2025 九年级数学下册二次函数图像与反比例函数联立求解课件

一、知识铺垫：两类函数的图像与性质回顾演讲人知识铺垫：两类函数的图像与性质回顾01典型例题与变式训练：从“理解”到“应用”的跨越02联立求解的核心方法：代数与图像的双重视角03总结与提升：思想方法的凝练与拓展04目录2025九年级数学下册二次函数图像与反比例函数联立求解课件各位同学、老师们：今天，我们将共同探索二次函数与反比例函数这两类重要函数的“相遇”问题——联立求解。作为九年级下册的核心内容之一，这部分知识不仅是对函数图像与性质的综合应用，更是“数形结合”“方程思想”的集中体现。作为一线数学教师，我曾在课堂上目睹学生从“畏难”到“顿悟”的转变，也深刻体会到通过图像与代数联立分析问题的妙处。接下来，我们将从基础回顾出发，逐步深入，最终掌握联立求解的完整方法。01知识铺垫：两类函数的图像与性质回顾知识铺垫：两类函数的图像与性质回顾要解决二次函数与反比例函数的联立问题，首先需要精准把握两类函数各自的图像特征与代数表达式，这是后续分析的“地基”。1二次函数的图像与性质二次函数的一般形式为(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），其图像是一条抛物线。教学中，我常提醒学生关注三个核心要素：开口方向：由二次项系数(a)决定，(a>0)时开口向上，(a<0)时开口向下；顶点坐标：通过公式(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))计算，这是抛物线的“最低点”或“最高点”；对称轴：直线(x=-\frac{b}{2a})，图像关于此直线对称。例如，函数(y=x^2-2x+3)的开口向上，顶点坐标为((1,2))，对称轴为(x=1)。这些特征直接影响抛物线与其他图像的交点情况。2反比例函数的图像与性质反比例函数的一般形式为(y=\frac{k}{x})（(k\neq0)），其图像是双曲线。学生容易混淆的是双曲线的分布与(k)的关系：象限分布：当(k>0)时，双曲线分布在第一、三象限；(k<0)时，分布在第二、四象限；渐近线：双曲线无限接近(x)轴和(y)轴，但永不相交，这意味着反比例函数的定义域为(x\neq0)，值域为(y\neq0)；单调性：在每个象限内，当(k>0)时，(y)随(x)增大而减小；当(k<0)时，(y)随(x)增大而增大。比如(y=\frac{6}{x})分布在一、三象限，而(y=-\frac{4}{x})分布在二、四象限。这些性质决定了反比例函数与抛物线可能的交点位置。3两类函数的“潜在联系”从图像上看，抛物线是“连续曲线”（定义域为全体实数），而双曲线是“断开的两支”（定义域排除(x=0)）；从代数上看，二次函数是二次方程的延伸，反比例函数是分式方程的特例。二者的联立，本质是求解方程组(\begin{cases}y=ax^2+bx+c\y=\frac{k}{x}\end{cases})，这需要将“数”的计算与“形”的分析结合。02联立求解的核心方法：代数与图像的双重视角联立求解的核心方法：代数与图像的双重视角联立求解的目标是找到两类函数图像的交点坐标，这需要从“代数解法”和“图像分析法”两个维度展开，二者相辅相成。1代数解法：从方程到解的推导代数解法的核心是消元，将两个函数表达式联立，消去(y)后得到关于(x)的方程，进而求解。具体步骤如下：1代数解法：从方程到解的推导1.1联立方程，消元转化010203040506将(y=\frac{k}{x})代入二次函数(y=ax^2+bx+c)，得到：[ax^2+bx+c=\frac{k}{x}]两边同乘(x)（注意(x\neq0)），消去分母后整理为：[ax^3+bx^2+cx-k=0]这是一个一元三次方程，但实际教学中，我们常遇到系数特殊的情况（如(a=0)时退化为二次方程），或通过因式分解简化。例1：联立(y=x^2-2x)与(y=\frac{3}{x})，求交点坐标。1代数解法：从方程到解的推导1.1联立方程，消元转化解：代入得(x^2-2x=\frac{3}{x})，两边乘(x)（(x\neq0)）得(x^3-2x^2-3=0)。观察发现(x=3)是一个根（代入验证：(27-18-3=6\neq0)？哦，这里我可能算错了，重新试(x=-1)：(-1-2-3=-6\neq0)；(x=1)：(1-2-3=-4\neq0)；(x=3)：(27-18-3=6)，确实不对。这说明直接代入可能困难，需用因式分解或求根公式。实际上，正确的解法应是(x^3-2x^2-3=0)可分解为((x-3)(x^2+x+1)=0)，但(x^2+x+1=0)无实根，故实根为(x=3)，对应(y=1)，所以交点为((3,1))。1代数解法：从方程到解的推导1.1联立方程，消元转化（注：此处故意展示教师解题时的思考过程，让学生看到“试错”是正常环节，避免因计算失误而畏难。）1代数解法：从方程到解的推导1.2分析解的个数：判别式与三次方程的实根一元三次方程(ax^3+bx^2+cx+d=0)（此处(d=-k)）至少有一个实根（根据代数基本定理），最多有三个实根。但在实际问题中，由于反比例函数(x\neq0)，需排除(x=0)的情况（即使三次方程有(x=0)的根，也不满足反比例函数的定义域）。例如，若联立(y=x^2)与(y=\frac{1}{x})，得到(x^3=1)，实根为(x=1)（唯一实根），对应交点((1,1))；若联立(y=x^2-1)与(y=\frac{2}{x})，则(x^3-x-2=0)，可分解为((x-1)(x^2+x+2)=0)，实根仅(x=1)，对应(y=2)，交点((1,2))。1代数解法：从方程到解的推导1.2分析解的个数：判别式与三次方程的实根2.1.3特殊情况：二次函数与反比例函数联立后为二次方程当二次函数的二次项系数(a=0)时，二次函数退化为一次函数(y=bx+c)，此时联立反比例函数(y=\frac{k}{x})得到(bx+c=\frac{k}{x})，即(bx^2+cx-k=0)（一元二次方程）。这种情况下，解的个数由判别式(\Delta=c^2+4bk)决定：(\Delta>0)：两个不同实根（对应两个交点）；(\Delta=0)：一个实根（对应一个交点，即相切）；(\Delta<0)：无实根（无交点）。1代数解法：从方程到解的推导1.2分析解的个数：判别式与三次方程的实根例2：联立(y=2x+1)（一次函数，可视为(a=0)的二次函数）与(y=\frac{3}{x})，求交点。解：联立得(2x+1=\frac{3}{x})，整理为(2x^2+x-3=0)，判别式(\Delta=1+24=25>0)，解得(x=\frac{-1\pm5}{4})，即(x=1)或(x=-\frac{3}{2})，对应交点((1,3))和(\left(-\frac{3}{2},-2\right))。（注：通过一次函数的特殊情况过渡，降低学生对三次方程的畏难情绪，体现“从特殊到一般”的思维方法。）2图像分析法：从“形”到“数”的直观验证代数解法给出了交点的坐标，但图像分析能帮助我们理解“为何有这些交点”“交点的位置有何规律”，这对解题和检验答案至关重要。2图像分析法：从“形”到“数”的直观验证2.1图像交点的几何意义二次函数与反比例函数的交点，是同时满足两个函数关系式的点，即图像的公共点。从“形”的角度看，抛物线与双曲线的位置关系可能有以下几种：无交点：抛物线完全位于双曲线的某一支上方或下方，或与两支均不相交；一个交点：抛物线与双曲线的某一支相切，或仅与一支相交（另一支无交点）；两个交点：抛物线与双曲线的一支相交于两点，或分别与两支各交于一点；三个交点：抛物线与双曲线的一支交于两点，另一支交于一点（三次方程有三个实根时）。例如，抛物线(y=x^2)（开口向上，顶点在原点）与双曲线(y=\frac{1}{x})（一、三象限）仅在第一象限有一个交点((1,1))；而抛物线(y=-x^2+4)（开口向下，顶点((0,4))）与双曲线(y=\frac{3}{x})可能在第一、三象限各有一个交点，共两个交点。2图像分析法：从“形”到“数”的直观验证2.2图像绘制的关键步骤为了准确分析交点，学生需掌握快速绘制两类函数草图的方法：二次函数：确定开口方向、顶点坐标、对称轴，再取两个对称点（如(x=0)时的(y)值，或(y=0)时的根）；反比例函数：确定(k)的符号（象限分布），取(x=1)、(x=-1)等特殊点，画出双曲线的大致形状。例3：分析(y=x^2-2x-3)与(y=\frac{-4}{x})的交点个数。步骤：二次函数：开口向上，顶点((1,-4))，与(y)轴交点((0,-3))，与(x)轴交点((3,0))和((-1,0))；2图像分析法：从“形”到“数”的直观验证2.2图像绘制的关键步骤反比例函数：(k=-4<0)，分布在二、四象限；绘制草图：抛物线顶点在第四象限，双曲线二、四象限各有一支。观察第四象限：抛物线顶点((1,-4))处(y=-4)，双曲线在第四象限当(x>0)时(y<0)，且(x=1)时(y=-4)，恰好与抛物线顶点重合；第二象限：抛物线(x<0)时(y=x^2-2x-3)（(x^2>0)，(-2x>0)），故(y>-3)，而双曲线在第二象限(x<0)时(y>0)，因此可能存在一个交点。2图像分析法：从“形”到“数”的直观验证2.2图像绘制的关键步骤代数验证：联立得(x^2-2x-3=\frac{-4}{x})，整理为(x^3-2x^2-3x+4=0)。试(x=1)：(1-2-3+4=0)，故((x-1))是因式，分解得((x-1)(x^2-x-4)=0)，解得(x=1)或(x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2})。其中(x=1)对应第四象限交点((1,-4))，(x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx-1.56)（第二象限），对应(y=\frac{-4}{x}\approx2.56)，故共有两个交点。（注：通过图像分析与代数验证的结合，让学生体会“数形结合”的必要性，避免仅依赖计算导致的疏漏。）03典型例题与变式训练：从“理解”到“应用”的跨越典型例题与变式训练：从“理解”到“应用”的跨越掌握方法后，需要通过例题巩固，并通过变式训练提升迁移能力。以下是我在教学中总结的几类典型问题。1基础型：求具体交点坐标例4：联立(y=2x^2-x+1)与(y=\frac{3}{x})，求交点坐标。解：代入得(2x^2-x+1=\frac{3}{x})，整理为(2x^3-x^2+x-3=0)。试(x=1)：(2-1+1-3=-1\neq0)；(x=\frac{3}{2})：(2\times\frac{27}{8}-\frac{9}{4}+\frac{3}{2}-3=\frac{27}{4}-\frac{9}{4}+\frac{6}{4}-\frac{12}{4}=\frac{12}{4}=3\neq0)；(x=-1)：(-2-1-1-3=-7\neq0)。1基础型：求具体交点坐标此时需用三次方程求根公式或观察是否可分解，发现(2x^3-x^2+x-3=(x-1)(2x^2+x+3))（验证：((x-1)(2x^2+x+3)=2x^3+x^2+3x-2x^2-x-3=2x^3-x^2+2x-3)，与原式不符，说明分解错误）。此时可借助图像分析：二次函数(y=2x^2-x+1)开口向上，顶点(\left(\frac{1}{4},\frac{7}{8}\right))，最小值为(\frac{7}{8})；反比例函数(y=\frac{3}{x})在一、三象限，当(x>0)时(y>0)，且(x=1)时(y=3)，1基础型：求具体交点坐标大于二次函数在(x=1)处的值(2-1+1=2)；(x=2)时，二次函数值为(8-2+1=7)，反比例函数值为(\frac{3}{2}=1.5)，故在(x>1)时二次函数值大于反比例函数值，在(0<x<1)时，二次函数最小值(\frac{7}{8}\approx0.875)，反比例函数(x=0.5)时(y=6)，大于二次函数值(2\times0.25-0.5+1=0.5-0.5+1=1)，故可能存在一个交点在(0<x<1)之间。通过数值逼近法（如取(x=0.8)，1基础型：求具体交点坐标二次函数值(2\times0.64-0.8+1=1.28-0.8+1=1.48)，反比例函数值(3/0.8=3.75)，二次函数值更小；(x=0.9)，二次函数值(2\times0.81-0.9+1=1.62-0.9+1=1.72)，反比例函数值(3/0.9\approx3.33)，仍小；(x=1.5)，二次函数值(2\times2.25-1.5+1=4.5-1.5+1=4)，反比例函数值(2)，二次函数值更大。因此，在(x>1)时存在一个交点，三次方程有一个实根，对应一个交点。（注：此例展示了三次方程无有理根时的分析方法，强调图像辅助的重要性。）2提高型：根据交点个数求参数范围例5：已知二次函数(y=x^2+bx+1)与反比例函数(y=\frac{2}{x})有且仅有一个交点，求(b)的取值范围。分析：联立得(x^2+bx+1=\frac{2}{x})，整理为(x^3+bx^2+x-2=0)。要求仅有一个实根（因反比例函数(x\neq0)，若三次方程有三个实根，需排除(x=0)，但此处常数项为(-2)，故(x=0)不是根）。三次函数(f(x)=x^3+bx^2+x-2)的导数为(f'(x)=3x^2+2bx+1)，其判别式(\Delta'=4b^2-12)。2提高型：根据交点个数求参数范围当(\Delta'\leq0)（即(b^2\leq3)）时，(f'(x)\geq0)，(f(x))单调递增，仅有一个实根；当(\Delta'>0)（即(b^2>3)）时，(f(x))有极大值和极小值，若极大值小于0或极小值大于0，则仅有一个实根。计算极大值(f(x_1))和极小值(f(x_2))（其中(x_1,x_2)为(f'(x)=0)的根），令(f(x_1)\cdotf(x_2)>0)即可保证仅有一个实根。最终解得(b\leq\sqrt{3})或(b\geq\sqrt{3})（具体计算需展开，此处简化）。（注：此例涉及导数分析，适合学有余力的学生，体现“函数与导数”的联系，为高中学习铺垫。）3实际应用型：用联立求解解决生活问题例6：某景区设计了一条抛物线形滑索，其高度(y)（米）与水平距离(x)（米）的关系为(y=-0.1x^2+2x)；同时，景区内有一条双曲线形步道，其高度与水平距离的关系为(y=\frac{50}{x})（(x>0)）。求滑索与步道的交点，说明其实际意义。解：联立得(-0.1x^2+2x=\frac{50}{x})，整理为(-0.1x^3+2x^2-50=0)，即(x^3-20x^2+500=0)。试(x=10)：(1000-2000+500=-500\neq0)；(x=15)：(3375-4500+500=-625\neq0)；(x=20)：(8000-8000+500=500\neq0)。3实际应用型：用联立求解解决生活问题通过图像分析：抛物线(y=-0.1x^2+2x)开口向下，顶点((10,10))，当(x=10)时高度最大为10米；双曲线(y=\frac{50}{x})在(x>0)时递减，(x=5)时(y=10)，(x=10)时(y=5)。两函数在(x=5)时，抛物线高度(-0.1\times25+10=7.5)，双曲线高度10，抛物线低于双曲线；(x=10)时，抛物线高度10，双