2025 九年级数学下册相似三角形性质定理推导过程课件

一、课程导入：从全等到相似，开启几何探究新视角演讲人CONTENTS课程导入：从全等到相似，开启几何探究新视角知识储备：温故知新，筑牢推导根基核心推导：从定义出发，逐步揭示相似三角形的性质应用示例：在实践中深化对性质定理的理解总结与升华：从推导到思想，构建几何认知体系目录2025九年级数学下册相似三角形性质定理推导过程课件01课程导入：从全等到相似，开启几何探究新视角课程导入：从全等到相似，开启几何探究新视角各位同学，当我们在八年级学习全等三角形时，曾用“完全重合”的直观感受理解了这类特殊三角形的性质——对应角相等、对应边相等，甚至对应高、中线、角平分线也完全相等。而今天，我们要将研究范围从“完全重合”拓展到“形状相同、大小不同”的相似三角形。就像我办公桌上那幅按比例缩小的城市地图，虽然与实际城市大小不同，但道路走向、区域布局的“形状”却高度一致——这就是相似性在生活中的典型体现。在之前的学习中，我们已经通过“对应角相等，对应边成比例”定义了相似三角形，并通过“AA”“SAS”“SSS”三种判定定理掌握了如何判断两个三角形相似。但正如我们不会仅满足于知道“两个三角形全等”，更要探究其对应线段、周长、面积的关系一样，今天我们的核心任务是：从相似三角形的定义出发，通过严谨的逻辑推理，推导出其对应线段（高、中线、角平分线）、周长、面积的性质定理。这不仅是对相似三角形认知的深化，更是为后续学习相似多边形、解直角三角形乃至高中解析几何奠定重要基础。02知识储备：温故知新，筑牢推导根基知识储备：温故知新，筑牢推导根基要完成性质定理的推导，我们需要先回顾几个关键概念和已学定理，就像建房子前要检查砖块是否结实一样：相似三角形的定义与符号表示相似三角形的定义是：对应角相等，对应边成比例的三角形，记作△ABC∽△A'B'C'，其中对应顶点的字母顺序决定了对应关系（如∠A对应∠A'，边AB对应边A'B'），对应边的比值称为相似比，通常用k表示（k>0）。若△ABC∽△A'B'C'且相似比为k，则有$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}=k$，且∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。相似三角形的判定定理STEP1STEP2STEP3STEP4我们已通过实验、推理验证了三种判定方法：AA（两角分别相等）：若一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角相等，则两三角形相似；SAS（两边成比例且夹角相等）：若一个三角形的两边与另一个三角形的两边成比例，且夹角相等，则两三角形相似；SSS（三边成比例）：若一个三角形的三边与另一个三角形的三边成比例，则两三角形相似。全等三角形与相似三角形的关系全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形。因此，相似三角形的性质定理可以看作是全等三角形对应性质的“一般化”——全等三角形中“相等”的结论，在相似三角形中会转化为“成比例”的结论。例如，全等三角形的对应高相等，而相似三角形的对应高则成比例（比例等于相似比）。03核心推导：从定义出发，逐步揭示相似三角形的性质核心推导：从定义出发，逐步揭示相似三角形的性质现在，我们正式进入性质定理的推导环节。为了让推导过程更清晰，我们将从“对应线段”“周长”“面积”三个维度展开，每个维度的推导都遵循“提出问题—构造图形—逻辑推理—得出结论”的路径。对应线段的比例关系：高、中线、角平分线对应高的比等于相似比问题提出：若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高（AD⊥BC于D，A'D'⊥B'C'于D'），则$\frac{AD}{A'D'}$与k有何关系？构造图形：画出△ABC和△A'B'C'，标注对应顶点、高AD和A'D'（如图1所示）。逻辑推理：由相似三角形定义，∠B=∠B'（对应角相等）；由AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，得∠ADB=∠A'D'B'=90（垂直定义）；对应线段的比例关系：高、中线、角平分线对应高的比等于相似比010203在△ABD和△A'B'D'中，∠B=∠B'，∠ADB=∠A'D'B'，根据AA判定定理，△ABD∽△A'B'D'；由相似三角形对应边成比例，$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$（相似比定义）。结论：相似三角形对应高的比等于相似比。对应线段的比例关系：高、中线、角平分线对应中线的比等于相似比问题提出：若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线（D为BC中点，D'为B'C'中点），则$\frac{AD}{A'D'}$与k有何关系？构造图形：画出△ABC和△A'B'C'，标注中线AD（D为BC中点）、A'D'（D'为B'C'中点）（如图2所示）。逻辑推理：由相似三角形定义，$\frac{BC}{B'C'}=k$，且D、D'为中点，故$\frac{BD}{B'D'}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'}=\frac{BC}{B'C'}=k$（中点定义+比例性质）；对应线段的比例关系：高、中线、角平分线对应中线的比等于相似比又∠B=∠B'（对应角相等），且$\frac{AB}{A'B'}=k$（相似比定义），因此$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}=k$且∠B=∠B'；根据SAS判定定理，△ABD∽△A'B'D'；由相似三角形对应边成比例，$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$。结论：相似三角形对应中线的比等于相似比。对应线段的比例关系：高、中线、角平分线对应角平分线的比等于相似比问题提出：若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线（AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'），则$\frac{AD}{A'D'}$与k有何关系？构造图形：画出△ABC和△A'B'C'，标注角平分线AD（平分∠BAC）、A'D'（平分∠B'A'C'）（如图3所示）。逻辑推理：由相似三角形定义，∠BAC=∠B'A'C'（对应角相等），AD、A'D'为角平分线，故∠BAD=∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠BAC（角平分线定义）；对应线段的比例关系：高、中线、角平分线对应角平分线的比等于相似比又∠B=∠B'（对应角相等），因此在△ABD和△A'B'D'中，∠BAD=∠B'A'D'，∠B=∠B'；根据AA判定定理，△ABD∽△A'B'D'；由相似三角形对应边成比例，$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$。结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。小结：通过对高、中线、角平分线的推导，我们发现这三类对应线段的比均等于相似比。这是因为它们的构造均依赖于相似三角形的“对应角相等”和“对应边成比例”这两个核心属性，通过构造子三角形并利用相似判定定理，最终推导出比例关系。周长比等于相似比问题提出：若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，其周长分别为C和C'，则$\frac{C}{C'}$与k有何关系？逻辑推理：设△ABC的三边为AB=c，BC=a，CA=b，则周长C=a+b+c；由相似比为k，△A'B'C'的三边为A'B'=c'，B'C'=a'，C'A'=b'，则$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}=k$，即a=ka'，b=kb'，c=kc'；因此，周长C=ka'+kb'+kc'=k(a'+b'+c')=kC'；故$\frac{C}{C'}=k$。结论：相似三角形的周长比等于相似比。面积比等于相似比的平方问题提出：若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，其面积分别为S和S'，则$\frac{S}{S'}$与k有何关系？逻辑推理：三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，设△ABC的底为BC=a，高为AD=h，则面积$S=\frac{1}{2}ah$；由相似三角形性质，△A'B'C'的底B'C'=a'，高A'D'=h'，且$\frac{a}{a'}=k$，$\frac{h}{h'}=k$（对应高的比等于相似比）；因此，$S'=\frac{1}{2}a'h'$，则$\frac{S}{S'}=\frac{\frac{1}{2}ah}{\frac{1}{2}a'h'}=\frac{a}{a'}×\frac{h}{h'}=k×k=k^2$。面积比等于相似比的平方结论：相似三角形的面积比等于相似比的平方。关键说明：面积比的推导中，我们利用了“底和高均成比例”的特性，两个比例相乘得到平方关系。这一结论是相似三角形性质中最具“扩展性”的，后续学习相似多边形时，面积比同样等于相似比的平方，其本质是二维空间中长度比例的平方效应（类似正方形面积与边长的关系）。04应用示例：在实践中深化对性质定理的理解应用示例：在实践中深化对性质定理的理解为了帮助同学们将推导得出的性质定理转化为解题能力，我们通过以下例题进行巩固（题目难度由易到难，覆盖不同性质）：基础应用：对应高的比例计算例1：已知△ABC∽△DEF，相似比为2:3，△ABC的高为4cm，求△DEF对应高的长度。解析：由相似三角形对应高的比等于相似比，设△DEF的高为h，则$\frac{4}{h}=\frac{2}{3}$，解得h=6cm。综合应用：周长与面积的关联计算例2：△ABC与△A'B'C'相似，△ABC的周长为24cm，面积为30cm²；△A'B'C'的周长为36cm，求△A'B'C'的面积。解析：先求相似比：周长比等于相似比，故$k=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$；面积比等于相似比的平方，即$\frac{S_{△ABC}}{S_{△A'B'C'}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$；代入已知面积，$\frac{30}{S_{△A'B'C'}}=\frac{4}{9}$，解得$S_{△A'B'C'}=\frac{30×9}{4}=67.5$cm²。拓展应用：角平分线与面积的结合例3：如图4，△ABC∽△ADE，相似比为3:2，AM和AN分别是△ABC和△ADE的角平分线，且AM=9cm，△ADE的面积为8cm²，求AN的长度和△ABC的面积。解析：对应角平分线的比等于相似比，$\frac{AM}{AN}=\frac{3}{2}$，代入AM=9cm，得$AN=9×\frac{2}{3}=6$cm；面积比等于相似比的平方，$\frac{S_{△ABC}}{S_{△ADE}}=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，代入$S_{△ADE}=8$cm²，得$S_{△ABC}=8×\frac{9}{4}=18$cm²。拓展应用：角平分线与面积的结合解题反思：通过例题可以发现，相似三角形的性质定理是一个“工具包”——已知相似比，可求对应线段长度；已知周长或面积，可反推相似比，进而解决其他未知量。关键是要明确“对应关系”，避免将非对应线段或面积错误关联。05总结与升华：从推导到思想，构建几何认知体系知识总结：相似三角形性质定理的核心内容通过今天的推导，我们得出以下重要结论：对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。这些结论的推导均以相似三角形的定义（对应角相等、对应边成比例）为起点，通过构造子三角形、应用相似判定定理（AA、SAS）等逻辑步骤逐步展开，体现了“从定义出发，通过推理得出性质”的几何研究基本方法。思想升华：数学中的“一般与特殊”相似三角形与全等三角形的关系，是“一般与特殊”的典型例子——全等是相似比为1的特例，相似则是全等的推广。这种“从特殊到一般”的研究思路，在数学中屡见不鲜（如从整数到有理数、从圆到椭圆）。同学们在后续学习中，要注意体会这种思想，将已学的特殊情形结论推广到一般情形，从而构建更完整的知识网络。学习建议：动手推导，强化理解今天的性质定理虽然结论简洁，但推导过程蕴含了丰富的几何思维