2025年北京海淀区高二（上）期末数学试题和答案

高中2025北京海淀高二（上）期末数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A． B． C． D．2．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为4，E，F分别是B1C1，AB的中点，则EF的长是（）A． B． C．4 D．63．已知双曲线的右焦点为F（2，0），则双曲线C的渐近线方程为（）A． B． C． D．y＝±3x4．在四面体O﹣ABC中，若，，，，，则＝（）A．（） B．（） C．（） D．（）5．已知直线l：x+y+a＝0与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点．若圆O上存在一点P，使得四边形OAPB为菱形，则实数a的值是（）A． B．±1 C． D．±26．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l⊂α，α∩β＝m，则“l∥m”是“l∥β”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．如图，F是平面上一点，以F为圆心，分别画出半径为1，2，3，4，5的同心圆．记半径为4的圆的一条切线为l，再画出与l平行的各圆的切线和一条穿过圆心F与l平行的直线．若以F为焦点，l为准线的抛物线记为M，则A，B，C，D，E这5个点（）A．都不在抛物线M上 B．只有1个点在抛物线M上 C．有2个点在抛物线M上 D．有3个点在抛物线M上8．已知椭圆W：，点P，Q为椭圆W上不同的两点．下面两个结论（）①若给定点M（1，0），则对任意的点P，都存在点Q，使得|PM|+|QM|＝4；②若给定点，则对任意的点P，都存在点Q，使得|PM||QM|＝1．A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对9．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点，动点F沿着线段BC1从点B移动到点C1，则下列结论中正确的是（）A．直线D1F与直线AB为异面直线 B．∠D1FA恒为钝角 C．三棱锥F﹣AD1E体积越来越大 D．D1F⊥B1C10．在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（﹣2，0），，则∠OAP的最大值为（）A． B． C． D．二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。11．已知向量＝（4，m，0），＝（1，2，12），且，则实数m＝，||＝．12．已知圆x2+y2＝r2和圆（x﹣5）2+y2＝9相交于A，B两点，则半径r可以是（写出一个符合题目要求的取值即可）．13．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的点，点Q为其准线上的点，且满足QF⊥PF．若|PF|＝4，则点P的横坐标为，△PQF的面积为．14．中国国家博物馆中的清代仿官窑四方委角象耳瓶向我们展示了我国古代工匠的高超技艺：瓶唇口，直颈，颈两侧饰对称象耳，方腹委角，高圈足外撇……其中“委角”是一种工艺术语，指的是将方形器物的尖角抹平，向内收缩，如同把角折起来．如图，该瓶的瓶身相当于是在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中抹去八个形状与大小都相同的三棱锥．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝x，AA1＝2，E为AA1的中点，F与G分别是棱AD与棱AB上的点，且满足AE＝AF＝AG．已知委角之后的瓶身体积是长方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的，则长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体对角线长度为．15．已知曲线C：x2﹣|x|＝λ（y2﹣|y|），给出下列四个结论：①对任意λ∈R，曲线C关于x轴、y轴、原点对称；②当λ＝1时，曲线C是由两条直线和一个正方形组成的图形；③当λ＝﹣1时，曲线C上任意两点距离的最大值为；④当λ＜0时，曲线C围成的区域面积最小值为4．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（8分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，点M为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BM；（Ⅱ）若平面A1ACC1⊥平面ABC，求证：BM⊥AC1．17．（11分）已知圆C的圆心为C（3，0），且过点，直线l的方程为y＝kx﹣2．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l与圆C相切，求k的值；（Ⅲ）若O为坐标原点，点P满足|PO|＝2|PC|，且点P在直线l上，求k的取值范围．18．（11分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AB，BC⊥AB，AD∥BC，PA＝AD＝2，，BC＝1，E为PD的中点，平面BCE与棱PA交于点F．（Ⅰ）求证：F为PA的中点；（Ⅱ）若G为CD的中点，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角A﹣FG﹣E的余弦值．条件①：BC⊥PB；条件②：．19．（10分）设曲线W：F（x，y）＝0，对曲线W进行如下变换：将W上的任意一点P（x，y）沿着向量＝（h，k）平移，得到点P′（x+h，y+k），称该变换为T（h，k）变换，得到的曲线记为W′．（Ⅰ）若曲线W：x+y+1＝0，对W进行T（﹣1，0）变换，直接写出曲线W′的方程；（Ⅱ）若曲线经过T（h，k）变换后得到的曲线W′关于原点对称．（i）直接写出h+k的值和W′的离心率；（ii）已知点A（3，0），过曲线W′的右焦点M作直线l与曲线W′交于P，Q两点．①记△MAP，△MAQ的面积分别为S1，S2，若S1＝2S2，求直线l的斜率；②直线AP，AQ分别与直线x＝5交于D，E两点，若，求直线l的斜率．

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．【分析】化一般方程为斜截式，求得直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．【解答】解：由直线x+y﹣1＝0，得y＝﹣，可得直线的斜率为，设倾斜角为α（0≤α＜π）， 则tan，．故选：C．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．2．【分析】用向量的方法可得的表达式，两边平方可得2的表达式，进而求出EF的值．【解答】解：正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为4，E，F分别是B1C1，AB的中点，连接B1F，由题意可得B1F|＝＝＝2，＝++，且•＝•＝0，＜，＞＝，可得2＝2+2+2+2•+2•+2•＝22+42+22+0+0+2||•||cos＝24+2×2×2×（﹣）＝20，所以EF＝||＝＝2．故选：A．【点评】本题考查空间中两点间的距离的求法及向量的方法求线段的值，属于中档题．3．【分析】由题意得到a2＝1，c＝2，双曲线的焦点在x轴上，求得b＝，代入双曲线的渐近线方程即可求解．【解答】解：双曲线的右焦点为（2，0），则a2＝1，c＝2，双曲线的焦点在x轴上，所以，所以双曲线的渐近线为y＝±＝±．故选：B．【点评】本题考查了双曲线的性质，属于基础题．4．【分析】可画出图形，连接OM，根据条件知M为AB的中点，N为OC的中点，然后根据向量减法及数乘的几何意义和向量加法的平行四边形法则即可得解．【解答】解：如图，∵，，∴M是边AB的中点，N是边OC的中点，连接OM，则：＝．故选：B．【点评】本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，是基础题．5．【分析】求出圆的圆心与半径，利用点到直线的距离公式转化求解即可．【解答】解：圆O：x2+y2＝4，圆的圆心（0，0），半径为2，直线l：x+y+a＝0与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点．若圆O上存在一点P，使得四边形OAPB为菱形，可得：，解得a＝±．故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．6．【分析】由题意分l∥m和l∥β判断出“l∥m”是“l∥β”的充要条件．【解答】解：因为l⊂α，α∩β＝m，因为l∥m，l⊄β，所以l∥β，可得“l∥m”是“l∥β”的充分条件；因为l∥β，l⊂α，α∩β＝m，可得l∥m，所以“l∥m”是“l∥β”的必要条件，综上所述：“l∥m”是“l∥β”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查充要条件的判断方法，属于基础题．7．【分析】由题意，建立平面直角坐标系，得到抛物线和同心圆的方程，将抛物线和同心圆的方程联立，可得y＝﹣2±r，再逐一验证即可．【解答】解：不妨以点D为坐标原点，过点D且平行于直线l的直线为x轴，过点D且垂直于直线l的直线为y轴，此时p＝4，则抛物线的方程为x2＝8y，易知该同心圆的方程为x2+（y﹣2）2＝r2，联立，解得y＝﹣2±r，当r＝2时，y＝0，该点为点D；当r＝3时，y＝1，该点为点E；当r＝4时，y＝2，该点不存在；当r＝5时，y＝3，该点为点B，综上所述，有3个点在抛物线M上．故选：D．【点评】本题考查抛物线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．8．【分析】由题意，设点P为椭圆在第一象限上一点，点Q为点P关于原点对称的一点，根据椭圆的定义即可判断①；取点Q，P分别在椭圆左，右顶点，代入公式即可判断②．【解答】解：设椭圆W的左右焦点分别为F1，F2，因为椭圆W的方程为，所以F1（﹣1，0），F2（1，0），对于①：易知定点M为椭圆W的右焦点，设点P为椭圆在第一象限上一点，点Q为点P关于原点对称的一点，此时四边形PF1QM为平行四边形，所以|PM|+|QM|＝|PF1|+|PM|＝2a＝4，故①正确；对于②：易知点在椭圆外，当点Q，P分别在椭圆左，右顶点时，此时P（﹣2，0），Q（2，0），则|PM||PN|＝（﹣2）（2+）＝1，故②正确．故选：A．【点评】本题考查椭圆的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．9．【分析】根据正方体的性质，针对各个选项分别求解即可．【解答】解：易知AD1∥BC1，∴直线D1F与直线AB为共面直线，∴A选项错误；易知C1D1⊥AD1，当F与C1重合时，∠D1FA为锐角，∴B选项错误；∵AD1∥BC1，又BC1⊄平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，∴BC1∥平面AD1E，又F在BC1上，∴F到平面AD1E的距离为定值，又三角形AD1E也为定值，∴三棱锥F﹣AD1E体积为定值，∴C选项错误；∵当F与C1重合时，D1C1⊥平面BCC1B1，从而可得D1F⊥B1C，∴当F与C1不重合时，D1F在平面BCC1B1内的射影为BC1，又BC1⊥B1C，∴根据三垂线定理可得D1F⊥B1C，∴综合可得D1F⊥B1C，∴D选项正确．故选：D．【点评】本题考查立体几何的综合应用，属中档题．10．【分析】根据题意，设P的坐标为（x，y），则x＝cosθ，y＝sinθ，分析可得点P的轨迹为椭圆，设直线l是经过点A且与该椭圆相切的直线，且直线l的斜率为k，联立直线l与椭圆的方程，求出k的值，可得直线l的倾斜角，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P的坐标为（x，y），则x＝cosθ，y＝sinθ，变形可得+x2＝1，即P的轨迹为椭圆，设直线l是经过点A且与该椭圆相切的直线，且直线l的斜率为k，此时直线l的方程为y＝k（x+2），联立直线l与椭圆的方程，有，变形可得：k（x+2）2+3x2﹣3＝0，即（k2+3）x2+4k2x+4k2﹣3＝0，直线l与椭圆相切，则有Δ＝16k4﹣4（k2+3）（4k2﹣3）＝9﹣9k2＝0，解可得k＝±1，此时直线l的切斜角为或，当且仅当P为切点，∠OAP最大值，此时∠OAP＝．故选：B．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系以及轨迹方程的求法，注意椭圆的方程，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。11．【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及向量模公式，即可求解．【解答】解：向量＝（4，m，0），＝（1，2，12），且，则4+2m+0＝0，解得m＝﹣2，故，所以||＝．故答案为：﹣2；13．【点评】本题主要考查向量垂直的性质，以及向量模公式，属于基础题．12．【分析】根据已知条件，结合圆心距与两圆的位置关系，即可求解．【解答】解：圆x2+y2＝r2，则圆心C1（0，0），半径r1＝r，圆（x﹣5）2+y2＝9，则圆心C2（5，0），半径r2＝3，|C1C2|＝5，圆x2+y2＝r2和圆（x﹣5）2+y2＝9相交于A，B两点，则|r﹣3|＜5＜r+3，解得2＜r＜8．故答案为：3（2＜r＜8均可，答案不唯一）．【点评】本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题．13．【分析】由抛物线的性质，结合直线与抛物线的位置关系及三角形的面积公式求解．【解答】解：已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，则F（1，0），设P（x0，y0），则，即，不妨设y0＞0，即，则，则Q（﹣1，t），则，即，则，则＝，即△PQF的面积为．故答案为：3；．【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系及三角形的面积公式，属中档题．14．【分析】根据长方体与三棱锥的体积公式，建立方程，即可求解．【解答】解：根据题意可得，解得x＝，∴长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体对角线长度为＝4．故答案为：4【点评】本题考查几何体的体积问题，属基础题．15．【分析】由题意，将将（x，﹣y），（﹣x，y），（﹣x，﹣y）代入曲线C的方程中即可判断①；将λ的值代入曲线方程中，作出函数图象即可判断②③；因为曲线C的方程为（|x|﹣）2﹣λ（|y|﹣）2＝，曲线恒在边长为2的正方形内，进而可判断④．【解答】解：对于①：将（x，﹣y），（﹣x，y），（﹣x，﹣y）代入曲线C的方程中，方程不变，所以对任意λ∈R，曲线C关于x轴、y轴、原点对称，故①正确；对于②：当λ＝1时，曲线C为x2﹣|x|＝y2﹣|y|，整理得（|x|+|y|﹣1）（|x|﹣|y|）＝0，即|x|+|y|＝1，|x|＝|y|，作出函数图象如下所示：则曲线C是由两条直线和一个正方形组成的图形，故②正确；对于③：当λ＝﹣1时，曲线C为x2﹣|x|＝|y|﹣y2，即x2+y2﹣|x|﹣|y|＝0，则曲线C：，作出函数图象如下所示：此时曲线上两点的最大值即为|AB|＝，故③错误；对于④：当λ→0时，﹣1＜x＜1；当λ→﹣∞时，﹣1＜y＜1，曲线C的方程为（|x|﹣）2﹣λ（|y|﹣）2＝，此时，所以曲线恒在边长为2的正方形内，则曲线C围成的区域面积最小值不为4，故④错误．故答案为：①②③．【点评】本题考查曲线与方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．【分析】（Ⅰ）连接AB1，设AB1交A1B于O，由题意可得以OM∥B1C，再由线面平行的判定定理可得结论；（Ⅱ）由面面垂直的性质及线面垂直的判定定理可证得结论．【解答】（Ⅰ）证明：连接AB1，设AB1交A1B于O，由题意可得O为AB1的中点，连接OM，而点M为AC的中点，在△AB1C中，可得OM为中位线，所以OM∥B1C，又因为OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，所以B1C∥平面A1BM；（Ⅱ）证明：AB＝BC，点M为AC的中点，可得BM⊥平面A1ACC1又因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BM⊂平面ABC，所以BM⊥平面A1ACC1，而AC1⊂平面A1ACC1，所以BM⊥AC1．【点评】本题考查线面平行的判定定理的应用及线面垂直的判定定理的应用，属于中档题．17．【分析】（Ⅰ）求解圆的半径，即可得到圆C的标准方程；（Ⅱ）利用圆的圆心到直线的距离等于半径，即可求k的值；（Ⅲ）求解P的轨迹方程，列出不等式，转化求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）已知圆C的圆心为C（3，0），且过点，可知圆的半径为：＝3，圆C的标准方程（x﹣3）2+y2＝9；（Ⅱ）直线l的方程为y＝kx﹣2．直线l与圆C相切，可得＝3，解得k＝；（Ⅲ）O为坐标原点，点P满足|PO|＝2|PC|，设P（x，y），可得＝2，可得（x﹣4）2+y2＝4，且点P在直线l上，所以，解得k∈[0，]．k的取值范围[0，]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，是中档题．18．【分析】（Ⅰ）易证AD∥平面BCEF，再由线面平行的性质定理知AD∥EF，然后根据中位线定理的逆定理，即可得证；（Ⅱ）选择条件①或②：先证AB，AD，AP两两垂直，再以A为原点建系，利用向量法求二面角即可．【解答】（Ⅰ）证明：因为AD∥BC，AD⊄平面BCEF，BC⊂平面BCEF，所以AD∥平面BCEF，又AD⊂平面PAD，平面PAD∩平面BCEF＝EF，所以AD∥EF，因为E是PD的中点，所以F为PA的中点．（Ⅱ）解：选择条件①：因为BC⊥PB，BC⊥AB，PB∩AB＝B，PB、AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又AD∥BC，所以AD⊥平面PAB，因为PA⊥AB，所以AB，AD，AP两两垂直，故以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），F（0，0，1），E（0，1，1），G（，，0），所以＝（0，0，1），＝（，，﹣1），＝（0，1，0），设平面AFG的法向量为＝（x，y，z），则，取y＝1，则z＝0，x＝﹣，所以＝（﹣，1，0），设平面EF