2025 九年级数学下册位似图形作图步骤详解课件

一、课程引言：从生活现象到数学本质的联结演讲人课程引言：从生活现象到数学本质的联结壹基础铺垫：位似图形的定义与核心性质贰分步拆解：位似图形的标准作图流程叁拓展深化：不同场景下的作图变式肆易错警示：学生常见错误与规避策略伍实战应用：从例题到综合题的能力提升陆目录课程总结：位似图形作图的核心逻辑柒2025九年级数学下册位似图形作图步骤详解课件01课程引言：从生活现象到数学本质的联结课程引言：从生活现象到数学本质的联结各位同学，当我们用相机拍摄景物时，照片中的图像与实际景物存在一种特殊的“缩放”关系——既保持形状完全相同，又通过比例放大或缩小；当工程师绘制建筑图纸时，蓝图上的每一条线都与实际建筑成固定比例，且所有对应点的连线都会汇聚到同一点。这种现象背后，隐藏着初中几何中一个重要的知识点：位似图形。作为九年级下册“图形的相似”章节的核心内容，位似图形不仅是相似图形的特殊形式，更是后续学习投影、坐标系变换、几何建模的基础。今天，我们将从概念出发，逐步拆解位似图形的作图逻辑，通过“理解定义—掌握性质—规范步骤—突破易错点—实战应用”的递进式学习，彻底攻克这一几何作图难点。02基础铺垫：位似图形的定义与核心性质1从相似图形到位似图形的进阶要理解位似图形，首先需要回顾相似图形的定义：形状相同、大小不一定相同的图形，它们的对应角相等，对应边成比例。但相似图形的对应点连线可能是平行的（如平移后的相似图形），也可能是发散的。而位似图形是相似图形的“强化版”——它要求所有对应点的连线必交于同一点，这一点就是位似的“核心”，称为位似中心。位似图形的严格定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，相似比叫做位似比。2位似图形的三大核心性质掌握性质是作图的前提，位似图形的关键性质可总结为“三点一线两比例”：“三点一线”：任意一组对应点与位似中心共线，即若图形A与图形A'位似，位似中心为O，则点O、点A、点A'必在同一直线上。这是位似图形最本质的特征，也是作图时确定对应点的根本依据。“两比例”：①对应边的比等于位似比（与相似比一致）；②对应点到位似中心的距离之比等于位似比。例如，若位似比为k，则OA'/OA=k（O为位似中心，A为原图形点，A'为对应点）。“方向可选”：位似图形有两种位置关系——外位似（位似中心在对应点连线的延长线上，两图形在位似中心同侧）和内位似（位似中心在对应点连线上，两图形在位似中心异侧）。这一性质决定了作图时对应点的位置可能有两种选择。03分步拆解：位似图形的标准作图流程分步拆解：位似图形的标准作图流程明确了定义和性质，接下来进入核心环节：如何根据给定条件作出位似图形？无论题目要求作内位似还是外位似图形，无论位似中心在图形内部、外部还是边上，作图的底层逻辑都是“定中心—选比例—找点—连线”。以下以“作△ABC以点O为位似中心，位似比为2的位似图形△A'B'C'”为例，详细演示每一步操作。1第一步：确定位似中心与位似比这是作图的起点，需明确题目给定的两个关键信息：位似中心O：可能是平面内任意一点（如题目未指定，需根据要求选择，常见情况是选图形外一点或顶点）；位似比k：若k>1，位似图形是原图形的放大；若0<k<1，则是缩小；k=1时两图形重合（无意义）。注意：位似比是对应边的比，也是对应点到位似中心距离的比，需区分“原图形到新图形”与“新图形到原图形”的比例（如k=2表示新图形是原图形的2倍，原图形到新图形的比为1:2）。2第二步：连接原图形顶点与位似中心以△ABC为例，首先用直尺连接位似中心O与各顶点A、B、C，得到三条射线OA、OB、OC（若O在图形内部，则射线可能向相反方向延伸）。这一步的关键是确保连线的准确性，因为后续对应点必须在这些射线上。注意：若O在△ABC的一条边上（如边AB上），则顶点A或B的对应点可能与O重合（当位似比为0时），但实际作图中k≠0，因此需根据比例计算具体位置。3第三步：根据位似比确定对应点位置根据性质“对应点到位似中心的距离比等于位似比”，在射线OA、OB、OC上截取点A'、B'、C'，使得OA'/OA=k（外位似）或OA'/OA=-k（内位似，负号表示方向相反）。具体操作如下：外位似（同向放大/缩小）：若k=2，以OA为例，从O出发沿OA方向延长，使OA'=2×OA（若原图形在O的一侧，新图形在同侧且更远）；内位似（反向放大/缩小）：若k=2，从O出发沿OA的反方向延长，使OA'=2×OA（新图形在O的另一侧）。尺规操作技巧：若没有刻度直尺，可通过作平行线的方法确定比例。例如，要在射线OA上取点A'使OA'=2×OA，可：3第三步：根据位似比确定对应点位置在右侧编辑区输入内容①在OA外任取一点P，连接AP；13.4第四步：连接对应点，完成位似图形 依次连接A'、B'、C'，得到△A'B'C'。此时需验证： 各对应点连线是否经过O； 对应边是否平行（或共线）； 测量边长是否符合位似比（如原边长AB=3cm，位似比2时A'B'应为6cm）。 示例演示：②过A作AP的平行线交OP延长线于A'（利用平行线分线段成比例定理）。23第三步：根据位似比确定对应点位置原△ABC中，O在△外，OA=2cm，OB=3cm，OC=4cm，位似比k=2（外位似）。则OA'=4cm（沿OA方向延长2cm），OB'=6cm（沿OB方向延长3cm），OC'=8cm（沿OC方向延长4cm），连接A'B'C'后，△A'B'C'与△ABC位似，且各对应边平行（如AB∥A'B'）。04拓展深化：不同场景下的作图变式拓展深化：不同场景下的作图变式位似中心的位置、位似比的正负（内/外位似）、原图形的形状（三角形、四边形、多边形）会影响作图细节，需针对性掌握。1位似中心位置的影响位似中心在原图形外部：最常见的情况，对应点分布在位似中心的同侧（外位似）或异侧（内位似），作图时射线向单一方向延伸即可。01位似中心在原图形内部：如O在△ABC内部，连接OA、OB、OC后，射线需向原图形外延伸（外位似）或向原图形内缩短（内位似，此时新图形可能更小且包围O）。02位似中心在原图形顶点上：例如O与A重合，此时A的对应点A'仍为O（因为OA=0，OA'=k×0=0），只需确定B'、C'的位置（在射线OB、OC上，OB'=k×OB，OC'=k×OC）。032内位似与外位似的区别01外位似：对应点与位似中心在原图形的同侧，位似比k取正值，新图形与原图形方向相同（如原△ABC顶点按顺时针排列，新图形也顺时针）。02内位似：对应点与位似中心在原图形的异侧，位似比k取负值（或理解为方向相反），新图形与原图形方向相反（顺时针变逆时针）。03例：若k=-2（内位似），则OA'=2×OA，但方向与OA相反，相当于以O为中心“翻转”后放大。3多边形位似作图的通用方法对于四边形、五边形等多边形，作图步骤与三角形一致：在右侧编辑区输入内容①确定O和k；在右侧编辑区输入内容②连接O与所有顶点；在右侧编辑区输入内容③在射线上按比例截取对应点；在右侧编辑区输入内容④连接对应点成图。需注意：多边形的边数越多，越要确保每一组对应点都严格共线于O，否则图形将不满足位似条件。05易错警示：学生常见错误与规避策略易错警示：学生常见错误与规避策略在实际教学中，学生作图时易出现以下问题，需重点提醒：1错误一：位似中心与对应点连线不共线表现：作图时随意选取对应点，导致O、A、A'不在同一直线上。原因：对“三点一线”性质理解不深，或作图时未用直尺严格连线。对策：强调位似中心是所有对应点连线的交点，每一步必须用直尺连接O与原顶点，对应点只能在该射线上。0301022错误二：位似比方向混淆（内/外位似错误）1表现：要求作外位似图形时，对应点画在位似中心异侧；或内位似时方向正确但比例错误。2原因：对位似比的符号意义（方向）不理解，或未区分“放大”与“反向放大”。3对策：用具体例子演示，如k=2（外位似，同侧放大）与k=-2（内位似，异侧放大），对比两者图形位置差异。3错误三：对应边不平行（或不共线）对策：作图后用三角板验证对应边是否平行（同位角相等），或测量边长比例是否符合k值。03原因：可能是对应点位置计算错误（如比例错误），或连线时偏移。02表现：作出的图形相似但对应边不平行，不符合位似图形要求。014错误四：忽略特殊位置的位似中心表现：当O在原图形边上或顶点时，误以为无法作图或对应点位置错误。原因：对特殊位置的位似中心缺乏练习，未掌握通用作图逻辑。对策：通过专项练习（如O在△ABC的边BC上，作位似图形），强化“无论O在哪里，对应点必在O与原顶点连线上”的核心规则。06实战应用：从例题到综合题的能力提升1基础例题：作三角形的位似图形题目：如图，已知△ABC和点O，以O为位似中心，位似比为1/2，作△ABC的位似图形△A'B'C'（外位似）。作图步骤：连接OA、OB、OC；分别在OA、OB、OC上取点A'、B'、C'，使OA'=(1/2)OA（向O方向缩短）；连接A'B'、B'C'、C'A'，得到△A'B'C'。验证：测量OA'=1/2OA，AB=2A'B'，且AB∥A'B'，确认符合位似要求。2综合例题：坐标系中的位似图形题目：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(1,2)、B(3,4)、C(5,1)，以原点O为位似中心，位似比为3，作外位似图形△A'B'C'。分析：坐标系中的位似图形可通过坐标变换直接求解——若位似中心为原点，位似比为k，则对应点坐标为原坐标的k倍（外位似）或-k倍（内位似）。解答：A'(1×3,2×3)=(3,6)B'(3×3,4×3)=(9,12)C'(5×3,1×3)=(15,3)连接A'B'C'，即得所求图形。2综合例题：坐标系中的位似图形拓展：若位似中心不是原点（如O(2,0)），则需先将坐标系平移至O为原点，计算对应点坐标后再平移回去。例如，A相对于O的坐标为(1-2,2-0)=(-1,2)，外位似比3时，A'相对于O的坐标为(-1×3,2×3)=(-3,6)，则A'的实际坐标为(2-3,0+6)=(-1,6)。3生活应用：地图缩放中的位似原理案例：某城市地图的比例尺为1:10000（即位似比1/10000），地图上两点间距离为5cm，实际距离为5×10000=50000cm=500m。若要将地图放大为原图的2倍（位似比2），新地图的比例尺变为1:5000，此时图上5cm对应实际距离250m（5×5000=25000cm=250m）。意义：通过生活实例，学生能更深刻理解位似图形在测量、设计中的应用，体会数学与现实的联结。07课程总结：位似图形作图的核心逻辑课程总结：位似图形作图的核心逻辑回顾整节课，位似图形作图的关键可概括为“一中心、两比例、三步骤”：一中心：位似中心是所有对应点连线的交点，决定了图形的“缩放中心”；两比例：对应边的比等于位似比，对应点到位似中心的距离比也等于位似比；三步骤：定中心→连顶点→截点→连线（核心操作流程）。位似图形不仅是几何作