2025 九年级数学下册二次函数图像顶点在反比例函数上的参数求解课件

一、基础回顾：二次函数顶点与反比例函数的核心概念演讲人CONTENTS基础回顾：二次函数顶点与反比例函数的核心概念问题拆解：顶点在反比例函数上的参数求解逻辑链典型题型与变式训练：从单一参数到多参数的进阶常见误区与解题策略总结总结与升华：函数综合问题的核心思想目录2025九年级数学下册二次函数图像顶点在反比例函数上的参数求解课件各位同学、老师们：今天我们要共同探讨一个融合二次函数与反比例函数的综合性问题——“二次函数图像顶点在反比例函数上的参数求解”。这一问题既是对二次函数顶点性质的深化应用，也是反比例函数图像与点的位置关系的具体体现，更是九年级数学“函数综合应用”板块的典型题型。在正式展开前，我想先分享一个教学中的观察：许多同学在学习函数时，容易将不同函数类型割裂看待，而实际上，函数的本质是“变量间的对应关系”，当二次函数的顶点与反比例函数产生交点时，这种对应关系便通过“坐标代入”这一桥梁实现了联结。接下来，我们将从基础回顾入手，逐步拆解问题本质，最终形成系统的解题策略。01基础回顾：二次函数顶点与反比例函数的核心概念基础回顾：二次函数顶点与反比例函数的核心概念要解决“顶点在反比例函数上”的问题，首先需要明确两个函数的核心特征，这是后续分析的逻辑起点。1二次函数的顶点坐标二次函数的表达式有三种常见形式：一般式：(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），其顶点坐标为(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))；顶点式：(y=a(x-h)^2+k)（(a\neq0)），其顶点坐标直接为((h,k))；交点式：(y=a(x-x_1)(x-x_2))（(a\neq0)），顶点横坐标为(\frac{x_1+x_2}{2})，纵坐标需代入计算。1二次函数的顶点坐标其中，顶点式是最直接获取顶点坐标的形式，因此在解决此类问题时，若题目未明确给出顶点式，通常需要通过配方法或公式法将一般式转化为顶点式，或直接利用顶点坐标公式计算。教学提示：我在批改作业时发现，部分同学容易混淆顶点横坐标的符号（如将(-\frac{b}{2a})误写为(\frac{b}{2a})），这是因为对顶点式的推导过程不够熟悉。建议大家通过完成“将一般式配方为顶点式”的小练习（如(y=2x^2-4x+1)），强化对顶点坐标符号的记忆。2反比例函数的图像与点的位置关系反比例函数的一般形式为(y=\frac{k}{x})（(k\neq0)），其图像是双曲线，分布在第一、三象限（(k>0)）或第二、四象限（(k<0)）。若点((m,n))在反比例函数图像上，则满足(n=\frac{k}{m})，即(k=m\cdotn)（(m\neq0)）。这一条件是连接二次函数顶点与反比例函数的关键——顶点坐标((h,k))（注意此处顶点式中的(k)与反比例函数的(k)是不同的变量，为避免混淆，后续用((h,t))表示顶点坐标）必须满足(t=\frac{k}{h})（(h\neq0)）。2反比例函数的图像与点的位置关系关键提醒：反比例函数中(x\neq0)，因此顶点的横坐标(h)不能为0，这是求解参数时容易忽略的隐含条件。例如，若二次函数顶点横坐标为0（即顶点在y轴上），则该顶点不可能在反比例函数图像上，因为反比例函数图像不经过y轴。02问题拆解：顶点在反比例函数上的参数求解逻辑链问题拆解：顶点在反比例函数上的参数求解逻辑链明确基础概念后，我们需要构建“参数求解”的完整逻辑链。问题的核心是：已知二次函数（含参数）的顶点在某反比例函数图像上，求参数的值或范围。其本质是通过“顶点坐标满足反比例函数方程”这一条件，建立关于参数的方程（或不等式），进而求解。1步骤一：确定二次函数的顶点坐标根据二次函数的表达式形式，选择最简便的方法求顶点坐标：若为顶点式(y=a(x-h)^2+t)，顶点坐标直接为((h,t))；若为一般式(y=ax^2+bx+c)，则利用顶点坐标公式(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))；若为交点式(y=a(x-x_1)(x-x_2))，则顶点横坐标为(\frac{x_1+x_2}{2})，纵坐标代入计算(y=a\left(\frac{x_1+x_2}{2}-x_1\right)\left(\frac{x_1+x_2}{2}-x_2\right)=-\frac{a(x_1-x_2)^2}{4})。1步骤一：确定二次函数的顶点坐标示例1：已知二次函数(y=x^2-2mx+m^2+1)（(m)为参数），求其顶点坐标。解：将一般式配方为顶点式：(y=(x-m)^2+1)，因此顶点坐标为((m,1))。2步骤二：将顶点坐标代入反比例函数解析式设反比例函数为(y=\frac{k}{x})（(k\neq0)），若顶点((h,t))在其图像上，则(t=\frac{k}{h})，即(k=h\cdott)（(h\neq0)）。若题目中反比例函数的(k)已知（如(y=\frac{2}{x})），则直接代入顶点坐标得到方程(t=\frac{2}{h})；若(k)未知但与二次函数参数相关（如(k=m)），则需结合两者的关系建立方程。示例2：承接示例1，若该二次函数的顶点在反比例函数(y=\frac{2}{x})上，求(m)的值。2步骤二：将顶点坐标代入反比例函数解析式解：由示例1知顶点为((m,1))，代入反比例函数得(1=\frac{2}{m})，解得(m=2)。此时需检验(m=2)是否满足(h\neq0)（(m=2)时(h=2\neq0)，符合条件）。3步骤三：求解参数并检验合理性解得参数后，需检验以下两点：二次函数的二次项系数不为0：若参数出现在二次项系数中（如(y=(m-1)x^2+2x+3)），则需保证(m-1\neq0)，即(m\neq1)；反比例函数的定义域限制：顶点横坐标(h\neq0)，否则顶点不在反比例函数图像上；反比例函数的(k\neq0)：若(k)由顶点坐标计算得出（如(k=h\cdott)），则需保证(k\neq0)，即(h\cdott\neq0)（等价于(h\neq0)且(t\neq0)）。3步骤三：求解参数并检验合理性示例3：已知二次函数(y=mx^2+2x+1)（(m\neq0)）的顶点在反比例函数(y=\frac{k}{x})上，且(k=m)，求(m)的值。解：（1）求顶点坐标：顶点横坐标(h=-\frac{2}{2m}=-\frac{1}{m})，纵坐标(t=\frac{4m\cdot1-2^2}{4m}=\frac{4m-4}{4m}=\frac{m-1}{m})；（2）代入反比例函数(y=\frac{m}{x})（因(k=m)），得(t=\frac{m}{h})，即(\frac{m-1}{m}=\frac{m}{-\frac{1}{m}})；3步骤三：求解参数并检验合理性（3）化简方程：右边(\frac{m}{-\frac{1}{m}}=-m^2)，因此(\frac{m-1}{m}=-m^2)；（4）两边乘(m)（(m\neq0)）得(m-1=-m^3)，即(m^3+m-1=0)；（5）试根法求解：当(m=1)时，(1+1-1=1\neq0)；当(m=0)时无意义；当(m=-1)时，(-1-1-1=-3\neq0)，因此需用因式分解或求根公式（此处可近似解为(m\approx0.682)）；（6）检验：(m\neq0)（已满足），顶点横坐标(h=-\frac{1}{m}\neq0)（(m\neq0)时成立），(k=m\neq0)（(m\neq0)时成立），因此解有效。03典型题型与变式训练：从单一参数到多参数的进阶典型题型与变式训练：从单一参数到多参数的进阶为帮助大家灵活应用上述逻辑链，我们通过典型题型和变式训练，逐步提升问题复杂度，覆盖不同参数位置的求解场景。3.1题型1：二次函数为顶点式，参数在顶点坐标中题目：已知二次函数(y=2(x-a)^2+b)的顶点在反比例函数(y=\frac{6}{x})上，且该二次函数的最小值为3，求(a)和(b)的值。分析：二次函数的最小值为顶点纵坐标（因(a=2>0)，开口向上），故(b=3)；典型题型与变式训练：从单一参数到多参数的进阶顶点坐标为((a,3))，代入反比例函数得(3=\frac{6}{a})，解得(a=2)；检验：(a=2\neq0)，符合条件。变式1：若二次函数为(y=-3(x-a)^2+b)，顶点在(y=\frac{k}{x})上，且函数最大值为4，(k=2a)，求(a)和(b)。解答：最大值为顶点纵坐标(b=4)（因(a=-3<0)，开口向下）；典型题型与变式训练：从单一参数到多参数的进阶顶点((a,4))代入(y=\frac{2a}{x})，得(4=\frac{2a}{a}=2)（矛盾），因此无解。结论：当参数间存在关联时，需注意方程是否有解，避免盲目求解。3.2题型2：二次函数为一般式，参数在系数中题目：已知二次函数(y=x^2+px+q)的顶点在反比例函数(y=\frac{2}{x})上，且图像与y轴交于点((0,3))，求(p)和(q)的值。分析：与y轴交点为((0,q))，故(q=3)；典型题型与变式训练：从单一参数到多参数的进阶顶点坐标(\left(-\frac{p}{2},\frac{4\cdot1\cdot3-p^2}{4}\right)=\left(-\frac{p}{2},\frac{12-p^2}{4}\right))；代入反比例函数得(\frac{12-p^2}{4}=\frac{2}{-\frac{p}{2}})（注意分母为(-\frac{p}{2})）；化简右边：(\frac{2}{-\frac{p}{2}}=-\frac{4}{p})，因此方程为(\frac{12-p^2}{4}=-\frac{4}{p})；典型题型与变式训练：从单一参数到多参数的进阶两边乘(4p)（(p\neq0)）得(p(12-p^2)=-16)，即(-p^3+12p+16=0)，整理为(p^3-12p-16=0)；试根：(p=4)时，(64-48-16=0)，故((p-4)(p^2+4p+4)=0)，即((p-4)(p+2)^2=0)，解得(p=4)或(p=-2)；检验：典型题型与变式训练：从单一参数到多参数的进阶(p=4)时，顶点横坐标(-\frac{4}{2}=-2\neq0)，纵坐标(\frac{12-16}{4}=-1)，代入(y=\frac{2}{x})得(-1=\frac{2}{-2}=-1)，成立；(p=-2)时，顶点横坐标(-\frac{-2}{2}=1\neq0)，纵坐标(\frac{12-4}{4}=2)，代入(y=\frac{2}{x})得(2=\frac{2}{1}=2)，成立；因此(p=4,q=3)或(p=-2,q=3)。典型题型与变式训练：从单一参数到多参数的进阶变式2：若题目中反比例函数改为(y=\frac{k}{x})，且(k=q)，其他条件不变，求(p)和(q)的关系。解答：由(q=3)（与y轴交点），得(k=3)；顶点纵坐标(\frac{12-p^2}{4}=\frac{3}{-\frac{p}{2}})，化简得(\frac{12-p^2}{4}=-\frac{6}{p})，即(p(12-p^2)=-24)，(-p^3+12p+24=0)，即(p^3-12p-24=0)（此为(p)与(q=3)的关系）。典型题型与变式训练：从单一参数到多参数的进阶3.3题型3：二次函数与反比例函数均含参数，需联立求解题目：已知二次函数(y=a(x-1)^2+k)（(a\neq0)）的顶点在反比例函数(y=\frac{m}{x})上，且反比例函数经过点((2,3))，求(k)与(m)的关系。分析：反比例函数过((2,3))，故(3=\frac{m}{2})，解得(m=6)，即反比例函数为(y=\frac{6}{x})；二次函数顶点为((1,k))，代入反比例函数得(k=\frac{6}{1}=6)；典型题型与变式训练：从单一参数到多参数的进阶因此(k=6)（与(a)无关，因顶点横坐标固定为1）。变式3：若二次函数顶点横坐标为(t)（(t\neq0)），纵坐标为(2t)，且顶点在反比例函数(y=\frac{m}{x})上，同时反比例函数与二次函数另一个交点的横坐标为1，求(m)和二次函数的表达式。解答：顶点((t,2t))在反比例函数上，故(2t=\frac{m}{t})，得(m=2t^2)；典型题型与变式训练：从单一参数到多参数的进阶反比例函数为(y=\frac{2t^2}{x})，与二次函数交于(x=1)，设二次函数为(y=a(x-t)^2+2t)，代入(x=1)得(y=a(1-t)^2+2t)，同时(y=\frac{2t^2}{1}=2t^2)，因此(a(1-t)^2+2t=2t^2)，解得(a=\frac{2t^2-2t}{(1-t)^2}=\frac{2t(t-1)}{(t-1)^2}=\frac{2t}{t-1})（(t\neq1)）；因此二次函数表达式为(y=\frac{2t}{t-1}(x-t)^2+2t)（(t\neq0,1)）。04常见误区与解题策略总结常见误区与解题策略总结在教学实践中，学生解决此类问题时常见以下误区，需重点规避：1误区1：忽略二次函数二次项系数不为0的条件案例：已知二次函数(y=(m-1)x^2+2x+3)的顶点在(y=\frac{2}{x})上，求(m)。部分同学直接计算顶点坐标并代入，得到(m=2)，但忽略了(m-1\neq0)，即(m\neq1)，而(m=2)满足此条件，因此正确；若解得(m=1)，则需舍去。策略：在设二次函数时，首先明确(a\neq0)，若参数出现在(a)中，需在最后检验。2误区2：顶点横坐标为0时仍代入反比例函数案例：二次函数(y=x^2+c)的顶点在(y=\frac{3}{x})上，求(c)。顶点为((0,c))，横坐标为0，而反比例函数定义域(x\neq0)，因此无解。但部分同学会直接代入得(c=\frac{3}{0})（无意义），此时应直接判断无解。策略：计算顶点横坐标后，先判断是否为0，若为0则直接得出“无满足条件的参数”。3误区3：未检验反比例函数的(k\neq0)案例：二次函数顶点为((2,0))，若认为其在(y=\frac{k}{x})上，则(0=\frac{k}{2})，得(k