辽宁省抚顺市六校协作体2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

高二数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第四册第十一章（），选择性必修第一册第一章（）、第二章到椭圆的几何性质（）．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.九棱柱的棱数为（）A.10 B.18 C.24 D.27【答案】D【解析】【分析】根据棱柱的特征得到答案.【详解】九棱柱上下底面均为九边形，侧棱有9条，故棱数为．故选：D2.下列直线中，倾斜角为是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由倾斜角为，则该直线的斜率为，逐项判断即可.【详解】若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，所以这四条直线中，倾斜角为的是.故选：C3.设空间向量，则（）A.6 B.9 C.-6 D.-9【答案】B【解析】【分析】根据向量平行，列等式求解即可.【详解】因为，所以，解得故选：B.4.设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（）A.长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆B.长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆C.长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆D.长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆【答案】D【解析】【分析】设，，结合向量坐标运算可用，表示，，结合点在圆上，代入计算即得.【详解】设，，则（*），，由，，则，即有，将其代入（*），，化简得，即动点的轨迹为长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆.故选：D.5.在空间直角坐标系中，已知点，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量中点到平面的距离公式求解即可.【详解】因为，平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为.故选：A.6.当时，圆与圆的位置关系不可能是（）A.内含 B.相交 C.外离 D.外切【答案】C【解析】【分析】求出两圆圆心距离，然后与半径的和、差比较大小，即可判断.【详解】由题意圆，圆的圆心分别为，则，又圆，圆的半径分别为，两圆的圆心距，因为，所以两圆半径之和.即.而两圆外离条件是，故两圆的位置关系不可能是外离.故选：C.7.把正方形沿对角线折成二面角，若，，，四点均在球的球面上，球的表面积为，且，则二面角的大小为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据正方形特征得出，再应用二面角定义得出平面角为，最后应用余弦定理计算求解.【详解】取为的中点，则.设球的半径为，则，得，则.因为，，所以二面角的平面角为.由，得.故选：A.8.如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设球的半径为，则知道椭圆的短轴长，过椭圆的长轴作的垂面得到截面图，由平面几何求得椭圆的长轴长，从而解得椭圆的离心率.【详解】设球的半径为，则椭圆的短轴长，即.过椭圆的长轴作的垂面，得到如图所示的截面图，其中DE是椭圆的长轴，，AD，BE是光线，A，B是光线与球面的切点，则，椭圆的长轴长，即.故椭圆的离心率.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题为真命题的是（）A.每个棱柱至少有两个面互相平行B.垂直于同一个平面的两个平面可能互相垂直C.平行于同一个平面的两条直线不可能互相垂直D.若一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行【答案】AB【解析】【分析】根据空间中线面，面面之间的位置关系逐一判断即可.【详解】对于A，每个棱柱的底面互相平行，A为真命题；对于B，垂直于同一个平面的两个平面可能互相垂直，B为真命题；对于C，平行于同一个平面的两条直线可能互相垂直，C为假命题；对于D，在长方体中，三点到平面的距离都相等，但平面与平面并不平行，D为假命题．故选：AB.10.在四面体PABC中，分别为棱PB，AC的中点，且，则（）A B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据空间向量基本定理判断A、C，由空间向量数量积的运算判断B、D．【详解】因为D，E分别为棱PB，AC的中点，所以，A正确，C错误.因为，且，，所以，B正确.，D错误.故选：AB．11.已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为上的动点，则下列说法正确的是（）A.的最大值为0B.的最大值为C.若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为D.若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为【答案】ABD【解析】【分析】根据椭圆的性质，结合向量的数量积公式、直线的斜率公式以及椭圆的离心率范围逐一分析选项【详解】由题意知，设，则，对于A，，则，当时，取最大值，所以的最大值为正确.对于B，，所以，当时，取最大值，所以的最大值为，B正确；对于C、D，设，因为，所以，得，又，所以，C错误，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某圆锥的底面半径为3，高为，则该圆锥的侧面积为___________．【答案】【解析】【分析】先求出圆锥的母线，再根据圆锥侧面积公式即可求得答案．【详解】∵圆锥的底面半径为3，高为，∴圆锥的母线为，∴圆锥的侧面积为，故答案为：．13.若圆与椭圆外切，则______．【答案】【解析】【分析】求出圆的圆心及半径，再结合圆及椭圆的图形特征确定切点，列式求解.【详解】圆的圆心，半径为1，椭圆的左、右顶点分别为，，由圆与椭圆外切，得圆与椭圆外切于点或点，因此或，所以.故答案为：14.在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为___________.【答案】6【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用得到的关系式，再判断轨迹形状即可求解.【详解】以为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，则，，，，即，，当时，，此时为棱的中点；当时，，此时为棱的中点，设棱的中点为，棱的中点为，连接MN，则点的轨迹是线段MN，，点的轨迹长度为6.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）分别求直线在轴、轴上的截距；（2）求过点，且与直线垂直的直线方程；（3）若直线的倾斜角为，求直线的倾斜角.【答案】（1）在轴、轴上的截距分别为；（2）；（3）【解析】【分析】（1）法一：方程转化成截距式，即可求解；法二：分别令和求解即可；（2）法一：由垂直设直线方程，代入点即可求解，法二：通过垂直先求得斜率，再由点斜式即可求解；（3）法一：由倾斜角得到，进而可求解；法二：由两直线斜率互为相反数，得到这两条直线的倾斜角互补，即可求解【详解】解：（1）（方法一）由，得，所以直线在轴、轴上的截距分别为.（方法二）令，得，令，得，所以直线在轴、轴上的截距分别为.（2）（方法一）依题意设所求直线方程为，将点的坐标代入得，解得，所以所求直线的方程为.（方法二）因为直线斜率为，所以所求直线的斜率为2，所以所求直线的方程为，即（或）.（3）（方法一）因为直线的倾斜角为，所以，又直线的斜率为，所以，所以直线的倾斜角为.（方法二）因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数，所以这两条直线的倾斜角互补，所以直线的倾斜角为.16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且为上的动点.（1）若，求；（2）设点，求的最小值与最大值.【答案】（1）；（2）最小值为，最大值为.【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义求解；（2）利用椭圆定义将进行转化，再结合三角形三边关系求解.【小问1详解】依题意得：，根据椭圆定义可得：，已知，联立以下两个方程：，将两式相加，得，因此；【小问2详解】椭圆右焦点的坐标为，左焦点；根据椭圆定义，，因此，代入，得：，对任意点，有，当且仅当、、共线时取等号；因为，所以，代入，得：最小值：，当在的延长线与椭圆的交点时取得；

最大值：当在的延长线与椭圆的交点时取得.17.在四棱锥中，底面.（1）证明：平面CDE.（2）设.（i）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值；（ii）证明：平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于.【答案】（1）证明见解析（2）（i）；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）直接运用线面平行的判定定理证明即可.（2）（i）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而找到向量坐标，再利用直线与平面所成角的向量公式求解；（ii）求出两个平面的法向量，再利用两平面夹角的向量公式求出夹角的余弦值，再比较大小.【小问1详解】证明：因为平面平面CDE，所以平面CDE.【小问2详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,则.设平面BCE的法向量为，则，令，得.（i）设直线AD与平面BCE所成角为，因为，所以，所以直线AD与平面BCE所成角的正弦值为.（ii）证明：设平面CDE的法向量为，则,令，得.设平面CDE与平面BCE的夹角为，由，所以平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于.18.如图，圆台形水桶内装有少量水，已知水桶的上底面直径，下底面直径，水面直径，均为圆台形水桶的母线，长度均为．现有一根细棒，其长度为cm，将放入水桶中，且将的一端置于点处（水桶厚度、细棒粗细均忽略不计）．（1）如何放置时，浸入水中部分的长度最小，最小为多少？（2）若将的另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度．（3）已知，若将的另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由几何性质可知垂直于圆台形水桶的底面时，浸入水中部分的长度最小，记，，通过相似比例求解即可；（2）记，过作，垂足为，在中，由余弦定理得，根据∽，解得，利用比例相等得即可得解；（3）记圆台形水桶上底面圆的圆心为，下底面圆的圆心为，连接，利用线面垂直的判定定理和性质定理得，在中，由余弦定理得，记点在平面内的投影为，点在平面内的投影为，利用三角形相似得，记与水面交于点，点在平面内的投影为，利用三角形相似得，即可求解.【小问1详解】当垂直于圆台形水桶的底面，即直线垂直于圆台形水桶底面时，浸入水中部分的长度最小，记，，，，水桶的高，因为∽，所以，即，解得，所以浸入水中部分的长度最小值为.【小问2详解】记，过作，垂足为，，在中，，所以，即，解得，（负根舍去），由（1）得，∽，所以，解得，因为，所以，即，解得，所以浸入水中部分的长度为.【小问3详解】记圆台形水桶上底面圆的圆心为，下底面圆的圆心为，连接，因为平面，平面，所以，因为，直线与直线一定相交，所以平面，又平面，所以，在等腰梯形中，，，，在中，，所以，即，解得，（负根舍去），记点在平面内的投影为，点在平面内的投影为，矩形如图1所示，因为∽，所以，即，解得，记与水面交于点，点在平面内的投影为，如图2所示，因为∽，所以，即，解得，所以浸入水中部分的长度为.19.已知点，O为坐标原点，动点满足，记点轨迹为曲线.（1）求的标准方程.（2）若直线与交于，两点，求的最大值.（3）过点的动直线与交于，两点，试问轴上是否存在点，使得为定值?若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在；【解析】【分析】（1）根据题目条件直接列等式，即可求出轨迹方程；（2）利用弦长公式表示