《平面与平面平行》教案上学课件

第八章立体几何初步8.5空间直线、平面的平行8.5.3平面与平面平行学习目标素养要求1．借助长方体，通过直观感知了解空间中平面与平面平行的关系，归纳出平面与平面平行的性质定理、判定定理直观想象、数学抽象2．能用已获得的结论证明空间基本位置关系的简单命题直观想象、逻辑推理|自学导引|平面与平面平行的判定定理定理平面与平面平行的判定定理文字语言如果一个平面内的_____________与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言________，________，____________，________，________⇒β∥α图形语言两条相交直线a⊂β

b⊂β

a∩b＝P

a∥α

b∥α

平面平行有传递性吗？【提示】有．若α，β，γ为三个不重合的平面，则α∥β，β∥γ⇒α∥γ．【预习自测】平面与平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面________，那么两条交线________．符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒_________图形语言

相交平行a∥b

如果两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？【提示】不一定．它们可能异面．【预习自测】|课堂互动|题型1平面与平面平行的判定如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，G为DD1上一点，且D1G∶GD＝1∶2，AC∩BD＝O．求证：平面AGO∥平面D1EF．

在△BAO中，因为BE＝EA，BH＝HO，所以EH∥AO．又因为AO⊄平面D1EF，EH⊂平面D1EF，所以AO∥平面D1EF．又因为GO∩AO＝O，所以平面AGO∥平面D1EF．平面与平面平行的判定方法(1)定义法：两个平面没有公共点．(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．(3)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ．1．如图所示，在三棱锥S－ABC中，D，E，F分别是棱AC，BC，SC的中点．求证：平面DEF∥平面SAB．证明：因为D，E分别是棱AC，BC的中点，所以DE是△ABC的中位线．所以DE∥AB．因为DE⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，所以DE∥平面SAB．同理可证DF∥平面SAB．又因为DE∩DF＝D，DE⊂平面DEF，DF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面SAB．题型2平面与平面平行的性质如图，已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．应用平面与平面平行性质定理的基本步骤2．(2022年九江期末)如图，两条异面直线AB，CD与三个平行平面α，β，γ分别相交于点A，E，B及点C，F，D，又AD，BC与平面β的交点为H，G．求证：四边形EHFG为平行四边形．题型3平行关系的综合应用如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC．证明：(1)因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD∥B1C1且AD＝B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形．所以AB1∥C1D．又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD．同理可证B1D1∥平面C1BD．又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD．(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E．因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内．所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则F就是A1C与平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝FC．

因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F．在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF．同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即CF＝FE．所以A1E＝EF＝FC．线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如下：3．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点．求证：直线EE1∥平面FCC1．证明：因为F为AB的中点，所以AB＝2AF．因为AB＝2CD，所以CD＝AF．因为AB∥CD，所以CD∥AF．所以AFCD为平行四边形．所以FC∥AD．又因为FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1．因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1．又因为FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1．又因为EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1．易错警示应用定理条件不足，推理论证不严密致误如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AA1，BB1，CC1，DD1的中点，求证：平面EFGH∥平面ABCD．错解：∵E，F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB．又∵EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．同理可证HG∥平面ABCD．又∵EF⊂平面

EG，HG⊂平面EG，∴平面EFGH∥平面ABCD．易错防范：错解中，EF与HG是平面EG内的两条平行直线，不是相交直线，不符合面面平行的判定定理的条件，因此证明不正确．利用面面平行的判定定理证明两个平面平行时，所满足的条件必须是明显或已经证明成立的，并且要与定理条件保持一致，否则容易导致错误．正解：∵E，F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB．又∵EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．同理可证EH∥平面ABCD．又∵EF⊂平面EG，EH⊂平面EG，EF∩EH＝E，∴平面EFGH∥平面ABCD．|素养达成|1．证明面面平行的一般思路：线线平行⇒线面平行⇒面面平行．2．常用的面面平行的其他几个性质．(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．3．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，即“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．(体现直观想象、逻辑推理核心素养)1．(题型1)平面α与平面β平行的条件可以是 (

)A．α内有无数多条直线与β平行B．直线a∥α，a∥βC．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD．α内的任何直线都与β平行【答案】D【解析】由面面平行的定义知，选D．2．(题型1)已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是

(

)A．平面α内有一条直线与平面β平行B．平面α内有两条直线与平面β平行C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D．平面α与平面β不相交【答案】D【解析】选项A，C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D．3．(题型2)如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于 (

)A．2∶25 B．4∶25C．2∶5 D．4∶5【答案】B4．(题型2)已知平面α∥β，直线a⊂α，有下列命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．其中真命题的序号是________．【答案】②【解析】由面面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才与a平行，故①错误；②正确；平面β内的直线与直线a平行或异面