2025-2026 学年高二 数学 期末冲刺卷 试卷及答案

2025-2026学年高二数学期末冲刺卷试卷及答案班级：________姓名：________分数：________考试时间：120分钟一、选择题（每题5分，共40分）1.函数f(x)=x³-3x²+2的导数f’(x)是（）A.3x²-6xB.3x²-6x+2C.x³-3x²D.6x-62.已知命题p：∀x∈R，x²+1>0，则¬p是（）A.∃x₀∈R，x₀²+1>0B.∃x₀∈R，x₀²+1≤0C.∀x∈R，x²+1≤0D.∀x∈R，x²+1<03.双曲线x²/4-y²/9=1的渐近线方程是（）A.y=±3/2xB.y=±2/3xC.y=±9/4xD.y=±4/9x4.已知向量a=(1,2,3)，b=(2,-1,0)，则a·b=（）A.0B.1C.-1D.55.函数f(x)=x-lnx的单调递减区间是（）A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,0)∪(1,+∞)6.已知抛物线y²=4x的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|=3，则点P的横坐标是（）A.1B.2C.3D.47.如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线AB₁与BC₁所成角的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.90°8.已知数列{aₙ}的前n项和Sₙ=n²-2n，则数列{aₙ}的通项公式是（）A.aₙ=2n-3B.aₙ=2n+3C.aₙ=-2n+3D.aₙ=-2n-3二、填空题（每题5分，共20分）9.计算定积分∫₀¹(2x+1)dx=________。10.已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的离心率e=√3/2，且a=4，则b=________。11.已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c在x=-1处取得极大值，在x=2处取得极小值，则a+b=________。12.如图，在空间直角坐标系中，点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则三棱锥O-ABC的体积是________。三、解答题（共90分）13.（12分）已知函数f(x)=x³-3x+1。（1）求函数f(x)的单调区间；（2）求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。14.（12分）已知椭圆C：x²/16+y²/9=1，过点P(2,0)作直线l交椭圆C于A、B两点。（1）求椭圆C的长轴长和离心率；（2）若直线l的斜率为1，求|AB|的长。15.（12分）如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=3，AA₁=4，E是AA₁的中点。（1）求异面直线D₁E与BC所成角的正切值；（2）求三棱锥D₁-BCD的体积。16.（12分）已知数列{aₙ}是等比数列，且a₁=2，a₃=8。（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）设bₙ=aₙ+log₂aₙ，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。17.（12分）已知函数f(x)=lnx-ax（a∈R）。（1）若函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值；（2）当a=1时，求函数f(x)的最大值。18.（12分）已知抛物线C：y²=2px（p>0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线C于A、B两点，M是线段AB的中点，且|AB|=8，点M到准线l的距离为4。（1）求抛物线C的方程；（2）若直线AB的斜率为2，求△AOB的面积（O为坐标原点）。19.（12分）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2，BC=2√3，AA₁=3。（1）求证：平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁；（2）求直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角的正弦值。20.（6分）已知函数f(x)=x²-2x+3，若对任意x∈[1,+∞)，f(x)≥kx恒成立，求实数k的取值范围。参考答案一、选择题1.A2.B3.A4.A5.A6.B7.C8.A二、填空题9.210.211.-312.1/6三、解答题13.（1）解：f’(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)。令f’(x)>0，解得x<-1或x>1；令f’(x)<0，解得-1<x<1。∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)，单调递减区间为(-1,1)。（2）解：计算端点和极值点的函数值：f(-2)=(-2)³-3×(-2)+1=-8+6+1=-1；f(-1)=(-1)³-3×(-1)+1=-1+3+1=3；f(1)=1³-3×1+1=1-3+1=-1；f(2)=2³-3×2+1=8-6+1=3。∴函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为3，最小值为-1。14.（1）解：由椭圆C：x²/16+y²/9=1得a=4，b=3，c=√(a²-b²)=√(16-9)=√7。∴长轴长2a=8，离心率e=c/a=√7/4。（2）解：直线l的方程为y=x-2，代入椭圆方程得x²/16+(x-2)²/9=1。整理得9x²+16(x²-4x+4)=144，即25x²-64x-80=0。设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则x₁+x₂=64/25，x₁x₂=-80/25=-16/5。∴|AB|=√(1+k²)×√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√(1+1)×√[(64/25)²-4×(-16/5)]=√2×√[(4096/625)+64/5]=√2×√[(4096+8000)/625]=√2×√(12096/625)=√2×109.98/25≈√2×4.399≈6.22（精确计算：√(12096)=√(144×84)=12√84=12×2√21=24√21，故|AB|=√2×24√21/25=24√42/25）。15.（1）解：∵BC∥AD，∴异面直线D₁E与BC所成角等于D₁E与AD所成角（或其补角）。∵AA₁⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，∴AA₁⊥AD。E是AA₁中点，AA₁=4，∴AE=2，AD=3，D₁A₁=AD=3，D₁E=√(D₁A₁²+A₁E²)=√(3²+2²)=√13。tanθ=A₁E/D₁A₁=2/3。答：异面直线D₁E与BC所成角的正切值为2/3。（2）解：三棱锥D₁-BCD的体积V=1/3×S△BCD×DD₁。S△BCD=1/2×BC×CD=1/2×3×2=3，DD₁=AA₁=4。∴V=1/3×3×4=4。答：三棱锥D₁-BCD的体积为4。16.（1）解：设等比数列{aₙ}的公比为q，由a₃=a₁q²得8=2q²，解得q=±2。当q=2时，aₙ=2×2ⁿ⁻¹=2ⁿ；当q=-2时，aₙ=2×(-2)ⁿ⁻¹。∴数列{aₙ}的通项公式为aₙ=2ⁿ或aₙ=2×(-2)ⁿ⁻¹。（2）解：当aₙ=2ⁿ时，bₙ=2ⁿ+log₂2ⁿ=2ⁿ+n。Tₙ=(2¹+2²+...+2ⁿ)+(1+2+...+n)=2(2ⁿ-1)/(2-1)+n(n+1)/2=2ⁿ⁺¹-2+n(n+1)/2。当aₙ=2×(-2)ⁿ⁻¹时，bₙ=2×(-2)ⁿ⁻¹+log₂[2×(-2)ⁿ⁻¹]（此时对数无意义，故取q=2）。答：数列{bₙ}的前n项和Tₙ=2ⁿ⁺¹+n(n+1)/2-2。17.（1）解：f’(x)=1/x-a。∵函数f(x)在x=1处取得极值，∴f’(1)=1-a=0，解得a=1。检验：当a=1时，f’(x)=1/x-1，当x∈(0,1)时，f’(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，f’(x)<0，f(x)单调递减，故x=1是极大值点，符合题意。∴a=1。（2）解：当a=1时，f(x)=lnx-x，f’(x)=1/x-1。令f’(x)=0，解得x=1。当x∈(0,1)时，f’(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，f’(x)<0，f(x)单调递减。∴f(x)的最大值为f(1)=ln1-1=-1。答：函数f(x)的最大值为-1。18.（1）解：设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，由抛物线定义得|AF|=x₁+p/2，|BF|=x₂+p/2。∴|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=8。点M的横坐标为(x₁+x₂)/2，点M到准线l的距离为(x₁+x₂)/2+p/2=4。联立得{x₁+x₂+p=8,(x₁+x₂)/2+p/2=4}，解得p=4。∴抛物线C的方程为y²=8x。（2）解：焦点F(2,0)，直线AB的方程为y=2(x-2)=2x-4。代入抛物线方程得(2x-4)²=8x，即4x²-16x+16=8x，整理得x²-6x+4=0。∴x₁+x₂=6，x₁x₂=4。|y₁-y₂|=√[(y₁+y₂)²-4y₁y₂]，由y=2x-4得y₁+y₂=2(x₁+x₂)-8=12-8=4，y₁y₂=4x₁x₂-8(x₁+x₂)+16=16-48+16=-16。∴|y₁-y₂|=√(16+64)=√80=4√5。△AOB的面积S=1/2×|OF|×|y₁-y₂|=1/2×2×4√5=4√5。答：△AOB的面积为4√5。19.（1）证明：∵AB=AC=2，BC=2√3，∴由余弦定理得cos∠BAC=(AB²+AC²-BC²)/(2AB·AC)=(4+4-12)/(2×2×2)=-4/8=-1/2。∴∠BAC=120°，取BC中点D，连接AD，则AD⊥BC。∵AA₁⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，∴AA₁⊥BC。又AD∩AA₁=A，AD、AA₁⊂平面A₁ABB₁，∴BC⊥平面A₁ABB₁。∵BC⊂平面A₁BC，∴平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁。（2）解：以A为原点，AD为x轴，AA₁为z轴，过A作BC的平行线为y轴建立空间直角坐标系。则A(0,0,0)，C(1,√3,0)，A₁(0,0,3)，B(1,-√3,0)，C₁(1,√3,3)。向量A₁C=(1,√3,-3)，平面BCC₁B₁的法向量n=(1,0,0)（或通过向量BC、BB₁求得）。设直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角为θ，则sinθ=|A₁C·n|/(|A₁C||n|)=|1|/(√(1+3+9)×1)=1/√13=√13/13。答：直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角的正弦值为√13/13。20.解：对任意x∈[1,+∞)，f(x)≥kx恒成立，即x²-2x+3≥kx，整理得k≤x+3/x-2。令g(x)=x+3/x-2，