阶段拔尖专训8隐形圆问题

阶段拔尖专训8隐形圆问题模型展示图①中，若点O是定点，OA＝OB＝OC，则A，B，C三点在以点O为圆心的圆上．图②中，若点O是定点，OA是定长，则动点A在以点O为圆心，OA长为半径的圆上．模型1定点定长1．[2024盐城期中]如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点(点P不与点B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，求线段MC的最小值．【解】连接AM，AC，如图所示．∵点B和点M关于AP对称，∴AB＝AM＝3，∴点M在以点A为圆心，3为半径的圆上，作出该圆，易知当A，M，C三点共线时，线段MC的值最小．2．[2024河南改编]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD＝1，求AE的最大值和最小值．在Rt△ABE中，AE＝AB·cos∠BAE，∵AB为定值，∴当cos∠BAE最大时，AE最大，当cos∠BAE最小时，AE最小．当AE与⊙C相切于点D，且点D在△ABC内部时，∠BAE最小，cos∠BAE最大，AE最大，连接CE，如图①所示，则CD⊥AE，∴∠ADC＝∠CDE＝90°，模型展示图①中，若∠A＋∠C＝180°，则A，B，C，D四点共圆．图②中，若∠A＝∠D，则A，B，C，D四点共圆．模型2四点共圆3．如图，已知在△ABC

中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长为________．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转α°(0＜α＜180)得到△ADE，∠AED＝90°，直线BD与直线CE的交点为P.求证：PB＝PD.【证明】由旋转的性质得∠CAE＝∠BAD＝α°，AC＝AE，AB＝AD，∴∠CEA＝∠ADB，∴A，D，E，P四点共圆，如图，连接AP.∵∠AED＝90°，∴AD为圆的直径，∴∠APD＝90°，即AP⊥BD.∴PB＝PD.模型展示点A，B是定点，动点C满足∠ACB＝90°，则动点C的轨迹是以AB为直径的圆(除去A，B两点)．模型3直角所对的弦是直径5.如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＋∠PBA＝90°，求线段CP长的最小值．【解】∵∠PAB＋∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上(P在△ABC内)．设以AB为直径的圆的圆心为O，如图所示，连接OC，易知当点P在OC上时PC最短．∵AB＝6，∴OB＝OP＝3.6．[2024连云港月考]如图，在正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F的运动速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，求线段DP的最小值．【解】∵动点F，E的运动速度相同，∴DF＝AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，又∵∠ABE＋∠BEA＝90°，∴∠FAD＋∠BEA＝90°，∴∠APE＝90°，∴∠APB＝90°.

∴点P在以AB为直径的圆上.在△ABC中，∠A＝α，BC＝m(α，m是定值)．若点B，C是定点，点A是动点，则动点A的轨迹是个圆(⊙O)，圆心O在BC的垂直平分线上，且满足∠BOC＝2α(α为锐角时)或∠BOC＝360°－2α(α为钝角时)．模型4定弦定角7．如图，在四边形ABCD中，AD＝2，∠ABC＝∠ADC＝60°，对角线AC⊥AD，求BD的最大值．【解】由题意得点B的轨迹是个圆，且圆心在AC的垂直平分线上，易知当BD经过圆心时，BD取得最大值，此时，作△ABC的外接圆⊙O，使得BD经过圆心O，连接CO并延长，交⊙O于点F,连接

AF，如图．∵AC⊥AD，CF经过圆心O，