2025-2026 学年高二 数学 期中复习卷 试卷及答案

2025-2026学年高二数学期中复习卷试卷及答案一、试卷部分班级：________姓名：________分数：________（考试时间：120分钟满分：150分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知数列{aₙ}是等差数列，a₁=2，公差d=3，则a₅=（）A.14B.15C.16D.172.函数f(x)=x³-3x²+2的导数f’(x)=（）A.3x²-6xB.3x²-3xC.x³-6xD.x³-3x3.已知双曲线$\frac{x²}{a²}-\frac{y²}{4}$=1（a>0）的离心率e=$\frac{3}{2}$，则a的值为（）A.2B.4C.$\sqrt{5}$D.2$\sqrt{5}$4.已知空间向量$\vec{a}$=(1,2,-1)，$\vec{b}$=(2,1,2)，则$\vec{a}$·$\vec{b}$=（）A.2B.3C.4D.55.函数f(x)=x-lnx的单调递减区间是（）A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,0)∪(1,+∞)6.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₅=25，a₃+a₇=18，则a₈=（）A.11B.12C.13D.147.已知抛物线y²=4x的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|=5，则点P的横坐标为（）A.3B.4C.5D.68.如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=3，AA₁=4，则异面直线A₁B与AD₁所成角的余弦值为（）A.$\frac{12}{25}$B.$\frac{16}{25}$C.$\frac{18}{25}$D.$\frac{24}{25}$二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列关于导数的说法正确的是（）A.若函数f(x)在x=x₀处可导，则f(x)在x=x₀处连续B.若函数f(x)在x=x₀处连续，则f(x)在x=x₀处可导C.若函数f(x)在x=x₀处取得极值，则f’(x₀)=0D.若f’(x₀)=0，则函数f(x)在x=x₀处取得极值10.已知等比数列{aₙ}的公比为q，前n项和为Sₙ，则下列说法正确的是（）A.若q>1，则数列{aₙ}单调递增B.若q=-1，则Sₙ=0（n为偶数）C.若a₁>0，0<q<1，则数列{aₙ}单调递减D.若a₁<0，q>1，则数列{aₙ}单调递增11.关于椭圆$\frac{x²}{25}+\frac{y²}{9}$=1，下列说法正确的是（）A.长轴长为10B.短轴长为6C.焦距为8D.离心率为$\frac{3}{5}$12.如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA₁=2，则下列说法正确的是（）A.直线A₁C与平面ABC所成角的正切值为2B.平面A₁BC₁⊥平面A₁ACC₁C.点C到平面A₁AB的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.三棱锥A₁-ABC的体积为1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知数列{aₙ}的通项公式为aₙ=2n-3，则数列{aₙ}的前n项和Sₙ=________。14.曲线y=x²-2x+3在点(1,2)处的切线方程为________。15.已知空间向量$\vec{a}$=(2,-1,3)，$\vec{b}$=(1,2,-1)，则$\vec{a}$×$\vec{b}$=________。16.已知抛物线y²=8x的准线与x轴交于点M，过点M作直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|=________。四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知数列{aₙ}是等比数列，a₁=2，a₃=8。（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）求数列{aₙ}的前n项和Sₙ。18.（12分）已知函数f(x)=x³-3x+1。（1）求函数f(x)的单调区间；（2）求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。19.（12分）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，BC=$\sqrt{2}$，AA₁=2，D为BB₁的中点。（1）求证：平面ADC₁⊥平面ACC₁A₁；（2）求点A₁到平面ADC₁的距离。20.（12分）已知椭圆C：$\frac{x²}{a²}+\frac{y²}{b²}$=1（a>b>0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点P(2,1)。（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，求m²的取值范围。21.（12分）已知函数f(x)=lnx-ax+1（a∈R）。（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围。22.（12分）已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，直线l过点F且与抛物线C交于A、B两点，点M为抛物线C的准线上一点，且MA⊥MB。（1）求证：直线l恒过定点；（2）求△MAB面积的最小值。二、答案部分一、单项选择题1.A2.A3.D4.A5.A6.C7.B8.B二、多项选择题9.AC10.BC11.ABC12.AC三、填空题13.n²-2n14.y=215.(-5,5,5)16.8四、解答题17.解：（1）设等比数列{aₙ}的公比为q，由a₃=a₁q²，得8=2q²，解得q=±2。当q=2时，aₙ=2×2ⁿ⁻¹=2ⁿ；当q=-2时，aₙ=2×(-2)ⁿ⁻¹。（2）当q=2时，Sₙ=$\frac{2(1-2ⁿ)}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2；当q=-2时，Sₙ=$\frac{2[1-(-2)ⁿ]}{1-(-2)}$=$\frac{2[1-(-2)ⁿ]}{3}$。18.解：（1）f’(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)。令f’(x)>0，得x<-1或x>1；令f’(x)<0，得-1<x<1。∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)，单调递减区间为(-1,1)。（2）计算f(-2)=(-2)³-3×(-2)+1=-8+6+1=-1；f(-1)=(-1)³-3×(-1)+1=-1+3+1=3；f(1)=1³-3×1+1=1-3+1=-1；f(2)=2³-3×2+1=8-6+1=3。∴函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为3，最小值为-1。19.（1）证明：∵AB=AC=1，BC=$\sqrt{2}$，∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC。∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AA₁⊥AB。又AC∩AA₁=A，AC、AA₁⊂平面ACC₁A₁，∴AB⊥平面ACC₁A₁。取AC₁的中点E，连接DE、AE，∵D为BB₁的中点，∴DE∥AB，∴DE⊥平面ACC₁A₁。又DE⊂平面ADC₁，∴平面ADC₁⊥平面ACC₁A₁。（2）解：以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA₁为z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A₁(0,0,2)，D(0,1,1)，C₁(1,0,2)。向量$\vec{AD}$=(0,1,1)，$\vec{AC₁}$=(1,0,2)，$\vec{A₁A}$=(0,0,-2)。设平面ADC₁的法向量为$\vec{n}$=(x,y,z)，则$\begin{cases}\vec{n}·\vec{AD}=0\\\vec{n}·\vec{AC₁}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}y+z=0\\x+2z=0\end{cases}$。令z=1，则y=-1，x=-2，∴$\vec{n}$=(-2,-1,1)。点A₁到平面ADC₁的距离d=$\frac{|\vec{n}·\vec{A₁A}|}{|\vec{n}|}$=$\frac{|(-2)×0+(-1)×0+1×(-2)|}{\sqrt{(-2)²+(-1)²+1²}}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$。20.解：（1）由离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，又b²=a²-c²=$\frac{1}{4}$a²。将点P(2,1)代入椭圆方程，得$\frac{4}{a²}+\frac{1}{\frac{1}{4}a²}$=1，解得a²=8，b²=2。∴椭圆C的标准方程为$\frac{x²}{8}+\frac{y²}{2}$=1。（2）联立$\begin{cases}y=kx+m\\\frac{x²}{8}+\frac{y²}{2}\end{cases}$，得(1+4k²)x²+8kmx+4m²-8=0。设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4k²}$，x₁x₂=$\frac{4m²-8}{1+4k²}$。∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+(kx₁+m)(kx₂+m)=0。整理得(1+k²)x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²=0，代入得：(1+k²)·$\frac{4m²-8}{1+4k²}$+km·(-$\frac{8km}{1+4k²}$)+m²=0，化简得5m²=8(1+k²)。由Δ=(8km)²-4(1+4k²)(4m²-8)>0，得m²<2+8k²。将k²=$\frac{5m²}{8}$-1代入，得m²<2+8($\frac{5m²}{8}$-1)，解得m²>$\frac{8}{5}$。又k²=$\frac{5m²}{8}$-1≥0，得m²≥$\frac{8}{5}$，∴m²的取值范围是[$\frac{8}{5}$,+∞)。21.解：（1）函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f’(x)=$\frac{1}{x}$-a。当a≤0时，f’(x)>0恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时，令f’(x)>0，得0<x<$\frac{1}{a}$；令f’(x)<0，得x>$\frac{1}{a}$。∴f(x)在(0,$\frac{1}{a}$)上单调递增，在($\frac{1}{a}$,+∞)上单调递减。（2）当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，最多有一个零点，不符合题意；当a>0时，f(x)的最大值为f($\frac{1}{a}$)=ln$\frac{1}{a}$-a·$\frac{1}{a}$+1=-lna。若f(x)有两个零点，则f($\frac{1}{a}$)>0，即-lna>0，解得0<a<1。又f($\frac{1}{e}$)=ln$\frac{1}{e}$-a·$\frac{1}{e}$+1=-1-$\frac{a}{e}$+1=-$\frac{a}{e}$<0，f($\frac{1}{a²}$)=ln$\frac{1}{a²}$-a·$\frac{1}{a²}$+1=-2lna-$\frac{1}{a}$+1，令g(a)=-2lna-$\frac{1}{a}$+1（0<a<1），g’(a)=-$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{a²}$=$\frac{1-2a}{a²}$，当0<a<$\frac{1}{2}$时g’(a)>0，当$\frac{1}{2}$<a<1时g’(a)<0，g(a)≤g($\frac{1}{2}$)=-2ln$\frac{1}{2}$-2+1=2ln2-1<0，∴f($\frac{1}{a²}$)<0。∴当0<a<1时，f(x)在(0,$\frac{1}{a}$)和($\frac{1}{a}$,+∞)上各有一个零点，符合题意。综上，实数a的取值范围是(0,1)。22.（1）证明：抛物线C的焦点F(1,0)，准线方程为x=-1。设直线l的方程为x=ty+1，A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，M(-1,m)。联立$\begin{cases}x=ty+1\\y²=4x\end{cases}$，得y²-4ty-4=0，∴y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4。∵MA⊥MB，∴$\vec{MA}$·$\vec{MB}$=0，即(x₁+1)(x₂+1)+(y₁-m)(y₂-m)=0。又x₁=ty₁+1，x₂=ty₂+1，代入得：(ty₁+2)(ty₂+2)+(y₁-m)(y₂-m)=0，整理得(1+t²)y₁y₂+(2t-m)(y₁+y₂)+4