正确.

22

故选：BCD.

三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）

1

0

12.计算：0.06432log4931________________.

13

【答案】##6.5

2

【解析】

【分析】根据题意，利用指数幂与对数的运算性质，准确计算，即可求解.

【详解】根据指数幂与对数的运算公式，可得：

1

1

032

2log235513

0.06432log4931()32212log23131

5222

13

故答案为：.

2

已知函数xx2，则不等式

13.fx20262026log2026x1x2026fxf4x54052

的解集为________________.

【答案】1,

【解析】

【分析】设gxf(x)2026，利用函数的奇偶性定义证明gx是R上的奇函数，分析判断其为R上

的增函数，利用以上函数的性质求解抽象不等式即可.

【详解】令xx2，函数的定义域为，关于原点

gxfx202620262026log2026x1xR

对称，

xx2xx1

由gx20262026log(x)1x20262026log2026

20262

x1x

xx2，即为定义在上的奇函数.

[20262026log2026(x1x)]g(x)gxR

因x和x为增函数，设2，则在定义域内单调递增，

y2026y2026tx1xylog2026t

且2在上单调递增，则2在上是单调递增函数，

tx1xRylog2026(x1x)R

故函数gx在R上是单调递增函数.则fxf4x54052等价于gxg4x50，

即g4x5gxgx，所以4x5x，解得x1.

故答案为：1,.

22222

14.已知集合Aa,b,c,d,e,Ba,b,c,d,e，a,b,c,d,eN，设abcde，且

ABa,d,ad10，又AB中所有元素之和为234，则a____________，

ce________________.

【答案】①.1②.15

【解析】

【分析】根据abcde，ABa,d得a2a得a1，进而得d9，此时b,c中必定有一个

为3，通过假设b2,c3不成立得b3，再根据c2ce2e140即可得e10，c5.

【详解】因为a,b,c,d,eN，abcde，

所以a2b2c2d2e2

因为ABa,d，所以aA,aB，dA,dB，

若a2,则a24,显然结合B中最小的元素不小于4，此时无法满足aB,

所以a1,

因为ad10，所以d9

因为ABa,d,dB

所以b,c中必定有一个为3，

2

若b2,c3，则AB1,2,3,4,9,81,e,e，由于AB中所有元素之和为234，故e2e134，此

方程没有整数解，故b2,c3不成立，

所以b3，此时A1,3,c,9,e,B1,9,c2,81,e2，AB1,3,9,81,c,c2,e,e2

因为AB中所有元素之和为234，故c2ce2e140，

22

因为a,b,c,d,eN，故当e12，ccee140中c无正整数解，

所以11ed9，eN

当e11，则c2c8，无整数解，

当e10，则c2c30，解得c5或c6（舍），

所以e10,c5，此时A1,3,5,9,10,B1,9,25,81,100，满足题意

所以a1，ce15

故答案为：1；15.

四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

2

15.（1）设集合Ax|xx20，Bx|log3x1，求AB；

（2）设命题p：对任意x1,4，不等式x24x1m24m恒成立，

命题q：存在x2,0，使得不等式2xxm30成立，

若命题p、q都是真命题，求实数m的取值范围.

【答案】（1）ABx|1x3；（2）2,3

【解析】

【分析】（1）求解集合A、B，再根据集合并集的定义求解即可.

22x

（2）由命题p、q都是真命题，可以得到x4x1m4m以及2xm30，求解

minmax

即可.

【详解】（1）由x2x20，得集合Ax|1x2，

由log3x1，得集合Bx|0x3，

则ABx|1x3；

（2）命题p：对任意x1,4，不等式x24x1m24m恒成立，

即x24x1m24m

min

2

x24x1x23，当x2时，x24x1取到最小值3，

∴3m24m，∴1m3

所以p为真命题时，实数m的取值范围是1,3.

命题q：存在x2,0，使得不等式2xxm30成立，

只需2xxm30，而x在实数集上单调递增，

max2xm3R

所以当x0时，2xxm3取到最大值为m2，

∴m20，m≥2

故命题p、q都是真命题，实数m的取值范围是2,3.

16.十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项

将重塑全球汽车行业的计划，2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固

10x2100x,0x40

定成本4000万元，每生产x（百辆）需另投入成本y（万元），且y10000，由

601x6500,x40

x

市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.

（1）求出2025年的利润S（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式：（利润=销售额-成本）

（2）当2025年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

10x2500x4000,0x40

【答案】（1）Sx10000

2500x,x40

x

（2）2025年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元

【解析】

【分析】（1）根据条件得到销售额为600x（万元），分0x40和x40两种情况讨论得到利润S（万

元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；

10x2500x4000,0x40

（2）由Sx10000，则分两种情况，分别在对应范围内利用二次函数的对

2500x,x40

x

称轴和基本不等式讨论最大值，最后取最大者即为最大利润.

【小问1详解】

每辆售价6万元，产量x（百辆）对应100x辆，故销售额为600x（万元）

当0x40时，Sx600x10x2100x400010x2500x4000，

1000010000

当x40时，Sx600x601x650040002500x，

xx

10x2500x4000,0x40

∴Sx10000；

2500x,x40

x

【小问2详解】

当0x40时，Sx10x2500x4000，

这个二次函数的对称轴为x25，所以当x25时，Sx2250为最大值，

1000010000

当x40时，Sx2500x2500x，

xx

100001000010000

∵x2x200，当且仅当x，即x100时，等号成立，

xxx

∴Sx25002002300，

即当x100时，Sx取到最大值2300，

∵23002250，∴当x100时，

即2025年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元.

17.已知定义在R上的函数fx满足fxyfx·fy，且当x0时，fx1.

（1）求证：当xR时，恒有fx0；

（2）求证：函数fx在R上是增函数；

2

（3）若f29，求不等式fx1·f2x127的解.

【答案】（1）证明见解析

3

（2）证明见解析（3）x|x或x1

2

【解析】

【分析】（1）运用赋值法，令xy0，代入求出f(0)，由条件舍去0，得到f(0)1，由于f(0)1，

x0时f(x)0，只需x0时，f(x)0即可，令yx，则f(x)f(x)0，对x讨论即可；

（2）运用函数的单调性定义证明，令x2x1，则x2x10，由x0时，fx1，得fx2x11，

再由，得到，再由（）得证；

f(xy)f(x)f(y)fx2fx1fx1fx2x111

（3）根据条件，令xy1，求出f2，再令x2,y1，求出f3，再根据f(xy)f(x)f(y)得

到fx12x21f3，结合单调性解出即可．

【小问1详解】

证明：已知定义在R上的函数fx满足fxyfx·fy，

令x1,y0，则f1f1f0，

又当x0时，fx1，所以f11，即f01，

当x0时，则x0,fx1.在fxyfx·fy中，

令yx，有f0fxfx10，所以fx0，

综上：当xR时，恒有fx0

【小问2详解】

证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x2x1，

则x2x10，且fx2x11，

，

fx2fx1fx2x1x1fx1fx1fx2x11

由第一问可知当xR时，恒有fx0,fx10，且fx2x110，

所以fx2fx10fx2fx1，

因此函数fx在R上单调递增；

【小问3详解】

若f29，求不等式fx1·f2x2127的解，

在fxyfx·fy中，令xy1，则f2f1·f19，即f13，

令x2,y1，则f3f2·f19327，

不等式fx1·f2x2127等价于fx12x21f3，

即x12x213，即2x2x30，

3

所以不等式的解集为x|x或x1.

2

18.“函数yfx图象关于原点对称”的充要条件是“函数fx对定义域内的任意x都满足

fxfx.

2

（1）若定义在R上的函数fx图象关于原点对称，且当x0时，fxx，

①求函数fx的解析式；

②对于任意的xt,t2，不等式fx2t3fx恒成立，求实数t的取值范围.

（2）类比上述结论，得到以下真命题：“函数yfx图象关于点a,b对称”的充要条件是“函数fx对

定义域内的任意x都满足fax2bfax”.若定义在R上的函数gx的图象关于1,0对称，且

4

当x1时，gxx3.

x

①判断函数gx在,1上的单调性并且证明；

2

②关于x的方程2gxmgx0在R上有四个不同的零点，求实数m的取值范围.

x2,x02

【答案】（）；

1fx2t3

x,x03

①②

（2）单调递增，证明见解析；,1212,

【解析①】②

2

【分析】（1）设x0，得到fxfxx；再由f00，即可求得fx的解析式；

②根据题意，求得fx在R上为单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为对于任意的xt,t2，

等价于2t(31)x恒成立，结合hx(31)x的单调性，列出不等式，即可求解；

（2）①根据题意，当x1时，得到gxg2x，结合f10求得gx的解析式，利用函数单

调性的定义和判定方法，即可证得gx在,1上单调递增；

m

②由gx0，求得gx有三个零点，根据题意，得到方程gx有且只有异于上述三个零点的一个

2

根，利用ygx的单调性，对称性，结合图象，列出不等式，即可求解.

【小问1详解】

解：①因为定义在R上的函数fx图象关于原点对称，所以函数fx是奇函数，

因为x0时，fxx2

2

设，则，可得2，

x0x0fxfxxx

当x0时，f0f0，可得f00，

x2,x0

所以函数的解析式为

fxfx2.

x,x0

②当x0时，fxx2，可得fx在(0,)为单调递增函数，

所以函数fx在(,0)为单调递增函数，且f00，即函数的图象过原点，

所以fx在R上为单调递增函数，且fx为R的奇函数，

由对于任意的xt,t2，不等式fx2t3fx恒成立，

即对于任意的xt,t2，等价于x2t3x恒成立，

即对于任意的xt,t2，等价于2t(31)x恒成立，

因为hx(31)x在xt,t2上为单调递增函数，

2

所以2t(31)(t2)，即(33)t2(31)，解得t3，

3

2

所以实数t的取值范围为[3,).

3

【小问2详解】

解：①因为定义在R上的函数gx的图象关于1,0对称，

4

且当x1时，gxx3，

x

由gxg2x0，当x1时，g10；

44

当x1时，gxg2x2x32x3，

2x2x

4

x3,x1

x

所以gx0,x1，

4

x23,x1

x2

设x1,x2,1，且x1x2，

444

则gxgxx23x23x2x11，

2121

x22x12x22x12

4

因为x1x21，所以x2x10,0，

x22x12

所以gx2gx10，即gx1gx2，所以函数gx在,1上单调递增；

4

x3,x1

x

②由①知，函数gx0,x1，

4

x23,x1

x2

4

当x1时，令gx0，即x30，解得x4；

x

当x1时，g10；

4

当x1时，令gx0，即x230，解得x2，

x2

所以函数gx有三个零点，分别为2,1,4，

因为方程2g2xmgx0在R上有四个不同的零点，

m

所以原方程等价于gx有且只有异于上述三个零点的一个根，

2

由①知ygx在,1和1,上单调递增，且函数gx的图象关于1,0对称，

当x1时，gx6；当x1时，gx6，

mm

要使得gx只有一个根，即y与ygx的图象只有一个公共点，

22

mm

所以6或≥6，解得m12或m12，

22

所以实数m的取值范围为,1212,.

19.用minx1,x2,,xn表示x1,x2,,xn中的最小值，用maxx1,x2,,xn表示x1,x2,,xn中的最大

值.

0.1

（1）已知smaxlg0.9,1.1,2sin30，求s的值；

b

（2）已知a0,b0,tmina,，求t的最大值；

a24b2

2

（3）已知aR，函数gxx1,hxxax1，试讨论函数fxmingx,hx的零点的

个数.

【答案】（1）1.10.1

1

（2）

2

（3）2个

【解析】

【分析】（1）根据中间量0,1比较大小即可求解；

bab

（2）解法一：由tmina,得t2，再结合基本不等式求解即可；解法二：由

a24b2a24b2

babbm

tmina,得t2，令m0，转化为求y的最大值即可；

a24b2a24b2a14m2

（3）求函数gx的零点，结合判别式，分别在2a2，a2或a2，a2或a2时研究函

数的零点，由此求结论.

【小问1详解】

由对数函数性质知lg0.9lg10，即lg0.90，

又由指数函数性质知1.10.11.101，即1.10.11

又因为2sin301

所以maxlg0.9,1.10.1,2sin3001.10.1

【小问2详解】