2025 九年级数学下册二次函数最值问题典型例题解析课件

一、知识铺垫：二次函数最值的本质与基本求解方法演讲人知识铺垫：二次函数最值的本质与基本求解方法总结与升华课堂练习与反馈（节选）解题策略总结：从“会解题”到“用数学”典型例题分类解析：从基础到综合的递进目录2025九年级数学下册二次函数最值问题典型例题解析课件各位同学、同仁，今天我们围绕“二次函数最值问题”展开深入解析。作为九年级数学下册的核心内容之一，二次函数的最值不仅是中考的高频考点，更是后续学习微积分中极值问题的基础。在多年的教学实践中，我深刻体会到，这部分内容的学习需要从“理解本质—掌握方法—灵活应用”三个层次递进，才能真正实现从“解题”到“用数学”的跨越。接下来，我将结合典型例题，带大家系统梳理这一知识点。01知识铺垫：二次函数最值的本质与基本求解方法知识铺垫：二次函数最值的本质与基本求解方法要解决二次函数的最值问题，首先需要明确其数学本质。二次函数的一般形式为(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），其图像是一条抛物线。当(a>0)时，抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值；当(a<0)时，开口向下，顶点处取得最大值。因此，二次函数的最值本质上是其图像顶点的纵坐标，而顶点的横坐标为(x=-\frac{b}{2a})。1无约束条件下的最值求解当题目中未对自变量(x)的取值范围作限制时（即(x\in\mathbb{R})），二次函数的最值可直接通过顶点公式计算。此时，最值为(y=\frac{4ac-b^2}{4a})（也可通过将顶点横坐标代入原函数求得）。例1：求函数(y=2x^2-4x+5)的最小值。解析：首先判断开口方向，(a=2>0)，开口向上，故存在最小值。顶点横坐标(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\times2}=1)，代入原函数得(y=2\times1^2-4\times1+5=3)。因此，函数的最小值为3，无最大值（因开口向上，(y)可趋向正无穷）。2有区间限制的最值求解01在右侧编辑区输入内容实际问题中，自变量(x)往往受限于某个区间([m,n])，此时需结合抛物线的开口方向及顶点横坐标是否在区间内，分情况讨论：02在右侧编辑区输入内容（1）若顶点横坐标(x_0=-\frac{b}{2a})在区间([m,n])内，则最值可能在顶点或区间端点处；03例2：求函数(y=-x^2+2x+3)在区间([0,3])上的最大值和最小值。（2）若(x_0)不在区间内，则最值一定在区间的端点处（开口向上时取离(x_0)较远的端点，开口向下时取离(x_0)较近的端点）。2有区间限制的最值求解解析：首先，(a=-1<0)，开口向下，顶点横坐标(x_0=-\frac{2}{2\times(-1)}=1)，显然(1\in[0,3])。计算顶点处函数值：(y(1)=-1+2+3=4)；再计算区间端点：(y(0)=0+0+3=3)，(y(3)=-9+6+3=0)。比较得最大值为4（顶点处），最小值为0（端点(x=3)处）。3实际问题中的最值建模二次函数的最值问题更多与实际情境结合，如销售利润、几何面积、运动轨迹等。解决这类问题的关键是建立正确的二次函数模型，明确自变量的实际意义（如数量、时间等），并根据实际情境确定自变量的取值范围（如数量为非负整数、时间非负等）。02典型例题分类解析：从基础到综合的递进典型例题分类解析：从基础到综合的递进为帮助大家系统掌握，我将典型例题分为三类：基础型、综合型、实际应用型，逐步提升难度，强化对知识点的理解与应用。1基础型：直接利用顶点公式求解此类题目通常给出二次函数的表达式，直接要求求最值，或已知最值求参数。重点考查对顶点公式的熟练应用。例3：已知二次函数(y=ax^2+4x+c)的最大值为3，且图像过点((1,2))，求(a)和(c)的值。解析：因函数有最大值，故(a<0)。顶点纵坐标为(\frac{4ac-b^2}{4a}=3)，代入(b=4)得(\frac{4ac-16}{4a}=3)，化简为(ac-4=3a)，即(ac=3a+4)（①）。又函数过点((1,2))，代入得(a+4+c=2)，即(a+c=-2)（②）。1基础型：直接利用顶点公式求解联立①②，由②得(c=-2-a)，代入①得(a(-2-a)=3a+4)，即(-2a-a^2=3a+4)，整理为(a^2+5a+4=0)，解得(a=-1)或(a=-4)。当(a=-1)时，(c=-2-(-1)=-1)，验证顶点纵坐标：(\frac{4\times(-1)\times(-1)-16}{4\times(-1)}=\frac{4-16}{-4}=3)，符合条件；1基础型：直接利用顶点公式求解当(a=-4)时，(c=-2-(-4)=2)，验证顶点纵坐标：(\frac{4\times(-4)\times2-16}{4\times(-4)}=\frac{-32-16}{-16}=3)，也符合条件。因此，(a=-1,c=-1)或(a=-4,c=2)。易错点提醒：部分同学易忽略(a<0)的条件，但题目中“最大值”已隐含这一信息，需注意挖掘。2综合型：含区间限制的最值问题此类题目需结合二次函数的图像性质，分析顶点与区间的位置关系，比较顶点与端点的函数值，是中考的常见题型。例4：已知函数(y=x^2-2mx+m^2+1)（(m)为常数），求该函数在区间([0,2])上的最小值。解析：函数可化为顶点式(y=(x-m)^2+1)，顶点坐标为((m,1))，开口向上（(a=1>0)）。需分三种情况讨论：（1）当顶点横坐标(m\leq0)时，区间([0,2])在顶点右侧，函数在区间上单调递增，最小值在(x=0)处，(y(0)=0-0+m^2+1=m^2+1)；2综合型：含区间限制的最值问题（2）当(0<m<2)时，顶点在区间内，最小值为顶点纵坐标(1)；（3）当(m\geq2)时，区间([0,2])在顶点左侧，函数在区间上单调递减，最小值在(x=2)处，(y(2)=4-4m+m^2+1=m^2-4m+5)。综上，最小值为(\begin{cases}m^2+1&(m\leq0)\1&(0<m<2)\m^2-4m+5&(m\geq2)\end{cases})。方法总结：处理含参数的区间最值问题，关键是确定顶点与区间的位置关系，通过分类讨论（以顶点横坐标是否在区间内为分界点）逐个求解。3实际应用型：建模求解生活中的最值问题这类问题需要从实际情境中抽象出数学模型，重点考查“数学建模”能力，常见于利润最大化、面积最大化、路径最高点等问题。3实际应用型：建模求解生活中的最值问题3.1销售利润问题例5：某商店销售一种成本为每件20元的商品，经市场调查发现，该商品每天的销售量(y)（件）与销售单价(x)（元）满足关系(y=-10x+500)（(20\leqx\leq40)）。设每天的销售利润为(w)元，求(w)的最大值及此时的销售单价。解析：利润(w=(x-20)y=(x-20)(-10x+500)=-10x^2+700x-10000)。这是一个开口向下的二次函数（(a=-10<0)），顶点横坐标(x=-\frac{700}{2\times(-10)}=35)，且(35\in[20,40])。代入得(w=-10\times35^2+700\times35-10000=-12250+24500-10000=2250)。因此，当销售单价为35元时，利润最大为2250元。3实际应用型：建模求解生活中的最值问题3.1销售利润问题拓展思考：若题目中要求销售量(y)为整数，是否需要调整单价？此时需检查(x=35)时(y=-10\times35+500=150)（整数），故无需调整；若(x)为小数时(y)非整数，需取附近整数验证利润。3实际应用型：建模求解生活中的最值问题3.2几何面积问题例6：用长为20米的篱笆围成一个矩形场地，一面靠墙（墙足够长），求围成的矩形面积的最大值。解析：设垂直于墙的一边长为(x)米，则平行于墙的一边长为(20-2x)米（因篱笆围三边），面积(S=x(20-2x)=-2x^2+20x)。这是开口向下的二次函数（(a=-2<0)），顶点横坐标(x=-\frac{20}{2\times(-2)}=5)，此时(20-2x=10)，面积(S=5\times10=50)平方米。因此，最大面积为50平方米。关键步骤：准确设定变量，明确各边长度与变量的关系，注意实际情境中边长为正数，即(x>0)且(20-2x>0)，故(0<x<10)，顶点横坐标(x=5)在此区间内，有效。3实际应用型：建模求解生活中的最值问题3.3运动轨迹问题例7：某运动员抛出的铅球运动轨迹可近似为二次函数(y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3})（(x)为水平距离，(y)为高度，单位：米），求铅球能达到的最大高度及此时的水平距离。解析：函数开口向下（(a=-\frac{1}{12}<0)），顶点横坐标(x=-\frac{\frac{2}{3}}{2\times(-\frac{1}{12})}=-\frac{2}{3}\times(-\frac{12}{2})=4)，代入得(y=-\frac{1}{12}\times16+\frac{2}{3}\times4+\frac{5}{3}=-\frac{4}{3}+\frac{8}{3}+\frac{5}{3}=3)。因此，铅球的最大高度为3米，此时水平距离为4米。03解题策略总结：从“会解题”到“用数学”解题策略总结：从“会解题”到“用数学”通过以上例题，我们可以总结出解决二次函数最值问题的“四步策略”：1明确类型，确定方法首先判断题目类型：是无约束条件、区间限制还是实际应用问题。无约束条件直接用顶点公式；区间限制需结合顶点与区间的位置；实际应用需先建模再求解。2分析开口方向，确定最值类型根据(a)的符号判断开口方向，确定是求最大值（(a<0)）还是最小值（(a>0)），避免方向错误。3计算顶点与端点，比较取值对于区间限制问题，需计算顶点坐标和区间端点的函数值，比较后确定最值；对于实际问题，需验证顶点是否在自变量的实际取值范围内（如正数、整数等）。4回归实际，检验合理性实际问题中，求得的最值需符合现实意义（如数量不能为负、利润不能为负等），必要时调整取值（如取附近整数）。04课堂练习与反馈（节选）课堂练习与反馈（节选）为巩固所学，现提供两组练习（因篇幅限制，仅列部分题目）：1基础练习求函数(y=3x^2-6x+2)的最小值。已知二次函数(y=-2x^2+bx+5)的最大值为7，求(b)的值。2综合练习求函数(y=x^2-4x+3)在区间([1,4])上的最大值和最小值。某水果批发店销售一种水果，成本为每千克4元，售价为每千克6元时，每天可售出100千克。经市场调查，售价每提高0.5元，销量减少10千克（售价不超过10元）。设售价为(x)元，每天利润为(w)元，求(w)的最大值。（答案与解析可通过课堂讨论或课后批改完成，重点关注学生对分类讨论和建模步骤的掌握。）05总结与升华总结与升华二次函数的最值问题，本质是对抛物线顶点性质的应