2025 九年级数学下册位似与相似的联系与区别课件

一、概念溯源：从相似到位似的认知起点演讲人01.02.03.04.05.目录概念溯源：从相似到位似的认知起点联系剖析：位似是相似的“特殊成员”区别辨析：位似的“独特标签”应用示例：在实践中深化理解总结与升华：构建知识网络的关键节点2025九年级数学下册位似与相似的联系与区别课件各位同学：今天我们要共同探讨的主题是“位似与相似的联系与区别”。作为九年级下册“图形的相似”章节的核心内容，这两个概念既是对“相似图形”知识的深化，也是后续学习坐标系中图形变换、投影与视图等内容的重要基础。在过去的学习中，我们已经系统掌握了相似图形的定义、性质及判定方法；而“位似”作为相似的特殊形式，其独特的几何特征往往让同学们在理解时产生混淆。接下来，我将结合多年教学实践中的观察与思考，从“概念溯源”“联系剖析”“区别辨析”“应用示例”四个维度展开，帮助大家构建清晰的知识网络。01概念溯源：从相似到位似的认知起点1相似图形的核心定义与本质特征相似图形是我们早已熟悉的概念。根据教材定义：形状相同但大小不一定相同的图形叫做相似图形。其数学表达为：若两个图形F与F'满足“存在一个正数k（相似比），使得F上任意一点P与其对应点P'的连线满足|P'P|/|OP|=k（O为某一定点）”，则F与F'相似。不过更简洁的表述是：对应角相等，对应边成比例。这一定义中隐含了两个关键特征：形状一致性：无论图形如何缩放，角度保持不变（对应角相等）；比例缩放性：各边长度按同一比例放大或缩小（对应边成比例）。例如，不同尺寸的中国地图（比例尺不同）、同一底片冲洗出的大小照片，都是典型的相似图形。2位似图形的引入与严格定义随着学习深入，我们遇到了一类更特殊的相似图形——位似图形。教材中对位似的定义是：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。这里需要注意三个关键要素：共点性：所有对应顶点的连线必须交于同一点（位似中心）；方向一致性：对应边要么平行，要么共线（即方向相同或相反）；相似性基础：位似图形首先必须是相似图形。例如，用投影仪将幻灯片投影到屏幕上时，幻灯片上的图形与屏幕上的图形就是位似图形，光源（投影仪镜头）即为位似中心；再如，用放大镜观察文字时，原文字与放大后的文字也是位似图形，放大镜的光心可视为位似中心。3从相似到位似的认知进阶从相似到位似的学习，本质上是从“一般”到“特殊”的认知过程。相似图形是更广泛的集合，位似图形是其中满足特定位置关系的子集。这就像“四边形”与“平行四边形”的关系——平行四边形是特殊的四边形，而位似图形是特殊的相似图形。理解这一逻辑层级，能帮助我们更高效地把握两者的联系与区别。02联系剖析：位似是相似的“特殊成员”1位似必然相似：底层逻辑的一致性位似图形的定义中明确强调“两个图形不仅相似”，这意味着位似图形一定是相似图形。这是两者最根本的联系。具体表现为：对应角相等：位似图形的对应角与相似图形一样，完全相等；对应边成比例：位似图形的对应边比例（即位似比）与相似比完全一致；周长与面积关系：位似图形的周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方，这与相似图形的性质完全重合。例如，若△ABC与△A'B'C'位似，位似比为2:1，则∠A=∠A'，AB:A'B'=2:1，△ABC的周长是△A'B'C'的2倍，面积是4倍——这些性质与普通相似三角形完全一致。2相似的“位置约束”：位似的特殊表现形式位似图形的特殊性在于，它在相似的基础上额外增加了“位置约束”：所有对应顶点的连线必须交于同一点（位似中心），且对应边平行或共线。这种约束使得位似图形的相似性不仅体现在“形状”上，更体现在“位置关系”的规律性上。以坐标系中的图形为例：若△ABC的顶点坐标为A(1,1)、B(3,1)、C(1,3)，以原点O(0,0)为位似中心，位似比为2，则对应顶点A'(2,2)、B'(6,2)、C'(2,6)。此时，AA'、BB'、CC'的连线均经过原点，且AB与A'B'的斜率均为0（平行），AC与A'C'的斜率均为无穷大（共线），完全符合位似的位置约束。3相似变换与位似变换的包含关系从变换的角度看，相似变换是指保持形状不变的图形变换（包括平移、旋转、反射、缩放等的组合）；而位似变换则是一种特殊的相似变换，它仅包含以某一点为中心的缩放（可能伴随反射，即位似比为负数时）。因此，位似变换是相似变换的子集，这也进一步印证了位似与相似的包含关系。例如，将一个图形先平移再缩放得到的新图形是相似图形，但不是位似图形（因为对应顶点连线不共点）；而仅以某点为中心缩放得到的图形既是相似图形，也是位似图形。03区别辨析：位似的“独特标签”1核心区别：是否存在“位似中心”相似图形与位似图形的最本质区别在于：位似图形必须存在一个公共的位似中心，而相似图形不一定有这样的点。以两个相似但不位似的三角形为例：△ABC中，A(0,0)、B(2,0)、C(0,2)；△DEF中，D(1,1)、E(3,1)、F(1,3)。这两个三角形相似（边长比1:1，实际为全等，全等是相似的特殊情况），但对应顶点连线AD（从(0,0)到(1,1)）、BE（从(2,0)到(3,1)）、CF（从(0,2)到(1,3)）的直线方程分别为y=x、y=x-2、y=x+2，三条直线平行且不相交，因此不存在位似中心，故它们不是位似图形。2位置关系的严格性差异相似图形的对应边只需满足“成比例”，对位置关系没有严格要求——对应边可以相交、平行或任意角度；而位似图形的对应边必须平行或共线（即方向相同或相反）。例如，两个相似的菱形（非正方形）可以通过旋转得到，此时它们的对应边不平行（菱形的边方向随旋转改变），因此不是位似图形；但如果将其中一个菱形以某点为中心缩放，保持边方向不变，则它们既是相似图形，也是位似图形。3变换操作的可分解性不同相似图形可以通过多种变换组合得到（如平移+旋转+缩放），而位似图形只能通过以位似中心为定点的缩放（可能伴随关于位似中心的对称，即位似比为负数时）得到。例如，将△ABC先向右平移5个单位，再放大2倍得到△A'B'C'，此时△ABC与△A'B'C'相似，但不是位似图形（因为平移破坏了对应顶点连线共点的特性）；而若仅以点O为中心放大2倍得到△A''B''C''，则△ABC与△A''B''C''是位似图形。4应用场景的针对性差异相似图形的应用更广泛，涉及几何证明、测量（如利用相似三角形测高）、图形设计等；而位似图形的应用则更聚焦于图形的缩放与定位，例如地图绘制（需保证所有地物点与原点的连线共点）、摄影投影（镜头为位似中心）、计算机图形学中的缩放变换等。例如，在绘制建筑平面图时，若需要将1:100的草图放大为1:50的正式图，通常会选择一个基准点（如坐标原点）作为位似中心，确保所有线条按比例缩放且方向一致，避免图形变形；而若仅需判断两个零件的形状是否相同（不考虑位置），则只需利用相似图形的性质即可。04应用示例：在实践中深化理解1位似与相似的综合判断例题1：如图1所示，△ABC与△A'B'C'中，∠A=∠A'，AB/A'B'=AC/A'C'=2，且AA'、BB'、CC'交于点O，AB∥A'B'，AC∥A'C'。判断△ABC与△A'B'C'的关系。分析：首先，由∠A=∠A'且AB/A'B'=AC/A'C'=2，可判定△ABC∽△A'B'C'（两边成比例且夹角相等）；其次，对应顶点连线交于O，且对应边平行，符合位似图形的定义。因此，△ABC与△A'B'C'是位似图形（位似中心为O，位似比为2）。2利用位似性质解决实际问题例题2：小明想测量学校旗杆的高度，他在旗杆前10米处立一根1.5米高的标杆，当他站在标杆与旗杆之间，眼睛刚好同时看到标杆顶端和旗杆顶端时，测得自己与标杆的水平距离为2米（如图2）。已知小明眼睛到地面的高度为1.6米，求旗杆高度。分析：构造相似三角形：小明的眼睛（点E）、标杆顶端（点B）、旗杆顶端（点D）在同一直线上，因此△EFB∽△EGD（EF=2米，EG=2+10=12米，FB=1.5-1.6=-0.1米？此处需注意单位统一，实际应为标杆顶端到眼睛的垂直距离：1.5-1.6=-0.1米，说明标杆比眼睛低，可能题目描述需调整，正确场景应为标杆高于眼睛。假设标杆高2米，小明眼睛高1.6米，则FB=2-1.6=0.4米，EG=12米，EF=2米。2利用位似性质解决实际问题利用相似比：FB/EG=EF/EG→0.4/FD=2/12→FD=2.4米，因此旗杆高度=1.6+2.4=4米（此为简化示例，实际需更严谨的几何建模）。3位似作图：从理论到操作例题3：以点O为位似中心，将△ABC放大为原图形的2倍（位似比2:1）。步骤：连接OA、OB、OC并延长，使OA'=2OA，OB'=2OB，OC'=2OC（若位似比为负数，则向相反方向延长）；连接A'B'、B'C'、C'A'，得到△A'B'C'，即为所求位似图形。通过此操作，学生能直观感受位似图形“对应点连线共点”的特性，进一步区分位似与普通相似图形的位置差异。05总结与升华：构建知识网络的关键节点总结与升华：构建知识网络的关键节点通过以上分析，我们可以将位似与相似的联系与区别总结为以下三点：5.1联系：位似是特殊的相似位似图形必然是相似图形，具备相似图形的所有性质（对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方）。2区别：位似的“额外约束”位似图形在相似的基础上增加了“对应顶点连线共点（位似中心）”和“对应边平行或共线”的约束，这使得位似图形的位置关系更具规律性