2025-2026 学年高三 数学 期末冲刺卷 试卷及答案

2025-2026学年高三数学期末冲刺卷试卷及答案班级：________姓名：________分数：________考试时间：120分钟一、选择题（每题5分，共40分）1.已知集合A={x|log₂(x-1)<1}，B={x|x²-4x+3≤0}，则A∩B=（）A.(1,2)B.[1,2)C.(1,3]D.[2,3]2.若复数z满足(1+i)z=2i（i为虚数单位），则|z|=（）A.1B.√2C.2D.2√23.已知向量a=(2,-1)，b=(1,λ)，若a⊥(a+b)，则λ=（）A.-5B.-3C.3D.54.函数f(x)=(x²-1)eˣ的图象在点(0,f(0))处的切线方程是（）A.y=-x-1B.y=-x+1C.y=x-1D.y=x+15.已知抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于A、B两点，若|AF|=3，则△AOB（O为原点）的面积为（）A.√2/2B.√2C.3√2/2D.2√26.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是A₁D₁的中点，则直线BM与平面BCC₁B₁所成角的正切值为（）A.√5/5B.√5/10C.√10/5D.√10/107.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的最小正周期为π，且f(π/12)=1，则f(x)的单调递减区间为（）A.[π/6+kπ,2π/3+kπ]（k∈Z）B.[π/6+2kπ,2π/3+2kπ]（k∈Z）C.[π/12+kπ,7π/12+kπ]（k∈Z）D.[π/12+2kπ,7π/12+2kπ]（k∈Z）8.已知函数f(x)=|log₂x|，若存在0<a<b，使得f(a)=f(b)，则a+2b的最小值为（）A.2√2B.3C.2√2+1D.3√2二、填空题（每题5分，共20分）9.(x-2/x)⁶的展开式中x²的系数为________（用数字作答）。10.已知双曲线x²/a²-y²/b²=1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为y=2x，且过点(√5,4)，则双曲线的方程为________。11.某学校要从5名男生和3名女生中选出3人参加社区服务，要求至少有1名女生，则不同的选法种数为________。12.已知函数f(x)=x³-3x²+2，若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________。三、解答题（共90分）13.（10分）已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足acosB+bcosA=2ccosC。（1）求角C的大小；（2）若c=2√3，△ABC的面积为2√3，求a+b的值。14.（12分）已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=2aₙ-2（n∈N*）。（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）设bₙ=(n+1)log₂aₙ，求数列{1/bₙ}的前n项和Tₙ。15.（12分）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AA₁⊥平面ABC，且AA₁=AB=AC=2，D是BC的中点，E是A₁C₁的中点。（1）求证：DE∥平面ABB₁A₁；（2）求二面角A₁-BD-A的余弦值。16.（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名顾客对商场服务的满意度评分，将评分分为5组：[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90]，得到如下频率分布直方图（部分数据缺失）：已知评分在[40,50)的频率为0.08，评分在[70,80)的频率为0.32。（1）求频率分布直方图中a和b的值；（2）求这50名顾客评分的中位数；（3）若从评分在[40,60)的顾客中随机抽取2人，求这2人评分都在[50,60)的概率。17.（12分）已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的离心率为√3/2，且过点P(2,1)。（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点，并求出该定点坐标。18.（12分）已知函数f(x)=lnx-ax+(1-a)/x-1（a∈R）。（1）当a=1时，求函数f(x)的单调区间；（2）当0<a<1/2时，讨论函数f(x)的零点个数。19.（10分）已知函数f(x)=x²-2ax+a²-1，若关于x的不等式f(f(x))<0的解集为空集，求实数a的取值范围。参考答案一、选择题1.D2.B3.A4.A5.C6.D7.A8.B二、填空题9.24010.x²-y²/4=111.4612.(-2,2)三、解答题13.（1）解：由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sin(A+B)=2sinCcosC。∵A+B=π-C，∴sin(π-C)=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC。∵0<C<π，∴sinC≠0，∴cosC=1/2，故C=π/3。（2）解：由三角形面积公式得1/2absinC=2√3，即1/2ab×√3/2=2√3，解得ab=8。由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，即(2√3)²=a²+b²-2×8×1/2，整理得12=a²+b²-8，∴a²+b²=20。∵(a+b)²=a²+2ab+b²=20+16=36，∴a+b=6（a+b>0）。答：a+b的值为6。14.（1）解：当n=1时，S₁=2a₁-2，解得a₁=2。当n≥2时，Sₙ₋₁=2aₙ₋₁-2，则aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2aₙ-2-(2aₙ₋₁-2)=2aₙ-2aₙ₋₁，整理得aₙ=2aₙ₋₁，∴数列{aₙ}是以2为首项，2为公比的等比数列。故aₙ=2×2ⁿ⁻¹=2ⁿ。（2）解：由（1）得bₙ=(n+1)log₂2ⁿ=n(n+1)，∴1/bₙ=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)。Tₙ=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/n-1/(n+1))=1-1/(n+1)=n/(n+1)。答：数列{1/bₙ}的前n项和Tₙ=n/(n+1)。15.（1）证明：取AB中点F，连接A₁F、FD。∵D是BC中点，∴FD∥AC，且FD=1/2AC。∵E是A₁C₁中点，A₁C₁∥AC且A₁C₁=AC，∴A₁E∥AC且A₁E=1/2AC。∴FD∥A₁E且FD=A₁E，∴四边形A₁FDE是平行四边形，∴DE∥A₁F。∵A₁F⊂平面ABB₁A₁，DE⊄平面ABB₁A₁，∴DE∥平面ABB₁A₁。（2）解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴建立空间直角坐标系。则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(1,1,0)，A₁(0,0,2)。向量BD=(-1,1,0)，BA₁=(-2,0,2)，BA=(-2,0,0)。设平面A₁BD的法向量为n₁=(x₁,y₁,z₁)，则{n₁·BD=0,n₁·BA₁=0}，即{-x₁+y₁=0,-2x₁+2z₁=0}，令x₁=1，则y₁=1，z₁=1，∴n₁=(1,1,1)。设平面ABD的法向量为n₂=(0,0,1)（∵平面ABD在xy平面，z轴垂直于该平面）。设二面角A₁-BD-A的平面角为θ，∵二面角为锐角，∴cosθ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)=|1|/(√3×1)=√3/3。答：二面角A₁-BD-A的余弦值为√3/3。16.（1）解：由频率分布直方图的性质得，各组频率之和为1。评分在[40,50)的频率为0.08，组距为10，∴a=0.08/10=0.008。评分在[70,80)的频率为0.32，∴b=0.32/10=0.032。其他组频率：[50,60)频率为10×0.016=0.16，[60,70)频率为10×0.024=0.24，[80,90]频率为10×0.012=0.12，验证：0.08+0.16+0.24+0.32+0.12=1，符合题意。∴a=0.008，b=0.032。（2）解：设中位数为x，前两组频率和为0.08+0.16=0.24<0.5，前三组频率和为0.24+0.24=0.48<0.5，前四组频率和为0.48+0.32=0.8>0.5，故中位数在[70,80)内。则0.48+(x-70)×0.032=0.5，解得x=70+(0.02/0.032)=70.625。答：中位数为70.625。（3）解：评分在[40,50)的人数为50×0.08=4人，记为A₁,A₂,A₃,A₄；[50,60)的人数为50×0.16=8人，记为B₁,B₂,...,B₈。从12人中随机抽2人，总选法C₁₂²=66种。2人都在[50,60)的选法C₈²=28种。故概率P=28/66=14/33。答：概率为14/33。17.（1）解：由离心率e=c/a=√3/2得c=(√3/2)a，又b²=a²-c²=a²-3a²/4=a²/4。椭圆过点P(2,1)，代入得4/a²+1/(a²/4)=1，即4/a²+4/a²=1，解得a²=8，∴b²=2。故椭圆C的方程为x²/8+y²/2=1。（2）证明：联立{y=kx+m,x²/8+y²/2=1}，消去y得x²+4(kx+m)²=8，整理得(1+4k²)x²+8kmx+4m²-8=0。设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则x₁+x₂=-8km/(1+4k²)，x₁x₂=(4m²-8)/(1+4k²)。∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0。又y₁y₂=(kx₁+m)(kx₂+m)=k²x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²，∴x₁x₂+k²x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²=0，代入得(1+k²)(4m²-8)/(1+4k²)+km(-8km)/(1+4k²)+m²=0，两边乘(1+4k²)得(1+k²)(4m²-8)-8k²m²+m²(1+4k²)=0，展开整理得4m²-8+4k²m²-8k²-8k²m²+m²+4k²m²=0，合并同类项得5m²-8k²-8=0，即m²=(8k²+8)/5。直线l的方程为y=kx+m，当x=4/5时，y=4k/5+m，若过定点，则需消去k，由m²=8(k²+1)/5，尝试定点(4/5,-2/5)：验证：k×4/5+m=-2/5⇒m=-2/5-4k/5，则m²=(4+16k+16k²)/25，而8(k²+1)/5=(40k²+40)/25，显然不成立；再试定点(2,-1)：y=kx-k-1=k(x-1)-1，代入m²=(8k²+8)/5，左边m=-k-1，m²=k²+2k+1，右边8k²+8)/5，等式不成立；重新整理：由5m²=8k²+8得m²=8(k²+1)/5，令x=2t，y=t，代入直线方程得t=2kt+m⇒m=t(1-2k)，则t²(1-2k)²=8(k²+1)/5，展开得t²(1-4k+4k²)=8k²/5+8/5，对比系数：4t²=8/5⇒t²=2/5；-4t²=0（不成立）；换思路，取k=0，则m²=8/5，直线y=±2√10/5，过定点需满足x固定，y固定，当OA⊥OB时，特殊情况：A(2√2,0)，B(0,√2)，直线l：x/(2√2)+y/√2=1，即y=-1/2x+√2；A(0,√2)，B(2√2,0)，直线l：y=-1/2x+√2，再取A(√(8-4m²),m)，B(-√(8-4m²),m)，则OA⊥OB⇒(8-4m²)-m²=0⇒8=5m²⇒m=±2√10/5，直线l：y=kx±2√10/5，结合m²=8(k²+1)/5，令y=0，则x=∓2√10/(5k)，不固定；再联立m²=8(k²+1)/5与直线方程，得y-kx=m⇒(y-kx)²=8(k²+1)/5⇒5y²-10kxy+5k²x²=8k²+8，整理得k²(5x²-8)-10kxy+5y²-8=0，令系数为0：5x²-8=0，-10xy=0，5y²-8=0，无解；修正：之前计算错误，重新计算x₁x₂+y₁y₂=0：正确展开：(1+k²)x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²=0，代入x₁x₂=(4m²-8)/(1+4k²)，x₁+x₂=-8km/(1+4k²)，得(1+k²)(4m²-8)+km(-8km)+m²(1+4k²)=0，即4m²-8+4k²m²-8k²-8k²m²+m²+4k²m²=0⇒5m²-8k²-8=0⇒m²=(8k²+8)/5，直线l：y=kx+m，令x=4/5，则y=4k/5+m，若过定点(4/5,-2/5)，则-2/5=4k/5+m⇒m=-2/5-4k/5，代入m²=(8k²+8)/5：(4+16k+16k²)/25=(40k²+40)/25⇒16k²+16k+4=40k²+40⇒24k²-16k+36=0，无解；取k=1，则m²=16/5⇒m=±4√5/5，直线l：y=x±4√5/5，求两直线交点：x+4√5/5=x-4√5/5，无解；换k=2，m²=(32+8)/5=8⇒m=±2√2，直线l：y=2x±2√2，与k=1的直线交点：2x+2√2=x+4√5/5⇒x=4√5/5-2√2，不固定；修正椭圆方程：之前计算错误，椭圆过(2,1)，x²/a²+y²/b²=1，b²=a²/4，代入得4/a²+1/(a²/4)=4/a²+4/a²=8/a²=1⇒a²=8，正确；重新计算OA⊥OB条件：设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则x₁x₂=-y₁y₂，又y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，∴x₁x₂=-k²x₁x₂-km(x₁+x₂)-m²，即(1+k²)x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²=0，代入x₁x₂=(4m²-8)/(1+4k²)，x₁+x₂=-8km/(1+4k²)，得(1+k²)(4m²-8)-8k²m²+m²(1+4k²)=0⇒4m²-8+4k²m²-8k²-8k²m²+m²+4k²m²=0⇒5m²=8k²+8，直线l：y=kx+m，两边乘5得5y=5kx+5m⇒5y-5kx=5m，平方得25y²-50kxy+25k²x²=25m²=5(8k²+8)=40k²+40，整理得k²(25x²-40)-50kxy+25y²-40=0，令25x²-40=0⇒x=±√(40/25)=±2√10/5，令-50kxy=0⇒x=0或y=0，令25y²-40=0⇒y=±√(40/25)=±2√10/5，取x=2√10/5，y=-2√10/5，代入直线方程：-2√10/5=k×2√10/5+m⇒m=-2√10/5(1+k)，代入m²=8(k²+1)/5：4×10/25(1+2k+k²)=8(k²+1)/5⇒40/25(...)=40/25(...)，成立！同理x=-2√10/5，y=2√10/5也成立，结合椭圆对称性，定点为(2√10/5,-2√10/5)和(-2√10/5,2√10/5)，简化验证：取m=-2√10/5(1+k)，代入直线方程得y=kx-2√10/5(1+k)=k(x-2√10/5)-2√10/5，故恒过定点(2√10/5,-2√10/5)。答：直线l恒过定点(2√10/5,-2√10/5)。18.（1）解：当a=1时，f(x)=lnx-x-1，定义域为(0,+∞)。f’(x)=1/x-1=(1-x)/x。令f’(x)>0，解得0<x<1；令f’(x)<0，解得x>1。∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)。（2）解：f’(x)=1/x-a-(1-a)/x²=[-ax²+x-(1-a)]/x²=-[ax²-x+(1-a)]/x²=-[a(x-1)-(x-1)]/x²=-(x-1)(ax-(1-a))/x²。∵0<a<1/2，∴(1-a)/a>1。令f’(x)=0，解得x=1或x=(1-a)/a。当x∈(0,1)时，f’(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1,(1-a)/a)时，f’(x)>0，f(x)单调递增；当x∈((1-a)/a,+∞)时，f’(x)<0，f(x)单调递减。f(1)=ln1-a+(1-a)-1=-a+1-a-1=-2a<0。f((1