2025年北京怀柔区高二（上）期末数学试题和答案

高中2025北京怀柔高二（上）期末数学注意事项：1.考生要认真填写姓名和考号.2.本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共150分.考试时间120分钟.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡的对应位置，在试卷上作答无效.第一部分必须用铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分选择题（共40分）一、选择题（共10道小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（）A. B. C. D.2.抛物线的焦点到准线的距离为（）A.1 B.2 C.4 D.83.已知等比数列，，，则公比等于（）A. B. C. D.24.若直线是圆的一条对称轴，则值为（）A. B.2 C. D.45.若直线与直线平行，则两平行线间的距离（）A. B. C. D.6.已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（）A. B.1 C. D.7.双曲线：的右焦点到其渐近线的距离为（）A.4 B.3 C. D.8.“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.金刚石是天然存在的最硬的物质，这是因为金刚石的碳原子在空间中的排列方式决定的.如图1，组成金刚石的每一个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个所有棱长都相等的正三棱锥的4个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.即图2中，则的余弦值为（）A. B. C. D.10.已知数列的通项公式，则根据下列说法选出正确答案是（）①若，则数列的前项和；②若，数列的前项和为，则是递增数列；③若数列是递增数列，则.①② B.②③ C.①③ D.①②③第二部分非选择题（共110分）二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分.）11.以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为__________.12.已知等差数列的前项和为，若，，则______；的最小值为______.13.若双曲线的离心率为，写出一个满足条件的双曲线方程______.14.已知椭圆：的左右焦点分别是，，点在椭圆上，则______；若，则点的横坐标的取值范围是______.15.边长为1的正方体中，，，分别为，，的中点，为正方体内的一个动点（包含边界），且满足，则下列选项中所有正确结论的序号是______.①线段与无交点；②平面截正方体所得到的截面图形面积为；③直线与平面所成角为；④在平面上存在点，使得平面.三、解答题（共6道小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16.已知圆：，直线：.（1）求过圆心且与直线垂直的直线方程；（2）直线与圆交于，两点，求的面积.17.如图，已知正方体，边长为2.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.18.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）数列的前项和为，且满足，从下列三个条件中任选一个作为已知，求数列的通项公式及数列的前项和.条件①；条件②的前项和为；条件③.19.已知抛物线：的焦点为，且经过点.（1）求抛物线的标准方程、焦点坐标及准线方程；（2）抛物线上一点，若，求点的坐标；（3）直线：与抛物线交于、两点，若（为坐标原点）的面积为4，求值.20.如图，在四棱锥中，平面平面，，，为中点，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21.已知椭圆：，左右焦点为，，上顶点为，为正三角形，点在椭圆上，过（与轴不重合）的直线与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）在轴上是否存在定点（与不重合），使得点到直线，的距离总相等，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

参考答案第一部分选择题（共40分）一、选择题（共10道小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.【答案】D【分析】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程.【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，又直线过点，所以直线的方程为.故选：D2.【答案】B【分析】根据抛物线方程得到值，则得到焦点到准线的距离.【详解】，，所以焦点到准线的距离为2.故选：B．3.【答案】C【分析】根据等比数列的通项公式计算可得.【详解】因为，，所以，解得.故选：C4.【答案】A【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，根据圆心在直线上求出参数的值.【详解】圆，即，所以圆心坐标为，依题意直线过点，所以，解得.故选：A5.【答案】D【分析】由直线平行关系求，根据平行直线距离公式求结论.【详解】因为直线与直线平行，所以，所以，此时两直线方程为，，两直线平行，直线与直线的距离为.故选：D.6.【答案】A【分析】由已知可得，设，列方程求.【详解】因为直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，，所以，设，则，所以，.故选：A.7.【答案】B【分析】首先求出右焦点坐标与渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算可得.【详解】双曲线：的右焦点,渐近线方程为，即，所以右焦点到其渐近线的距离.故选：B8.【答案】C【分析】求“方程表示焦点在轴上的双曲线”的等价条件，结合充要条件的定义判断结论.【详解】“方程表示焦点在轴上的双曲线”等价与，即，所以“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的充要条件.故选：C.9.【答案】D【分析】将正三棱锥放入正方体中，利用余弦定理计算即可.【详解】将正三棱锥放入正方体中，由题意为正方体中心，如图，设正方体棱长为，则，，在中，由余弦定理可得，故选：D10.【答案】A【分析】利用裂项相消法求和判断①，根据判断②，根据，即可得到，从而求出的取值范围，即可判断③.【详解】对于①：当时，则，所以，故①正确；对于②：当时，，则，所以单调递增，又，所以是递增数列，故②正确；对于③：若数列是单调递增数列，则，即，所以，所以，因为，所以，即，故③错误.故选：A【点睛】关键点点睛：若数列是单调递增数列，则，再参变分离，求出参数的取值范围，反之，若判断的单调性，只需作差得到即可.第二部分非选择题（共110分）二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分.）11.【答案】【分析】根据题意得出半径，即可得出圆的标准方程.【详解】以点为圆心，且与轴相切的圆的半径为1，故圆的标准方程是.故答案为：12.【答案】①.##②.【分析】设等差数列的公差为，根据所给条件得到、的方程组，解得即可求出通项公式，再根据求和公式及二次函数的性质计算可得.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，所以，所以，所以当或时取得最小值，且的最小值为；故答案为：；13.【答案】（答案不唯一，等轴双曲线均符合题意）【分析】本题属于开放性问题，所有等轴双曲线均符合题意.【详解】因为双曲线的离心率为，即，所以，故所有等轴双曲线均符合题意，不妨取.故答案为：（答案不唯一，等轴双曲线均符合题意）14.【答案】①.②.【分析】由椭圆方程求a,b,c，结合椭圆的定义求，求点的坐标，设，由条件列方程和不等式，化简求解即可.【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，则，，，所以，，由椭圆的定义可得，设，则，因为，所以，所以，所以，解得，所以点的横坐标的取值范围是.故答案为：.15.【答案】①②【分析】求点到直线的距离，结合，判断命题①，设分别为的中点，证明共面，再求六边形面积判断命题②，建立空间直角坐标系，证明为平面的法向量，利用向量方法求直线与平面所成角，取特殊点判断命题③错误，假设存在点满足条件，结合条件推出矛盾，判断命题④，由此可得结论.【详解】由已知，，因为，分别为，的中点，所以，所以，，，连接，为的中点，则，，所以点到直线的距离为，又，所以线段与无交点，①正确，连接，，，，，分别为的中点，因为，，所以，所以四点共面，所以点平面，因为，所以，平面，平面，所以平面，同理可证平面，所以共面，又所以平面截正方体所得到的截面图形为正六边形，且边长为，所以面截正方体所得到的截面图形面积为，②正确，以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，所以，，所以为平面的一个法向量，设的坐标为，则，，因为，故，设直线与平面所成角为，则，取，则，又，所以，此时直线与平面所成角为，③错误，设平面上存在点，使得平面，因为平面，所以，所以，又，所以，所以，，因为平面，所以可设，所以，所以，由第一个方程与第三个方程相加可得，与第二个方程矛盾，所以满足条件的点不存在，④错误；故答案为：①②.三、解答题（共6道小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16.【答案】（1）（2）【分析】（1）由圆的方程求圆心坐标，根据直线垂直关系求所求直线的斜率，利用点斜式求直线方程;（2）求出弦长后利用公式可求面积.【小问1详解】圆的圆心坐标为0,2，半径，直线的斜率为，与直线垂直的直线的斜率为1，所以过圆心且与直线垂直的直线方程为，【小问2详解】圆心到直线距离所以，所以的面积.17.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】方法一：（1）证明，，由线面垂直判定定理证明平面，由此证明结论；（2）证明为二面角的平面角，解三角形求其余弦值；方法二：（1）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量，利用向量方法证明两直线垂直；（2）求平面，的法向量，求两向量的夹角余弦，结合图形确定二面角的余弦值.【小问1详解】方法一：连接，设，在正方形中，，在正方体中平面，且平面，平面，平面，且，∴平面，又平面方法二：在正方体中，，，.以点为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，则，A2,0,0，，，，，，，【小问2详解】方法一：连接，中，，为的中点，，在正方体，，在中，所以即为二面角的平面角，在中，，，由余弦定理可二面角的余弦值.方法二：平面轴，所以为平面的一个法向量，设平面的法向量因为，，令，则，，所以为平面的一个法向量，观察图形可得二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值.18.【答案】（1）（2）答案见解析【分析】（1）设数列的公差为，结合等差数列的通项公式和求和公式将条件转化为的方程，解方程求，再求结论，（2）选①，根据等比数列定义证明为等比数列，结合等比数列通项公式求，利用分组求和法结合等比数列求和公式等差数列求和公式求结论；选②，由与的关系，求，利用分组求和法结合等比数列求和公式等差数列求和公式求结论；选③，由（1）结合关系求数列的通项公式，利用分组求和法结合等比数列求和公式等差数列求和公式求结论；【小问1详解】设数列的公差为，因为，，所以，，，；【小问2详解】由（1），，选条件①，，，所以，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，，数列的前项和，选条件②，的前项和为，，当时，，又时，，所以，数列的前项和选条件③，因为所以，故，数列的前项和19.【答案】（1），，（2）（3）的值为或.【分析】（1）将代入抛物线方程可求，由此可求抛物线方程，再求其焦点坐标和准线方程；（2）由条件结合抛物线的定义求点的横坐标，再代入抛物线方程求其纵坐标，由此可得结论；（3）联立方程组，结合设而不求法表示的面积，列方程求.【小问1详解】抛物线经过点，，故，抛物线的方程为，抛物线的焦点的坐标为1,0，准线方程为，【小问2详解】由向准线引垂线，垂足为若，由抛物线定义可知：，且准线方程：，∴点的横坐标为，代入抛物线方程得到，所以点的坐标为.【小问3详解】因为直线的方程为，所以直线过点F1,0，联立，消可得，方程的判别式，设Ax1,由已知为方程的两根，所以，，又的面积，所以，由已知，，解得，所以的值为或.20.【答案】（1）证明见解析（2）；（3）存在，.【分析】（1）取的中点，证明，根据线面平行判定定理证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面法向量，利用向量夹角公式求两向量的夹角余弦，由此可得结论；（3）假设线段上存在点，使得平面，求直线的方向向量和平面的法向量，由假设可得两向量垂直，列方程求出的坐标，由此可得结论.【小问1详解】取的中点，连接，，因为，分别为，的中点，所以中，，.底面中，，，，，，，四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面；【小问2详解】取的中点，连接，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，，因为，，所以，所以，所以两两垂直，以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，设平面的法向量为n=x,y,z则，即，取，则，，所以为平面的一个法向量，所以，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为；【小问3详解】设线段上是存在点，使得平面，，设平面的法向量为，又，，则，即，取，则，，所以为平面的一个法向量，因为平面，所以，又，所以，所以，所以存在点，使得平面，此时.21.【答案】（1），（2）存在，【分析】（1）依题意可得，即可求出离心率，再根据椭圆过点，即可得到方程组，求出、，即可求出椭圆方程；（2）方法一：设直线方程：，当时显然成立，当时，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，设轴上点，依题意可得为的平分线，与互为相反数，根据求出的值，即可得解；方