系统辨识理论及MATLAB仿真（第2版） 课件 第5章 传递函数辨识的时域和频域辨识

传递函数的时域和频域辨识传递函数辨识的时域法01传递函数的频率辨识02线性系统开环传递函数的辨识03闭环系统传递函数的辨识和前馈控制04目录CONTENTS

时域是描述数学函数或物理信号对时间的关系。例如一个信号的时域波形可以表达信号随着时间的变化。频域是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系。频域法和时域法在线性系统理论和控制理论许多重要问题上是互相补充的。

上世纪六十年代以前，频域法在系统辨识理论和实践中占据统治地位。从上世纪六十年代末以来，时域法地位逐渐提高。在经典控制系统的分析与设计中，常采用传递函数的形式来描述系统的动态特性。在控制系统研究中经常会遇到这样的问题，即用户没有办法从物理上得出所研究系统的传递函数，但可以通过适当的实验手段测试出系统的某种响应信息。如果通过数据采集系统可以测试出系统时间响应的输入与输出数据，或通过频率响应测试仪可以测试出系统的频率响应数据，有了系统的某种响应数据，就可以根据它来获得系统的数学模型。经典的传递函数辨识方法可以分为时域法和频域法两种。时域法和频域法发展已经很成熟，在动态系统辨识中起着重要的作用，且为现代辨识方法提供了必要的先验信息。图5-1系统辨识的时域与频域方法比较时域信号频域信号传递函数时域信号数学模型估计参数频域法时域法FFT建模传递函数估计参数辨识如图5-1所示为系统辨识的时域与频域方法比较。01传递函数辨识的时域法一、传递函数辨识的时域法传递函数辨识的时域方法包括阶跃响应法、脉冲响应法和矩形脉冲响应法等，其中阶跃响应法最为常用。阶跃响应法是利用阶跃响应曲线对系统传递函数进行参数辨识，阶跃响应曲线即为输入量作阶跃变化时，系统输出的变化曲线。

一、传递函数辨识的时域法figure(1);sys=tf([1],[60,1],'inputdelay',80);[y,t]=step(sys);line(t,y),grid;xlabel('time');ylabel('y');仿真程序：chap5_1.m图5-2单位阶跃响应曲线一、传递函数辨识的时域法1.一阶惯性滞后环节的辨识

一、传递函数辨识的时域法1.一阶惯性滞后环节的辨识①切线法

如图5-2所示的阶跃响应曲线呈S形，在曲线的变化速率最快点处作一切线，分别与时间轴t和阶跃相应的渐近线相交于(0,τ)和(t0,y(∞))，这样便得到延迟时间τ和时间常数T=t0−τ。

采用图5-3求参数τ和T的方法也称为图解法，其优点是特别简单。但对于一些实际响应曲线，寻找响应曲线的最大斜率处并非易事，主观因素也比较大。图5-3用作图法确定参数T和τ一、传递函数辨识的时域法1.一阶惯性滞后环节的辨识②两点法如图5-4所示，被控对象传递函数为式(5.1)所表示的形式。在y(t)上选取两个坐标值(t1,y(t1)）和(t2,y(t2))，只要求0、y(t1)和y(t2)三个数值之间有明显的差异即可。图5-4两点法确定参数t1

和t2一、传递函数辨识的时域法1.一阶惯性滞后环节的辨识由于(5.3)则根据有

(5.4)首先将其转化为无量纲形式y*(t)，取则

(5.6)解上述方程，可得阶跃相应无量纲形式：

(5.7)一、传递函数辨识的时域法1.一阶惯性滞后环节的传递函数辨识取图5-4中的两个点，可得（5.8）解上式，可得

（5.9）如果选择y*(t1)=0.39和y*(t2)=0.63，则τ=2t1-t2,T=2(t2-t1)。对于所计算的T和τ，可在以下三点与实际曲线相应点比较，进行拟合精度检验。一、传递函数辨识的时域法2.由二阶惯性加纯迟延的传递函数辨识二阶惯性环节加纯滞后环节的传递函数为(5.10)其中。增益K值按右式计算

(5.11)如图5-5所示，延迟时间r可根据阶跃响应曲线脱离起始的毫无反应的阶段到开始变化的时刻来确定。首先将y(t)转化为无量纲形式y*(t)，即(5.12)由式(5.10)可得，即即解上面方程，可得与被控对象相对应的阶跃响应无量纲形式为(5.13)一、传递函数辨识的时域法2.由二阶惯性加纯迟延的传递函数辨识图5-5两点法确定T1和T2一、传递函数辨识的时域法2.由二阶惯性加纯迟延的传递函数辨识将y*(t)为0.4和0.8所对应的t1和t2代入上式，可得T1和T2。为求解方便，式(5.14)可以近似表示为：（5.15）上式可推广到n阶惯性环节加纯延迟的传递函数，从而得到如下特性：（5.16）根据式(5.13)，利用图5-5中响应曲线上的两个数据点[t1,y*(t1)]和[t2,y*(t2)]来确定参数T1和T2，通常取y*(t)为0.4和0.8，再从曲线上定出t1和t2，从而得如下方程组：（5.14）一、传递函数辨识的时域法2.由二阶惯性加纯迟延的传递函数辨识其中n阶惯性环节加纯延迟的传递函数为(5.17)

选取y*(t)分别为0.4和0.8，所对应的t1/t2能够反映出的传递函数的阶次，其关系见表5-1。一般来说，二阶对象满足：n12345678t1/t20.320.460.530.580.620.650.670.685表5-1高阶惯性对象中阶数与比值t1/t2的关系[1]一、传递函数辨识的时域法3.用n阶惯性环节加纯迟延的传递函数辨识测试响应曲线的步骤可整理如下[43]：（1）将响应曲线化为无延迟无量纲的标准形式；（2）求取y*(t)分别为0.4和0.8所对应的t1、t2，根据t1/t2的值来确定n；（3）若0.32<t1/t2≤0.46，则可选用二阶惯性环节加纯延迟传递函数；（4）若t1/t2>0.46，则根据表5-1找出其相近的数据对应的n值，选用传递函数

，式中T由式(5.16)求得。若t1/t2>0.46，则n>2，此时需用高阶环节近似式(5.17)所描述的对象。具体方法为：取y*(t)为0.4和0.8，再从曲线上定出t1和t2，然后可从表5-1中得到相应的n，再根据式(5.16)可确定T。传递函数的时域和频域辨识刘金琨02传递函数的频率辨识

一、利用Bode图特性求传递函数如果实验测得了系统的频率响应数据，则可按频率特性作出对数频率特性曲线，从而求得传递函数。最小相位系统通常可以用以下式来描述：（5.19）其中T1i和T3i是一阶微分环节和惯性环节的时间常数，ξ1i和ξ2i是二阶微分环节和振荡环节的阻尼比，T2i和T4i是二阶微分环节和振荡环节的时间常数。通过实验测定系统的频率响应之后，就可以利用表5-2中各种基本环节频率特性的渐进特性，获得相应的基本环节特性，从而得到传递函数。具体方法是用一些斜率为0，±20dB/dec.，±40dB/dec.，……的直线来逼近幅频特性，并设法找到频率拐点，就可以求式（5.19）的传递函数。一、利用Bode图特性求传递函数基本环节辐频dB辐频斜率dB/dec辐频dB辐频dB辐频斜率dB/decK201gK0201gK201gK0Snn×201gn×20n×201gn×201gn×20Ts+1003dB201gω+201gT2000-3dB-201gω-201gT-20T2s2+2ξTs00因ξ而异401gω+401gT4000因ξ而异-401gω-401gT-40e-Ts00000表5-2基本环节的对数幅频响应渐进特性一、利用Bode图特性求传递函数被测对象按最小相位系统处理，得到的传递函数是G(s)，如果所求得的∠G(s)与实验结果不符，且两者相差一个恒定的角频变化率，则说明被控对象包含延迟环节。若被控对象传递函数为G(s)e-τs，则有

因此，根据频率ω趋于无穷时实验所得相频特性的相角变化率，即可确定延迟环节的延迟时间τ。但在高频时相频特性的实验数据难以测量，所以工程上采用下列方法确定系统的纯延迟。如图5-6所示，图中实线为实验得到的对数相频曲线，虚线为拟合的传递函数G'(s)所决定的对数相频特性。如果虚线和实线很接近，则系统不含延迟环节。如果虚线和实线相差较多，则系统存在纯延迟。选取若干个频率ωk(k=1,2,⋯,n)，对应于每一个ωk可找出其实测曲线与拟合曲线的相差角Δφk=φ'k-φk，于是再求平均值得，τ即可作为系统的纯延迟。一、利用Bode图特性求传递函数图5-6(b)对数频率特性曲线（含纯延迟）图5-6(a)对数频率特性曲线（不含延迟）一、利用Bode图特性求传递函数例5.1[2]针对系统的实验频率响应曲线确定系统的传递函数。图5-7测试系统对数幅频渐进特性实验曲线一、利用Bode图特性求传递函数

一、利用Bode图特性求传递函数

一、利用Bode图特性求传递函数

一、利用Bode图特性求传递函数

一、利用Bode图特性求传递函数

二、利用MATLAB工具求系统传递函数

二、利用MATLAB工具求系统传递函数

仿真程序：chap5_2.mcloseall;w=logspace(-1,1)num=[1]den=[1,5]H=freqs(num,den,w)

[num,den]=invfreqs(H,w,0,1);G=tf(num,den)二、利用MATLAB工具求系统传递函数

二、利用MATLAB工具求系统传递函数clearall;closeall;w=logspace(-1,1)H=[0.9892-0.1073i0.9870-0.1176i0.9843-0.1289i0.9812-0.1412i0.9773-0.1545i0.9728-0.1691i0.9673-0.1848i0.9608-0.2017i0.9530-0.2200i0.9437-0.2396i0.9328-0.2605i0.9198-0.2826i0.9047-0.3058i0.8869-0.3301i0.8662-0.3551i0.8424-0.3805i0.8150-0.4060i0.7840-0.4310i0.7491-0.4549i0.7103-0.4771i0.6677-0.4968i0.6216-0.5133i0.5725-0.5258i0.5210-0.5335i0.4680-0.5361i0.4144-0.5331i0.3613-0.5242i0.3099-0.5098i0.2613-0.4900i0.2164-0.4654i0.1762-0.4370i0.1413-0.4057i0.1121-0.3728i0.0886-0.3393i0.0706-0.3064i0.0577-0.2753i0.0489-0.2466i0.0436-0.2210i0.0406-0.1987i0.0391-0.1796i0.0383-0.1635i0.0377-0.1499i0.0369-0.1385i0.0356-0.1287i0.0339-0.1201i0.0318-0.1123i0.0293-0.1051i0.0266-0.0983i0.0239-0.0919i0.0212-0.0857i];[num,den]=invfreqs(H,w,3,4);G=tf(num,den)仿真程序：chap5_3.m传递函数的时域和频域辨识刘金琨03线性系统开环传递函数的辨识三、线性系统开环传递函数的辨识可通过Bode图拟合来辨识开环传递函数，开环传递函数测试框图如图5-8所示。

图5-8开环传递函数测试框图设开环系统输入指令信号为

基本原理

三、线性系统开环传递函数的辨识假设开环系统是线性的，则其位置输出可表示为:

基本原理

三、线性系统开环传递函数的辨识

基本原理

由式（5.21）和（5.22）得:三、线性系统开环传递函数的辨识

基本原理

三、线性系统开环传递函数的辨识

基本原理三、线性系统开环传递函数的辨识

仿真实例对象的传递函数为

三、线性系统开环传递函数的辨识

仿真实例

三、线性系统开环传递函数的辨识通过仿真，可得开环传递函数为：仿真实例

仿真结果如图5-8至5-10。可见，该算法能精确地求出开环传递函数的幅频和相频特性,从而可以实现开环传递函数的辨识。三、线性系统开环传递函数的辨识仿真实例图5-8实际测试与拟合传递函数的Bode图比较三、线性系统开环传递函数的辨识仿真实例图5-9频率特性拟合误差曲线三、线性系统开环传递函数的辨识仿真实例图5-10实际对象与拟合传递函数的Bode图比较传递函数的时域和频域辨识刘金琨04闭环系统传递函数的辨识和前馈控制针对线性控制系统，要设计前馈控制器，传统的方法是确定系统的闭环传递函数。采用建模方法难免产生较大的建模误差。目前在实际应用中，更多的是采用实验测试建模方法，即频率特性方法，通过频域辨识技术来确定闭环系统的传递函数。四、闭环系统传递函数的辨识和前馈控制

图5-12闭环系统测试框图闭环系统传递函数的辨识设闭环系统输入指令信号为：

闭环系统传递函数的辨识四、闭环系统传递函数的辨识和前馈控制

由式（5.30）可得：

闭环系统传递函数的辨识四、闭环系统传递函数的辨识和前馈控制

闭环系统传递函数的辨识四、闭环系统传递函数的辨识和前馈控制

闭环系统传递函数的辨识四、闭环系统传递函数的辨识和前馈控制闭环系统传递函数的辨识对于带有摩擦、干扰和重力等非线性因素的电机系统被控对象，无法得到适合于闭环系统建模的频率特性数据，因此，无法对闭环系统进行辨识，可通过摩擦补偿、干扰观测器和重力补偿器等方法，将系统转化为理想的线性系统被控对象。如果实现了闭环系统的建模，则可以利用闭环系统传递函数构造前馈控制器，实现高精度的前馈控制，这方面的研究已有许多，见文献[3-7]。四、闭环系统传递函数的辨识和前馈控制

仿真实例对象的传递函数为

四、闭环系统传递函数的辨识和前馈控制

仿真实例四、闭环系统传递函数的辨识和前馈控制

仿真实例

图5-13为实际闭环系统频率特性及其拟合闭环系统频率特性的比较，图5-14为实际闭环系统频率特性及其拟合闭环系统频率特性之差，即建模误差。可见，该算法能非常精确地求出闭环系统的幅频和相频,从而可以精确地实现闭环系统的建模。四、闭环系统传递函数的辨识和前馈控制仿真实例图5-13实际传递函数与拟合传递函数的Bode图比较四、闭环系统传递函数的辨识和前馈控制仿真实例图5-14频率特性拟合误差曲线四、闭环系统传递函数的辨识和前馈控制仿真实例仿真程序：分为以下两个部分。闭环扫频测试程序：chap5_5a.m闭环系统传递函数拟合程序：chap5_5b.m四、闭环系统传递函数的辨识和前馈控制零相差前馈控制基本原理在闭环系统辨识的基础上，可设计基于闭环系统逆的控制器。通常,前馈控制是基于不变性原理,即将前馈控制环节设计成待校正的闭环系统的逆,从而使校正后系统的输入输出传递函数为1，从而达到精确控制。但当闭环系统为非最小相位系统时，这种方法就不适用了。这是由于非最小相位系统的逆系统会出现不稳定的极点。四、闭环系统传递函数的辨识和前馈控制零相差前馈控制基本原理随着计算机技术的发展，现代高精度伺服控制中，采样频率通常较高，采样周期的范围在0.1ms-2ms之间。由于采样频率很高，离散化的闭环系统一般为非最小相位数字系统，即闭环系统的零点至少有一个在单位圆之外。因此非最小相位数字系统在实际工程应用中非常广泛。四、闭环系统传递函数的辨识和前馈控制零相差前馈控制基本原理