2024年北京顺义区高一下学期期末数学试题及答案

高中顺义区2023—2024学年度第二学期期末质量检测高一数学试卷考生须知1.本试卷总分150分，考试用时120分钟.2.本试卷共6页，分为选择题（40分）和非选择题（110分）两个部分.3.试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。4.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自己保留.第一部分(选择题共40分)选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.(1)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)已知向量，，那么向量可以是A． B． C． D．(3)在△中，已知，，，则A． B． C． D．(4)已知，则的值为A． B． C． D．(5)以一个等腰直角三角形的直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，若该等腰直角三角形的直角边长度为2，则该几何体的体积为A． B． C． D．(6)已知直线与平面，则下列四个命题中正确的是A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则(7)下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是A．B．C. D．(8)一个人骑自行车由地出发向东骑行了到达地，然后由地向北偏西方向骑行了到达地，此时这个人由地到地位移的大小为，那么的值为A． B． C． D．(9)已知△，且.点是△所在平面内的动点，满足.则的最小值为A．2 B． C．1 D．(10)如图，在扇形中，半径，圆心角，是上的动点（点不与、及中点重合），矩形内接于扇形，且,.设矩形的面积与的关系为，则最大值为A．B． C． D．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上.(11)设复数满足，则____.(12)在锐角△中，，，△的面积为，则_______.(13)在长方形中，，，点满足，则___________，___________.(14)已知函数的部分图象,如图所示.则；若将函数的图象上的点向右平移个单位长度得到点,且点仍在函数的图象上，则的最小值为(15)已知正方体的边长为2，且为棱的中点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面所成的角为，给出下列四个结论：=1\*GB3①存在点使得；②点的轨迹长度为；③三棱锥的体积的最小值为；④线段长度最小值为.其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（16）（本小题13分）已知e1，e2是两个单位向量，其夹角为120°，a＝2e1－e2，b＝3e1＋2e2.（Ⅰ）求|a|，|b|；（=2\*ROMANII）求a与b的夹角.（17）（本小题13分）设函数，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定.条件=1\*GB3①：；条件②：的最大值为；条件③：直线是函数的图象的一条对称轴.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（=2\*ROMANII）求函数在区间上的单调递增区间.（18）（本小题14分）如图，在正方体中，为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：：平面；（Ⅲ）写出直线与平面所成角的正弦值(只需写出结论）.（19）（本小题15分）已知函数.在中，，且.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，，求的面积；（20）（本小题15分）如图，在五面体中，底面为正方形，，，，为的中点，为的中点，，.（Ⅰ）求证：∥；（Ⅱ）求证：平面⊥平面;（Ⅲ）求五面体的体积.（21）（本小题15分）对于数集，其中，．定义向量集．若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P．（Ⅰ）已知数集，请写出数集对应的向量集，并说明是否具有性质P？（Ⅱ）若，且具有性质P，求x的值；（Ⅲ）若X具有性质P，求证：，且当时，．

顺义区2023—2024学年度第二学期期末质量检测高一数学试卷答案一、选择题1-5CDCBA6-10DBCAA二、填空题11、12、13、2；14、0；15、①②③三、解答题16．参考答案与评分标准：解（Ⅰ）因为e1，e2是两个单位向量，其夹角为120°，则|e1|＝1，|e2|＝1，e1·e2＝－eq\f(1,2).-----------------------------------------2分又a2＝(2e1－e2)2＝4eeq\o\al(2,1)－4e1·e2＋eeq\o\al(2,2)＝7，-----------------------------4分所以|a|＝eq\r(7)，-----------------------------5分同理b2＝(3e1＋2e2)2＝9eeq\o\al(2,1)＋12e1·e2＋4eeq\o\al(2,2)＝7，-----------------------------7分所以|b|＝eq\r(7).-----------------------------8分（Ⅱ）由题得，a·b＝(2e1－e2)·(3e1＋2e2)＝6eeq\o\al(2,1)＋e1·e2－2eeq\o\al(2,2)＝eq\f(7,2).------------10分设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(\f(7,2),\r(7)×\r(7))＝eq\f(1,2).-----------------------------12分因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,3)，则向量a与b的夹角为eq\f(π,3).---------------------13分17．参考答案与评分标准：（Ⅰ）由，知即条件①不满足.------1分且有，，---------------------------------------------------------------4分所以的最大值为，---------------------------------------------------------------------5分由条件②：的最大值为，得，解得：.---------------------------6分当时，，满足条件③，--------------7分当时，，不满足条件③，---------------8分所以满足条件②和条件③，且.------------------9分因此，函数的最小正周期为.--------------------------------10分（Ⅱ）由，得到---------------------11分∵，∴函数在区间上的单调递增区间为,-----13分18.参考答案及评分标准：解：（Ⅰ）在正方体中，因为，且，..................2分所以四边形为平行四边形．所以..................4分又平面，所以平面．.................................5分（Ⅱ）在正方体中，四边形CBB1C1为正方形所以CB1⊥BC1.......................6分AB⊥平面CBB1C1CB1Ì平面CBB1C1所以AB⊥CB1.......................8分ABÇBC1=B.......................9分CB1⊥平面ABC1D1;...........................................10分（Ⅲ）QUOTE23...........................................13分19.参考答案及评分标准：解（Ⅰ）由得：-------------------------------------------------3分因为，所以-------------4分在中，因为，所以，，---5分又∵，∴，所以，解得：.---------7分因为，所以.----------------------------------------------------------------8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又因为，，在中，由余弦定理得，-----10分所以，解得：，-------------13分所以的面积为.-------------------15分20.参考答案及评分标准解：（Ⅰ）因为四边形是正方形，所以.................................1分又，所以..................................2分又平面ABFEÇ平面，，....................3分所以....................................................................4分（Ⅱ）.取的中点，连接MN，NE因为是中点，是中点，所以.又底面为正方形，所以..................................5分因为，所以又，所以..................................6分又因为,所以.又且，所以.................................7分MEÌ平面AME所以平面AME⊥平面ABCD;...................................................................8分（Ⅲ）过M点作TG//BC,因为所以又,由（Ⅱ）可知，，四棱锥E-ADTG体积VE-ADTG=1因为EF//GB,EF//TC且EF=GB=TC，所以四边形EFTC为平行四边形，...................................11分四边形EFGB也是平行四边形.所以ET//FC.ETË平面BCFFCÌ平面BCF所以ET//平面BCF同理EG//平面BCFET,EGÌ平面ENGETÇEG=E所以平面ETG//平面BCF所以五面体GBCTEF为三棱柱............................................12分在三棱柱BCF-TGE中，BG⊥TGGBÌ平面ABCDBG⊥MEMEÇTG=MBG⊥平面ETG............................................13分V棱柱ETG-BCF=1所以五面体ABCDEF的体积为12321.参考答案及评分标准（1）根据向量集的定义，即可写出.在中，检验任意，存在，使得，即可得出答案；（2）在中取，可得或，根据数量积的坐标公式结合条件即得；（3）取，设，根据条件可得中一个必为，另一个数是1，从而，然后利用反证法，即得.【详解】（1）由已知可得，.------------------------------2分因为，，，，，，即对任意，存在，使得，所以，具有性质.------------------------------------------------------------------------------4分（2）因为具有性质，取，由，则中的或.当时，由可得，.-----------------------------5分因为，所以或，所以或.又，则；--------------------------------------------------------------------------7分当时，有可得，.因为，