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第4讲转化与化归思想应用一特殊与一般的转化应用二命题的等价转化目录索引应用三函数、方程、不等式之间的转化应用四正难则反的转化【思想概述】

转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时,思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形,也就是转化到另一种情形使问题得到解决的情况.这种转化是解决问题的有效策略,同时也是获取成功的思维方式.应用一特殊与一般的转化例1

(多选题)已知函数f(x)满足对任意的x,y∈R,都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0.下列结论正确的是(

)【一题多解】A.f(0)=1B.f(x)是偶函数C.若f(2)=3,则f(4)=6D.若f(1)=0,则4是f(x)的一个周期ABD

应用体验1(多选题)(2025湖北十堰三模)已知b<0,a+b=2,则(

)【一题多解】A.a2+b2<4B.a(1-b)>2C.2a-2-b>3D.2a+2b>2-a+2-bBCD解析

(方法一

特殊值法)因为b<0,a+b=2,令a=3,b=-1,依次代入可得选项B,C,D正确,A错误.故选BCD.(方法二)因为b<0,a+b=2,即a=2-b,当a=3,b=-1时,则a2+b2=10>4,故A错误;因为a(1-b)=(2-b)(1-b)=b2-3b+2,且f(b)=b2-3b+2在(-∞,0)上单调递减,则f(b)>f(0)=2,故B正确;因为2a-2-b=22-b-2-b=3·2-b,且b<0,则-b>0,2-b>1,所以2a-2-b=3·2-b>3,故C正确;因为a+b=a-(-b)=2>0,即a>-b,且g(x)=2x-2-x在定义域R内单调递增,则g(a)>g(-b),即2a-2-a>2-b-2b,所以2a+2b>2-a+2-b,故D正确.故选BCD.应用二命题的等价转化

A

应用体验2(2025湖南湘潭三模)记x,y为实数,设甲:y>x>0,乙:x-cosy<y-cosx,则(

)A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件A解析

构建函数f(x)=x+cos

x,因为x-cos

y<y-cos

x,等价于y+cos

y>x+cos

x,即f(y)>f(x),且f'(x)=1-sin

x≥0,可知f(x)在定义域R上单调递增,则f(y)>f(x)等价于y>x,显然由y>x>0可以推出y>x,但由y>x不能推出y>x>0,所以甲是乙的充分不必要条件.故选A.应用三函数、方程、不等式之间的转化

C

C

应用四正难则反的转化

B

(0,1)解析

由已知得f'(x)=(x-a)(ex-1),若a=0,则f'(x)≥0,满足f(x)是增函数;若a<0,由f'(x)>0得,x<a或x>0,也满足f(x)在(a2,+∞)上单调递增;若a>0,由f'(x)>0得,x<0或x>a,若f(x)在(a2,+∞)上单调递增,需满足(a2,+∞)⊆(a,+∞),即a2≥a>0,解得a≥1,∴f(x)在(a2,+∞)上单调递增时,

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