山西省太原市2026届高三上学期期中学业诊断数学(解析版)

山西省太原市2026届高三上学期期中学业诊断数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，则.故选：B.2.已知，且，则实数（）A.-3 B.6C.-1或-2 D.1或2【答案】D【解析】由题意得，解得或2.故选：D.3.已知，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A：当，时满足，但是，故A错误；对于B：当时、均无意义，故B错误；对于C：因为在定义域上单调递增，所以当时，故C正确；对于D：当，时满足，但是，故D错误.故选：C.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由得，此时与同号，或，均满足.由得，可能，此时没有意义.故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（）A. B. C.1 D.5【答案】B【解析】由题意得.故选：B.6.如图是函数的图象，则实数（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，根据对称性可知的最小正周期，所以，则，，根据对称性可知，所以，由于，所以.故选：D.7.如图，三棱柱中，为中点，为棱上一点，为侧面上一动点，且满足平面，则点的轨迹的长度为（）A.1 B.C. D.2【答案】A【解析】由题意知，，在上取点，使得，则且，所以四边形为平行四边形，故，又平面，平面，所以平面.在上取点，使得，有，则，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，则点P的轨迹为线段.在中，，由余弦定理，得，即点的轨迹长度为.故选：A.8.设，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设，则，所以时，，单调递减，所以，即，则，即；设，则，故函数在上单调递减，所以，即，设，，则在上恒成立，故函数在上单调递减，所以，即，故，即；综上，.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列的前项和，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.单调递减【答案】AB【解析】因为数列的前项和，所以当时，，所以，当时，不符合上式，所以，故C不正确；所以，故A，B正确；当时，，当时，，所以数列先增后减，故D不正确.故选：AB.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.当时，的单调递减区间为B.当时，有两个零点C.若有三个零点，则的取值范围是D.4是的极大值【答案】ABD【解析】对于A选项，当时，，令得，符号分析：时，时，时，所以单调递减区间为，A选项正确；对于B选项，，，，零点为（二重），，不同实根个数为2，，，，零点为（二重），，不同实根个数为2，B选项正确；对于C选项，当时，，令，可得，函数有且只有两个零点，不满足要求，当时，，令，可得，当时，若，则，函数在上单调递增，若，则，函数在上单调递减，若，则，函数在上单调递增，所以为极大值，为极小值，当时，若，则，函数在上单调递减，若，则，函数在上单调递增，若，则，函数在上单调递减，所以为极大值，为极小值，又，函数存在三个零点的条件为极大值且极小值，，即，又，所以，C选项错误；对于D选项，由选项C的推导过程可得，为极大值，，D选项正确.故选：ABD.11.台塔，又叫平顶塔，是指在两个平行的多边形（其中一个多边形的边数是另一个的两倍）之间加入三角形和四边形所组成的多面体．各个面为正多边形的台塔，包括正三、四、五角台塔．如图是所有棱长均为1的正三角台塔，则下列结论正确的是（）A.平面B.该台塔外接球的表面积为C.直线与平面所成角的正切值为D.二面角的正切值为【答案】ACD【解析】对于选项A，因为几何体各个面均为正多边形，所以侧面为正方形，底面为正六边形，所以，，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于选项B，如图1、图2所示，设上、下底面外接圆的圆心分别为，半径分别为，台塔的外接球半径为，，则，，所以或，解得，所以，所以该台塔的外接球的表面积为，故B错误；对于选项C，如图3，该台塔上底面为正三角形，其在下底面正六边形内的投影为正三角形，为正六边形的中心，则为正三角形的中心，为正三角形的中心，则在图4中，，所以即为直线与平面所成的角，则，所以，故C正确；对于选项D，取中点，连接、，如图5，则即为二面角的平面角，，，所以，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数，则__________．【答案】【解析】.故答案为：.13.八卦是中国文化的重要哲学概念．如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，点是其中心，且，则_____________．【答案】【解析】由题意可知：，，，则，，所以.故答案为：.14.欧拉函数的函数值等于所有不超过，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数）．例如：．记，则数列的前项和___________．【答案】【解析】由题意可知，小于的所有正奇数都与互质，共有个，所以，小于且大于的所有与不互质的数是的倍数，故与互质的数共有个，即，由与互质，且，所以，所以，当时，，且，所以数列以公比，首项为的等比数列，所以，故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知全集为．（1）求；（2）设是奇函数，当时，，求的解析式，并求当时的值域．解：（1）由不等式，可得，即，又由不等式，可得，即，则或，所以.（2）设，则，因为函数为奇函数，且当时，，可得，所以函数的解析式为，由（1）得，当时，，可得；当时，，可得，所以当时的值域为.16.如图，平面四边形中，．（1）当时，求（2）求当为何值时，的面积最大？并求出其最大值．解：（1）在中，由余弦定理得，，，在中，由正弦定理得，，（2）在中，由正弦定理得，，的面积为，当且仅当时，的面积取最大值1.17.已知数列满足．（1）求证：是等比数列；（2）设求数列的前项和；（1）证明：由数列满足可得，即，又由，可得，所以数列是以为首项公比的等比数列.（2）解：由（1）得，即，可得，当为偶数时，；当为奇数时，，综上可得，数列的前项和为.18.在图（1）五边形中，是等边三角形，，将沿折起到的位置，得到如图（2）所示的四棱锥，点为的中点．（1）求证：；（2）若，求证：平面；（3）求直线与平面所成角正弦值的最大值．（1）证明：取中点，连接，是等边三角形，，为的中点，，又，四边形为平行四边形，.（2）证明：由（1）得，为的中点，，平面，平面，平面,，由（1）得，，又，，平面,平面.（3）解：以为原点，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，过点作，垂足为，设与轴正方向的夹角为，不妨设，则，，设是平面的一个法向量，则令，则，设直线与平面所成角为，，令，则，设．当时，；当时，，直线与平面所成角正弦值的最大值为.19.定义运算：，已知函数．（1）当时，①求在处的切线方程；②证明：在内存在唯一的极小值点，且；（2）若对任意（），都有，求实数的取值范围．（1），当时，，，①解：由题意得，则在处的