系统辨识理论及MATLAB仿真（第2版） 课件 第2章 系统辨识数学模型及常用输入信号

第2章系统辨识数学模型及常用输入信号沈晓蓉系统辨识：模型类输入输出数据等价准则数学模型分类：静态与动态模型线性与非线性模型参数与非参数模型确定与随机模型连续时间模型与离散时间模型定常模型与时变模型时间域模型与频率域模型集中参数模型与分布参数模型本课程主要研究线性定常集中参数动态系统数学模型的建模方法。系统辨识数学模型及常用输入信号系统辨识常用的数学模型01脉冲响应法与相关分析法辨识脉冲响应02目录CONTENTS系统辨识常用的输入信号0301系统辨识常用的数学模型一、系统辨识常用的数学模型1）连续系统输入输出模型2）离散系统输入输出模型1.参数模型2.非参数模型1）连续系统的非参数模型2）离散系统的非参数模型一、系统辨识常用的数学模型1.参数模型1）连续系统输入输出模型连续系统输入输出模型典型形式：经典控制理论中，传递函数是系统输入输出关系的常用表达式：（2-1）（2-2）拉氏变换（2-1）一、系统辨识常用的数学模型（2-4）式可写成更一般的形式：Z变换（2-3）（2-3）（2-5）（2-4）其中离散系统脉冲传递函数1.参数模型2）离散系统输入输出模型离散系统输入输出模型可以用差分方程的形式：一、系统辨识常用的数学模型如果（2-5）式还受到噪声的影响，则有：根据以上不同的噪声形式，可将模型分为以下几种时间序列模型：（2-6）带控制量的自回归滑动平均模型（CARMA或ARMAX）模型零均值白噪声其中带控制量的自回归模型（CAR，或称ARX）模型（2-7）（2-8）一、系统辨识常用的数学模型自回归滑动平均（ARMA）模型自回归（AR）模型滑动平均（MA）模型Box-Jenkins模型（简称BJ模型）（2-9）（2-10）（2-11）（2-12）一、系统辨识常用的数学模型其中分别为相应多项式的阶次一、系统辨识常用的数学模型2.

非参数模型非参数模型是指从系统的实验过程中，直接或间接所获得的响应，例如系统的阶跃响应、脉冲响应、频率响应等。非参数模不需要选择模型结构，也不必要顾及型模型参数，适用于描述任意复杂的系统。1）连续系统的非参数模型2）离散系统的非参数模型一、系统辨识常用的数学模型任何输入激励信号可以分解为脉冲信号之和，而根据叠加原理，在所有起始条件均为零时，线性时不变系统的输出脉冲响应可以用输入激励信号和系统的输出脉冲响应函数的卷积积分式来表示：脉冲响应（2-13）2.

非参数模型1）连续系统的非参数模型一、系统辨识常用的数学模型如果，即当输入激励信号为单位脉冲函数时，则o线性系统ott系统脉冲响应一、系统辨识常用的数学模型频率响应如果系统输入是一个理想的单位脉冲函数，则传递函数和系统的单位脉冲响应有如下关系：频率响应在直角坐标系中表示为波特图的幅频特性和相频特性；在极坐标系中表示为奈奎斯特图。这些频响曲线结合傅立叶变换，可以构成频域辨识法。如果用频率代替，则频率响应

：一、系统辨识常用的数学模型离散系统用非参数模型的表达形式称为权形式，它定义为在零时刻初始条件为零时，系统受到一个单位脉冲（delta）函数激励后的系统响应。权序列记为，（2-14）表示离散系统输入输出关系的卷积公式为：权序列的Z变换即为脉冲传递函数（2-15）2.

非参数模型2）离散系统的非参数模型02脉冲响应法与相关分析法辨识脉冲响应二、脉冲响应法与相关分析法辨识脉冲响应1.脉冲响应法2.相关分析法1）从输入和输出求脉冲响应2）根据脉冲响应求脉冲传递函数。二、脉冲响应法与相关分析法辨识脉冲响应1.脉冲响应法脉冲响应法是利用线性、定常被辨识系统的输入、输出信息，通过脉冲响应来辨识系统的数学模型。该方法虽然简单实用，但是具有一定的适用范围（高信噪比的系统）。它既是一种非参数模型（脉冲响应）的辨识方法，又是一种通过脉冲响应得到参数模型（传递函数）的辨识方法。1）从输入和输出求脉冲响应2）根据脉冲响应求脉冲传递函数。二、脉冲响应法与相关分析法辨识脉冲响应根据线性时不变系统卷积积分式：假定和被一个采样周期为的采样器周期性采样，且设足够小，逐段常值逼近可将和用阶梯信号近似代替：1.脉冲响应法1）从输入和输出求脉冲响应二、脉冲响应法与相关分析法辨识脉冲响应二、脉冲响应法与相关分析法辨识脉冲响应令（2-16）二、脉冲响应法与相关分析法辨识脉冲响应由脉冲响应确定传递函数，具体方法较多，如半对数法、阶矩法、差分方程法、Hankel矩阵法等Hankel矩阵法确定系统传递函数设系统的脉冲传递函数为：1.脉冲响应法2）根据脉冲响应求脉冲传递函数二、脉冲响应法与相关分析法辨识脉冲响应等号两边相同幂次项对应系数相等：（2-17）二、脉冲响应法与相关分析法辨识脉冲响应定义Hankel矩阵：（2-18）（2-19）先求出，再求二、脉冲响应法与相关分析法辨识脉冲响应例已知被辨识系统为三阶系统，即结构参数n=3。取步长T=0.05s，2n=6拍的脉冲响应采样值为：t(秒)0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

7.1570399.4910778.5638895.9305062.8459720.144611二、脉冲响应法与相关分析法辨识脉冲响应设根据（2-18）式：有解出：二、脉冲响应法与相关分析法辨识脉冲响应代入（2-17）式得解得：二、脉冲响应法与相关分析法辨识脉冲响应脉冲传递函数为二、脉冲响应法与相关分析法辨识脉冲响应2.相关分析法上述脉冲响应法对于系统含有噪声时，由于输出结果的不确定，会导致辨识误差，它实际上是一种确定型的辨识算法。1951年提出的相关分析法，是根据对象的平稳随机输入、输出信息之间的相关函数，求出系统脉冲响应的一种辨识方法。+*为了避免随机噪声的影响，可采用相关分析法求出单位脉冲响应。二、脉冲响应法与相关分析法辨识脉冲响应根据卷积关系：由于输出受到噪声的污染，有等式两边乘以取数学期望（2-20）二、脉冲响应法与相关分析法辨识脉冲响应如果互不相关，由相关函数定义，则输入和输出间的互相关函数为：输入的自相关函数为：二、脉冲响应法与相关分析法辨识脉冲响应0Wiener-Hopf方程*

Wiener-Hopf方程与卷积积分式具有相同的形式，可以解释为：一个具有脉冲响应函数为的系统，如果其输入量是信号的自相关函数，则其响应就等于输入信号与相应的输出信号之间的互相关函数。二、脉冲响应法与相关分析法辨识脉冲响应因此，相关分析法具有避免噪声干扰的作用，只要利用系统输入和输出信号的数据，计算出它们的自相关函数和互相关函数，通过求解Wiener-Hopf方程，可能获得被辨识系统的脉冲响应函数。+？Wiener-Hopf方程求解困难当被辨识系统输入信号采用白噪声，求解容易，因为白噪声的自相关函数是一个函数，即:二、脉冲响应法与相关分析法辨识脉冲响应当被辨识系统输入为白噪声时，只要确定输入与输出信号间的互相关函数，即可求出被辨识系统的脉冲响应函数03系统辨识常用的输入信号三、系统辨识常用的输入信号1.白噪声及其产生方法2.伪随机信号及其产生方法三、系统辨识常用的输入信号合理选用辨识的输入信号是能否获得好的辨识结果的关键之一。系统辨识对输入信号的要求：

①持续激励；②最优输入信号持续激励意味着输入信号的频谱必须足以覆盖系统过程的频谱。最优输入就是使Fisher信息矩阵逆的一个标量函数达到最小：其中，M是Fisher信息矩阵：为行列式时，J称为D-最优准则三、系统辨识常用的输入信号对D-最优准则，Goodwin和Payne（1977）有如下结论：如果系统输出数据序列是独立同分布的高斯随机序列，那么D-最优输入信号是具有脉冲式自相关函数的信号。当N很大时，白噪声或伪随机信号的M序列可近似满足这一要求。如果模型结构是正确的，且参数估计值

是无偏最小方差估计，则参数估计值

的精度通过Fisher信息矩阵M依赖于输入信号u(k)。三、系统辨识常用的输入信号白噪声是一种均值为0，谱密度为非零常数的平稳随机过程。或者说它是由一系列不相关的随机变量组成的一种理想化随机过程。特点：无记忆性，即t时刻的数值与t时刻以前的过去值无关，也不影响t时刻以后的将来值。从另一意义上说，即不同时刻的随机信号互不相关。②

①③

谱密度1.白噪声及其产生方法三、系统辨识常用的输入信号

对于白噪声序列，有类似描述：如果随机序列是两两不相关的，其对应的自相关函数为：其中，为Kronecker符号，即则称这种随机序列为白噪声序列。其谱密度为：1.白噪声及其产生方法三、系统辨识常用的输入信号白噪声序列产生方法：如何在计算机上产生统计上比较理想的各种不同分布的白噪声序列?（0，1）均匀分布随机数的产生：通过计算机产生（0，1）均匀分布随机数的方法大致有三类：

①Rand的百万随机数占用内存量大②物理方法设备维护困难③数学方法产生速度快，占用内存小线性网络真空管√1.白噪声及其产生方法三、系统辨识常用的输入信号数学方法产生（0，1）均匀分布随机数?本质上是实现如下的递推运算：

每个（0，1）均匀分布的随机数总是前面各时刻随机数的函数，严格说来，上式的函数取任何形式都不可能产生真正的连续（0，1）均匀分布的随机数，因此，通常称用数学方法产生的（0，1）均匀分布的随机数叫做伪随机数。乘同余法混合同余法乘同余法

步骤1：用如下递推同余式产生正整数序列三、系统辨识常用的输入信号

上式的含义为：下一个随机数是上一个随机数乘以A对M取余。

步骤2：令，

即为（0，1）均匀分布的随机序列。关于的选择：的选取与计算机字长有关，种子取为奇数，如=1；一些文献报道如下的参数可供使用参考：1.白噪声及其产生方法三、系统辨识常用的输入信号X0=1;A=7,M=10的10次方；X0=1;A=5的13次方,M=10的36次方；X0=1;A=5的17次方,M=2的42次方；%%%%%%%%(0,+1)均匀分布的白噪声%%%%%%%%A=5^13;x0=1;M=10^36;N=100;fork=1:Nx2=A*x0;x1=mod(x2,M);v1=x1/M;v(:,k)=v1;x0=x1;end1.白噪声及其产生方法三、系统辨识常用的输入信号(0,1)均匀分布白噪声1.白噪声及其产生方法三、系统辨识常用的输入信号

1.白噪声及其产生方法步骤1：混合同余法产生伪随机数的递推同余式为：

混合同余法三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法白噪声信号在工程上不易实现，需要寻找一种辨识输入信号，它具有近似白噪声的性质，可以保证有好的辨识精度，而且在工程上又易于实现，于是产生了伪随机信号。1）伪随机信号伪随机信号的自相关函数接近于白噪声的自相关函数，且伪随机信号是周期性信号。三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法2）伪随机二进制序列（PRBS）伪随机二进制序列是最常用也是最容易形成的一种伪随机信号。

三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法3）伪随机二进制序列的产生伪随机二进制序列通常可用带反馈的移位寄存器产生。

时钟脉冲模2加法门PRBS三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法模2加法运算1⨁1=0,0⨁0=01⨁1=1,0⨁0=1以四级移位寄存器为例：模2加法门时钟脉冲三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法TimestepOutputofmodulo-2adder00111110011120001131000140100050010061001071100180110091011010010111110101三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法1211010131110114111101501111输出为：111100010011010如果第二级和第四级输出的模2门相加，得到输出序列为：1111100结论：同样级数的移位寄存器，因反馈的选择不同，所得到的序列的周期长度就不一样。

三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法4）M序列的性质

a-a

三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法

例如：移位相加的性质：将一个M序列与将它延迟了r位以后的序列按模2加法原则相加，则所得到的新序列是延迟了q位的原来那个M序列。三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法

M序列的自相关函数

证明：

三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法

三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法根据性质3三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法

设

三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法

a,(0)a,(0)a,(0)a,(0)-a,(1)-a,(1)-a,(1)a,(0)-a,(1)-a,(1)-a,(1)a,(0)新序列仍然是一个M序列（移位相加性质），一个周期内有(N-1)/2逻辑0，(N+1)/2逻辑1。三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法

三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法i）ii）

iii）iv）为周期的偶函数三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法M序列的功率谱密度了解M序列的谱密度，可以根据辨识对象的频带直接估计需要选择什么样的M序列。三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法证明：

其中：

三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法相应地M序列的功率谱密度也等于两个谱密度之和：

根据维纳-辛钦公式：

信号的功率谱密度就是该信号自相关函数的傅里叶变换。

其中：

三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法

三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法因此：

三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法

因为三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法

当，

三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法白噪声M序列三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法5）实际应用中M序列参数的选择：

ii）选择iii）选择N三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法6）用M序列作为输入辨识脉冲响应M序列为周期信号近似三、系统辨识常用的输入信号2.伪随机信号及其产生方法设置M序列的周期大于被辨识系统的调节时间，则被辨识系统的脉冲响应在时间大于M序列周期后基本上衰减为零。因此对一个稳定的系统来说，可看作一个有界常数C。令，则有：当N很大时，C很小可