2024年北京房山区高一下学期期末数学试题及答案

高中房山区2023-2024学年度第二学期学业水平调研（二）高一数学本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）“点在直线上，在平面内”用数学符号表示为（A）（B）（C）（D）一个球的表面积为，则该球的半径为（A）（B）（C）（D）在中，，，，那么等于（A）（B）（C）（D）（4）在空间中，下列命题正确的是（A）平行于同一条直线的两个平面平行 （B）平行于同一个平面的两条直线平行（C）过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行（D）过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行 （5）已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）（6）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，那么向量（A）（B）（C）（D）

（7）已知平面，，直线，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（8）如图，在三棱锥中，平面，，分别是，，的中点，则过三点的平面截三棱锥所得截面的面积为（A）（B）（C）（D）如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上（即），行驶300m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山顶相对公路所在平面的高度（A）m（B）m（C）m（D）m（10）如图，在正方体中，点在面对角线上运动，下列四个结论中错误的是（A）三棱锥的体积不变（B）平面平面（C）平面（D）第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（11）已知长方体的长，宽，高分别为边长为，，，则该长方体的对角线的长为_____.（12）如图，角的顶点在坐标原点，始边为轴的正半轴，角终边上一点到的距离为，则点的坐标为_____.（用和表示）（13）已知向量，，且，则向量的坐标为_____.（14）已知是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①；②；③．以其中两个论断作为条件，余下的论断作为结论，写出一个正确的命题：_______．（15）命题：在中，若，则是直角三角形.能说明命题为假命题的一组角为_____，_____.（16）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头.金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形.正八面体由八个全等的等边三角形围成，呈现了对称美.下面给出四个结论：①平面；②平面平面；③过点存在唯一一条直线与正八面体的各个面所成角均相等；④以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的.其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（）（本小题分）如图，在正方体中，为的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面.

（）（本小题分）在中，.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求角的大小；（Ⅲ）若，求面积的最大值.（）（本小题分）如图，在中，是上的点，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.（Ⅰ）求证：是直角三角形；（Ⅱ）求的周长．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．（）（本小题分）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，点为中点．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）试判断线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由.（）（本小题分）如图，在四棱锥中，为梯形，.（Ⅰ）在平面内是否存在直线与平行？如果存在，作出直线并给出证明；如果不存在，请说明理由；（Ⅱ）在图中作出平面与平面的交线，并给出证明；（Ⅲ）在平面内是否存在直线与平行？说明理由.

房山区2023-2024学年度第二学期学业水平调研（二）高一数学参考答案一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。题号12345678910答案DBCCAABDCD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。或若③，②则①（答案不唯一），（答案不唯一）①②④三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（17）（本小题分）（Ⅰ）证明：连接，设交于，连接.因为在正方体中，，，所以.因为四边形为正方形，所以.又因为，且，所以.因为，所以.证法二：连接，设交于，连接.因为在正方体中，，，所以.因为四边形为正方形，所以.又，且，所以.因为，所以.证法三：在中利用三线合一证明，又因为可证.（Ⅱ）因为四边形为正方形，为中点.又因为为的中点，所以为三角形的中位线.所以.又，所以平面.（方法不唯一）（）（本小题分）解：（Ⅰ）因为在中，所以所以.所以中（Ⅱ）因为在中，，所以由正弦定理，得在中，因为，所以，为锐角.所以.解法二：代入已知可求，三边余弦定理求角.（Ⅲ）因为在中，所以.所以当且仅当时取“=”，即所以所以面积的最大值为解法二：由正弦定理得，.所以面积因为,所以面积当时取等号.（）（本小题分）选择条件①解：（Ⅰ）在△中，由余弦定理，得.因为，所以.因为，所以.所以△为直角三角形.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，△为直角三角形且，所以..又因为，所以.所以的周长为选择条件②解：（Ⅰ）在△中,，.由正弦定理，得.由题可知，所以.因为，所以.所以△为直角三角形.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，△为直角三角形且，，所以..又因为，所以.所以的周长为

（）（本小题分）解：（Ⅰ）因为平面平面，且平面平面=，，，所以.又因为，所以.在三角形中，，，，所以，又在三角形中，，，所以.又，，所以，又，所以.证法二：因为平面平面，且平面平面=，，，所以.又因为，所以.在三角形中，，，，所以，又在三角形中，，，所以；因为，且=，，所以.又，所以.（Ⅱ）因为为中点，所以.又因为平面平面，且平面平面=，，所以.又因为，所以，过点作，交于点，（或者过点作，交于点）则根据线面垂直的判定定理可知平面.因为，所以，易知∽，所以，则，又，所以时，平面.（方法不唯一）

（）（本小题分）（Ⅰ）在侧面内存在直线与平行，在平面内作直线，则为所求.（或者取的中点，在中）又因为，所以.