2023-2024学年河南省郑州市郑东新区九年级（上）期末数学试卷-20251118121747

2023-2024学年河南省郑州市郑东新区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．x2＝1 B．x2﹣2y+1＝0 C．x2+＝2 D．ax2+bx+c＝02．（3分）如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（）A． B． C． D．3．（3分）下列说法中正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直平分 B．菱形的对角线相等 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．有三边相等的四边形是菱形4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A．3 B．4 C．5 D．65．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（）x﹣2012my﹣5343﹣5A．开口向下 B．顶点坐标为（1，4） C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．m＝46．（3分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高为（）A．24m B．24cm C．6m D．6cm7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上的两点，点D是的中点，若∠BOD＝50°，则∠BAC的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．80°8．（3分）如图，菱形OABC的边OA在x轴上，边BC交y轴于点D，点B的横坐标为1，OD＝3BD，点C在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）A．12 B．﹣12 C．15 D．﹣159．（3分）如图，已知等边三角形OAB的顶点O（0，0），A（4，0）．按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点C，D；②分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；③作射线OM交AB于点N；④以点N为圆心，NB的长为半径作弧，交ON的延长线于点P．则点P的坐标为（）A． B． C． D．10．（3分）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，方老师带同学们进行了测浮力的实验，如图1，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数与铁块下降的高度之间的关系如图2所示．下列说法不正确的是（）A．铁块入水之前，烧杯内水的高度为10cm B．由AB段是线段可知，铁块是匀速向下移动的 C．铁块的高度为4cm D．当铁块下降的高度为8cm时，该铁块所受到的浮力为3.25N二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）两位同学分别说出了一条二次函数的图象与性质，小明：抛物线开口向上；小智：抛物线对称轴是直线x＝2；请你写出一个符合上述条件的二次函数表达式：．12．（3分）游乐场海洋球池中有蓝白两种颜色的海洋球共计10000个，某数学兴趣小组为了估计两种颜色的球各有多少个，进行了数学试验．他们先将池中的球搅匀，再从中随机摸出一个球记下颜色，并把它放回池中，大量重复上述活动后，他们发现摸到蓝球的频率在0.4附近波动，据此估计池中蓝球的个数约为．13．（3分）“感受绿茵魅力，传播足球文化”，2023河南省校园足球文化节隆重举行．本次采用单循环赛制（每两队之间赛一场），若计划安排36场比赛，则需要邀请个球队参加．14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为，点E为BC边上的一点，CE＝1，将△ECD绕点E逆时针旋转得到△EFG，且点F落在DE边上，AB交EG于点M，AB交FG于点N，则GM的长度为．15．（3分）在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M是边AD上一点（点M不与点A，D重合），连接CM，将△CDM沿CM翻折得到△CNM，连接AN，DN．当△AND为等腰三角形时，DM的长为．三、解答题（共8小题，满分75分）16．（10分）（1）解方程：x2+6x+5＝0；（2）计算：|﹣3|﹣+cos230°．17．（9分）为弘扬爱国主义精神，加强爱国主义教育，培养学生的历史责任感、使命感，在一二•九运动88周年之际，郑东新区组织全区中小学开展了形式多样、丰富多彩的学生活动．某校九年级组织全体学生进行一二•九演讲比赛，根据活动要求，需要在全年级选取两名主持人，已知有小美、小丽、小郑、小东四个人报名竞选主持人．（1）小美被选中做主持人的概率是；（2）请用画树状图法或列表法，求小美、小郑同学都被选为主持人的概率．18．（9分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，3），直线l经过点A和点B（0，4），与x轴交于点C，直线l的表达式为y＝mx+n．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．（9分）河南省科技馆（新馆）位于郑州市郑东新区象湖湖畔，是河南省有史以来规模最大、投资最多的公益性投资项目．新馆设计方案由主体场馆、圭表塔、室外科学广场等组成，设计灵感源自河洛交汇文化意向，建筑形态宛如黄河与洛河自然交汇形成的天然造型，又如展翅雄鹰、飞机螺旋桨，寓意河南腾飞、中原崛起．郑东新区某数学兴趣小组在去科技馆游玩时，尝试用所学的知识测量圭表塔的高度，以下是他们的测量方案：先站在地面的A点处用测倾器测得圭表塔的顶端N点的仰角为37°，接着沿圭表塔的方向前进33米到达C处测得顶端N的仰角为45°（点A、C、M在同一直线上）．（1）已知测倾器的高度为1.3米，请你根据以上数据求出圭表塔的高度；（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，（2）通过查看科技馆的介绍，发现圭表塔的高度是100米，则计算结果的误差为多少？请你说出一条可能导致计算结果产生误差的原因．20．（10分）根据心理学研究表明，学生上课对概念的接受能力y与讲授概念的时间x之间的关系是二次函数，如图是y与x的函数图象，点A是该抛物线的顶点，且OC＝43．（1）求y与x的函数关系式；（2）研究表明，当学生的接受能力在55及以上时，视为学生接受能力的黄金期．①在学生接受能力的黄金期讲授重点内容，学习效果会更好．请问，张老师在哪个时间段内讲授重点内容合适？②若讲授某个概念的重点内容需要用时12分钟，请你判断其能否在学生接受能力的黄金期内讲完？说明理由．21．（9分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．（1）请用圆规和无刻度的直尺作AD的垂直平分线，分别交AB，AC于点M，N；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接DM，DN，试判断四边形AMDN的形状，并证明．22．（9分）学完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究片段：①y1＝x2+1②y2＝（x﹣3）2﹣1，③y3＝2（x+1）2+3任务一：研究增减性（1）当x＞0时，y值随x的增大而增大的是；（填序号）任务二：研究对称性（2）函数y2＝（x﹣3）2﹣1的对称轴是；任务三：研究最值（3）当x＝﹣1时，函数y3＝2（x+1）2+3有最小值，最小值为；任务四：研究复杂问题的最值（4）若y＝y1+y2+y3，求y的最小值．小聪：y1＝x2+1，y2＝（x﹣3）2﹣1，y3＝2（x+1）2+3都是顶点式，最小值很容易确定，求y＝y1+y2+y3的最小值，只需将上述三个函数的最小值求和即可．小明：我不认可小聪的观点．我认为应该分别把y1，y2，y3的最小值求出来，然后取其平均数，就是y的最小值.小伶：我不认可小聪和小明的观点．当x＝0时，函数y1＝x2+1有最小值1；此时，函数y2＝（x﹣3）2﹣1和y3＝2（x+1）2+3的函数值分别是8和5；因此y＝y1+y2+y3的最小值是1+8+5＝14.小俐：我不认可三位的观点，理由是这里的y1，y2，y3不能同时取最小值．我认为自变量不是y1，y2，y3而是x，求y＝y1+y2+y3的最小值，就要先确定y与x的关系式，然后判断是哪种函数，再求其最小值.你认可的观点．请解决（4）的问题．23．（10分）折纸是一种常见的游戏，九年级兴趣小组以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．（1）操作判断如图1，在矩形纸片ABCD中，BC＞AB，首先沿过点B的直线翻折，使点A落在BC边上的点E处，折痕为BF，连接EF；此时，就可以得到一个四边形ABEF，则四边形ABEF的形状是哪种特殊的四边形？答：．（2）深入探究继续沿过点E的直线翻折，使点C落在EF边上的点G处，折痕为EH，连接BG，CF，延长BG交CF于点M，连接EM．①∠BME的度数为；②猜想线段BM，FM和EM的数量关系，并证明；拓展应用延长BG交矩形ABCD的边于点N，若AB＝3，DN＝1，直接写出的值．

2023-2024学年河南省郑州市郑东新区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ACCACCCBDD一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．x2＝1 B．x2﹣2y+1＝0 C．x2+＝2 D．ax2+bx+c＝0【分析】根据一元二次方程的定义解答即可．【解答】解：A、x2＝1是一元二次方程，符合题意；B、x2﹣2y+1＝0含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；C、x2+＝2含有分式，不是一元二次方程，不符合题意；D、ax2+bx+c＝0中，当a＝0时不是一元二次方程，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．2．（3分）如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（）A． B． C． D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：观察图形可知，该几何体的主视图如下：．故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．（3分）下列说法中正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直平分 B．菱形的对角线相等 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．有三边相等的四边形是菱形【分析】利用矩形、菱形的性质和判定解答即可．【解答】解：A．矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直，故本选项不合题意；B．菱形的对角线互相垂直平分，但不相等，故本选项不符合题意；C．有三个角是直角的四边形是矩形，故本选项合题意；D．四条边都相等的四边形是菱形，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了矩形、菱形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，解得m＜4．m的值可以是3，故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．5．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（）x﹣2012my﹣5343﹣5A．开口向下 B．顶点坐标为（1，4） C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．m＝4【分析】根据图表信息判断出抛物线的开口向下对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4），再根据抛物线的对称性解答．【解答】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4），∵x＝1时，y＝4最大，∴抛物线开口向下，当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＝3与x＝﹣1时，y值相等∵x＝﹣2时，y＝﹣5，∴x＝m＝4时，y＝﹣5．故选项A、B、D正确，选项C错误，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性、增减性以及二次函数的顶点坐标．6．（3分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高为（）A．24m B．24cm C．6m D．6cm【分析】根据题意可知：△ABD∽△AQP，根据相似三角形的性质即可得到PQ的长．【解答】解：由题意可得，BC∥PQ，AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，∴△ABD∽△AQP，∴＝，即＝，解得QP＝6，∴树高PQ＝6m，故选：C．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上的两点，点D是的中点，若∠BOD＝50°，则∠BAC的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．80°【分析】连接OC，根据点D是的中点可得∠COD＝∠BOD＝∠BOC，根据圆周角定理可得∠BAC＝∠BOC．【解答】解：如图，连接OC，∵点D是的中点，∴∠COD＝∠BOD＝∠BOC，∵∠BOD＝50°，∴∠BOC＝100°，∴∠BAC＝∠BOC＝50°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理以及圆心角、弦、弧之间的关系定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8．（3分）如图，菱形OABC的边OA在x轴上，边BC交y轴于点D，点B的横坐标为1，OD＝3BD，点C在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）A．12 B．﹣12 C．15 D．﹣15【分析】过点B作BE⊥OA于点E，由菱形的性质得出OA＝AB，BC∥OA，根据点B的横坐标为1，OD＝3BD得出BE＝OD＝3，设菱形的边长为a则OA＝AB＝a，利用勾股定理求得菱形的边长，即可求得点C的坐标为（﹣4，3），所以k＝﹣12．【解答】解：过点B作BE⊥OA于点E，∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB，BC∥OA，∵点B的横坐标为1，OD＝3BD，∴BD＝1，∴OD＝3，∴BE＝OD＝3，设菱形的边长为a则OA＝AB＝a，∵BE2+AE2＝AB2，∴32+（a﹣1）2＝a2，解得a＝5，∴BC＝5，∴CD＝5﹣1＝4，∴点C的坐标为（﹣4，3），∴k＝﹣4×3＝﹣12．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理的应用，求得点C的坐标是解题关键．9．（3分）如图，已知等边三角形OAB的顶点O（0，0），A（4，0）．按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点C，D；②分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；③作射线OM交AB于点N；④以点N为圆心，NB的长为半径作弧，交ON的延长线于点P．则点P的坐标为（）A． B． C． D．【分析】根据题中图的步骤，可得出OM平分∠BOA，过点P作x轴的垂线，利用相似三角形即可解决问题．【解答】解：由题知，OP平分∠BOA，∵△OBA是等边三角形，且A（4，0），∴∠NOA＝30°，AN＝NB＝2．∴ON＝．又∵NP＝NB，∴NP＝2．分别过点N和点P作x轴的垂线，垂足为E，F，在Rt△NOE中，sin30°＝，∴NE＝．cos30°＝，∴OE＝．又∵△ONE∽△OPF，∴，∴，则PF＝，OF＝．所以点P的坐标为（）．故选：D．【点评】本题考查解直角三角形及等边三角形的性质，通过过点N和点P作x轴的垂线，构造出相似三角形是解题的关键．10．（3分）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，方老师带同学们进行了测浮力的实验，如图1，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数与铁块下降的高度之间的关系如图2所示．下列说法不正确的是（）A．铁块入水之前，烧杯内水的高度为10cm B．由AB段是线段可知，铁块是匀速向下移动的 C．铁块的高度为4cm D．当铁块下降的高度为8cm时，该铁块所受到的浮力为3.25N【分析】图2中点（0，4）表示铁块未移动时，拉力为4N，那么铁块的重力为4N，此时铁块下表面与烧杯上端平齐；（6，4）表示铁块向下移动6cm时，拉力为4N，此时铁块下表面与水面平齐；铁块继续向下移动，水向外流出，水平面保持不变．（10，2.5）表示铁块上表面刚好浸入水中，拉力为2.5N．烧杯高度为16cm，铁块下表面接触水时移动了6cm，所以烧杯内水的高度为10cm，可判断A正确，不符合题意；由AB段是线段可知，拉力与移动的距离成一次函数关系，铁块是匀速向下移动的，可判断B正确，不符合题意；AB段表示铁块下表面刚接触水到铁块上表面刚好浸入水中的过程，因为水平面保持不变．那么AB段铁块移动的距离即为铁块的高度，为10﹣6等于4cm，可判断C正确，不符合题意；当铁块下降高度为8cm时，由于出水口的存在，由图2和B选项可知，铁块的一半刚好浸入水中，拉力的大小为＝3.25N，那么所受到的浮力＝重力﹣拉力＝4﹣3.25＝0.75N，故D错误，符合题意．【解答】解：∵烧杯高度为16cm，铁块从烧杯口到下表面接触水时移动了6cm，∴烧杯内水的高度为10cm，故A正确，不符合题意；∵AB段是线段，∴拉力与移动的距离成一次函数关系，∴铁块是匀速向下移动的，故B正确，不符合题意；∵烧杯有出水口，∴水平面在铁块下移过程中保持不变．∴铁块的高度为AB段铁块移动的距离为10﹣6＝4cm，故C正确，不符合题意；∵当铁块下降高度为8cm时，铁块的一半刚好浸入水中，∴拉力的大小为＝3.25N，∵铁块的重力为4N，∴铁块所受到的浮力为4﹣3.25＝0.75N，故D错误，符合题意．故选：D．【点评】本题考查动点问题的函数图象．关键是得到图象中关键点表示的意义．用到的知识点为：浮力＝重力﹣拉力．二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）两位同学分别说出了一条二次函数的图象与性质，小明：抛物线开口向上；小智：抛物线对称轴是直线x＝2；请你写出一个符合上述条件的二次函数表达式：y＝（x﹣2）2（答案不唯一）．【分析】由开口向上，可知a＞0，对称轴是直线x＝2，可得k＝2，【解答】解：设二次函数表达式为y＝a（x﹣k）2+h，∵二次函数y＝a（x﹣k）2+h的图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x＝2，∴k＝2，∴符合上述条件的二次函数表达式可以为y＝（x﹣2）2，故答案为：y＝（x﹣2）2（答案不唯一）．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，此题是开放题，解题的关键是熟知二次函数的性质．12．（3分）游乐场海洋球池中有蓝白两种颜色的海洋球共计10000个，某数学兴趣小组为了估计两种颜色的球各有多少个，进行了数学试验．他们先将池中的球搅匀，再从中随机摸出一个球记下颜色，并把它放回池中，大量重复上述活动后，他们发现摸到蓝球的频率在0.4附近波动，据此估计池中蓝球的个数约为4000．【分析】因为摸到蓝球的概率在0.4附近波动，所以摸出蓝球的概率为0.4，再设出蓝球的个数，根据概率公式列方程解答即可．【解答】解：设蓝球的个数为x，∵摸到蓝球的频率在0.4附近较稳定的波动，∴摸出蓝球的概率为0.4，即＝0.4，解得x＝4000．故答案为：4000．【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．13．（3分）“感受绿茵魅力，传播足球文化”，2023河南省校园足球文化节隆重举行．本次采用单循环赛制（每两队之间赛一场），若计划安排36场比赛，则需要邀请9个球队参加．【分析】设需要邀请x个球队参加，利用比赛的总场数＝参数队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：设需要邀请x个球队参加，根据题意得：x（x﹣1）＝36，整理得：x2﹣x﹣72＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣8，∴需要邀请9个球队参加．故答案为：9．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为，点E为BC边上的一点，CE＝1，将△ECD绕点E逆时针旋转得到△EFG，且点F落在DE边上，AB交EG于点M，AB交FG于点N，则GM的长度为4﹣2．【分析】由正方形的性质可得BC＝CD＝，∠B＝∠C＝90°，进而得出BE＝BC﹣CE＝﹣1，∠DEC＝60°，由旋转得∠GEF＝∠DEC＝60°，利用解直角三角形可得EM＝＝＝2﹣2，再由GM＝GE﹣EM即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝，∠B＝∠C＝90°，∵CE＝1，∴BE＝BC﹣CE＝﹣1，tan∠DEC＝＝＝，∴∠DEC＝60°，∵将△ECD绕点E逆时针旋转得到△EFG，且点F落在DE边上，∴∠GEF＝∠DEC＝60°，GE＝DE＝＝＝2，∴∠MEB＝180°﹣∠GEF﹣∠DEC＝60°，∴EM＝＝＝2﹣2，∴GM＝GE﹣EM＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2；故答案为：4﹣2．【点评】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，旋转变换的性质，解直角三角形等，熟练掌握直角三角形性质和解直角三角形是解题关键．15．（3分）在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M是边AD上一点（点M不与点A，D重合），连接CM，将△CDM沿CM翻折得到△CNM，连接AN，DN．当△AND为等腰三角形时，DM的长为或．【分析】由矩形的性质得CD＝AB＝5，AD＝BC＝6，∠ADC＝90°，设DN与CM交于点T，由翻折的性质得DT＝NT，DM＝NM，CM⊥DN，∠CNM＝CDM＝90°，分两种情况讨论如下：①当AN＝DN时，过点N作NH⊥AD于H，则AH＝DH＝3，设MD＝x，则MH＝3﹣x，MN＝x，由勾股定理得：HN＝，证△NHD∽△MDC，得NH：DM＝HD：CD，即：x＝3：5，由此解出x即可；②当DN＝AD时，则DN＝6，则DT＝TN＝3，由勾股定理求出CT＝4，证△DTM∽△CTM，得MD：CD＝DT：CT，即MD：5＝3：4，由此求出MD即可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝5，BC＝6，∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝6，∠ADC＝90°，设DN与CM交于点T，由翻折的性质得：DT＝NT，DM＝NM，CM⊥DN，∠CNM＝CDM＝90°，∵△AND为等腰三角形，点M不与点A，D重合，∴有以下两种情况：①当AN＝DN时，过点N作NH⊥AD于H，则AH＝DH＝3，如图：设MD＝x，则MH＝3﹣x，MN＝x，在Rt△MNH中，由勾股定理得：HN＝＝，∵∠ADC＝90°，CM⊥DN，∴∠DCM+∠NDC＝90°，∠ADN+∠NDC＝90°，∴∠DCM＝∠ADN，又∠ADC＝∠NHD＝90°，∴△NHD∽△MDC，∴NH：DM＝HD：CD，即：x＝3：5，整理得：3x2﹣50x+75＝0，解得：x1＝，x2＝15（不合题意，舍去）；②当DN＝AD时，则DN＝6，如图：∴DT＝TN＝3，在Rt△CDT中，CD＝5，DT＝3，由勾股定理得：CT＝＝4，∵CM⊥DN，∠ADC＝90°，∴∠DCT+∠∠CDN＝90°，∠ADN+∠CDN＝90°，∴∠DCT＝∠ADN，又∠DTM＝∠CTD，∴△DTM∽△CTD，∴MD：CD＝DT：CT，即MD：5＝3：4，∴MD＝．综上所述：DM的长为或．【点评】此题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，图形的翻折及性质，勾股定理等，熟练掌握矩形的性质，图形的翻折及性质是解答此题的关键，灵活运用勾股定理及三角形的面积构造方程，及分类讨论是解答此题的难点，漏解是易错点．三、解答题（共8小题，满分75分）16．（10分）（1）解方程：x2+6x+5＝0；（2）计算：|﹣3|﹣+cos230°．【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x＝0或x﹣1＝0，然后解一次方程即可；（2）根据平方根的意义，特殊角的三角函数值，绝对值、负整数指数幂的意义，然后合并即可．【解答】解：（1）x2+6x+5＝0，（x+5）（x+1）＝0，∴x+5＝0或x+1＝0，∴x1＝﹣5，x2＝﹣1；（2）原式＝3﹣3++（）2＝3﹣3++＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．17．（9分）为弘扬爱国主义精神，加强爱国主义教育，培养学生的历史责任感、使命感，在一二•九运动88周年之际，郑东新区组织全区中小学开展了形式多样、丰富多彩的学生活动．某校九年级组织全体学生进行一二•九演讲比赛，根据活动要求，需要在全年级选取两名主持人，已知有小美、小丽、小郑、小东四个人报名竞选主持人．（1）小美被选中做主持人的概率是；（2）请用画树状图法或列表法，求小美、小郑同学都被选为主持人的概率．【分析】（1）列表可得出所有等可能的结果数以及小美被选中做主持人的结果数，再利用概率公式可得出答案．（2）由表格可得小美、小郑同学都被选为主持人的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）将小美、小丽、小郑、小东四个人分别记为A，B，C，D，列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）由表格可知，共有12种等可能的结果，其中小美被选中做主持人的结果有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（C，A），（D，A），共6种，∴小美被选中做主持人的概率是＝．故答案为：．（2）由表格可知，小美、小郑同学都被选为主持人的结果有：（A，C），（C，A），共2种，∴小美、小郑同学都被选为主持人的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．18．（9分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，3），直线l经过点A和点B（0，4），与x轴交于点C，直线l的表达式为y＝mx+n．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）通过判断△OBC是直角三角形，可知△APB也是直角三角形，分两种情况讨论：当∠APB＝90°时，P（0，3），此时△OBC∽△PBA；当∠PAB＝90°时，AP＝2AB＝2，BP＝＝5，可求出P（0，﹣1）．【解答】解：（1）将点A（2，3）代入y＝中，得k＝6，∴反比例函数的解析式为y＝；将点A（2，3），B（0，4）代入y＝mx+n中，，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+4；（2）存在点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△OBC相似，理由如下：当y＝0时，x＝8，∴C（8，0），∴OB＝4，OC＝8，∴＝，∵△OBC是直角三角形，∴△APB也是直角三角形，当∠APB＝90°时，P（0，3），此时BP＝1，PA＝2，∴＝，此时△OBC∽△PBA；当∠PAB＝90°时，∠OCB＝∠APB，∴＝，即AP＝2AB＝2，∴BP＝＝5，∴P（0，﹣1）；综上所述：P点坐标为（0，3）或（0，﹣1）．【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，待定系数法求函数解析式的方法，19．（9分）河南省科技馆（新馆）位于郑州市郑东新区象湖湖畔，是河南省有史以来规模最大、投资最多的公益性投资项目．新馆设计方案由主体场馆、圭表塔、室外科学广场等组成，设计灵感源自河洛交汇文化意向，建筑形态宛如黄河与洛河自然交汇形成的天然造型，又如展翅雄鹰、飞机螺旋桨，寓意河南腾飞、中原崛起．郑东新区某数学兴趣小组在去科技馆游玩时，尝试用所学的知识测量圭表塔的高度，以下是他们的测量方案：先站在地面的A点处用测倾器测得圭表塔的顶端N点的仰角为37°，接着沿圭表塔的方向前进33米到达C处测得顶端N的仰角为45°（点A、C、M在同一直线上）．（1）已知测倾器的高度为1.3米，请你根据以上数据求出圭表塔的高度；（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，（2）通过查看科技馆的介绍，发现圭表塔的高度是100米，则计算结果的误差为多少？请你说出一条可能导致计算结果产生误差的原因．【分析】（1）延长BD交MN于点E，根据题意可得：BE⊥MN，CD＝AB＝EM＝1.3米，BD＝AC＝33米，然后设DE＝x米，则BE＝（x+33）米，分别在Rt△BNE和Rt△NDE中，利用锐角三角函数的定义求出NE的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答；（2）利用（1）的结论进行计算，然后说出可能导致计算结果产生误差的原因，即可解答．【解答】解：（1）延长BD交MN于点E，由题意得：BE⊥MN，CD＝AB＝EM＝1.3米，BD＝AC＝33米，设DE＝x米，∴BE＝BD+DE＝（x+33）米，在Rt△BNE中，∠NBE＝37°，∴NE＝BE•tan37°≈（x+33）米，在Rt△NDE中，∠NDE＝45°，∴NE＝DE•tan45°＝x（米），∴x＝（x+33），解得：x＝99，∴NE＝99米，∴NM＝NE+ME＝99+1.3＝100.3（米），∴圭表塔的高度约为100.3米；（2）由题意得：100.3﹣100＝0.3（米），∴计算结果的误差为0.3米，可能导致计算结果产生误差的原因为：卷尺没有拉直（答案不唯一）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．20．（10分）根据心理学研究表明，学生上课对概念的接受能力y与讲授概念的时间x之间的关系是二次函数，如图是y与x的函数图象，点A是该抛物线的顶点，且OC＝43．（1）求y与x的函数关系式；（2）研究表明，当学生的接受能力在55及以上时，视为学生接受能力的黄金期．①在学生接受能力的黄金期讲授重点内容，学习效果会更好．请问，张老师在哪个时间段内讲授重点内容合适？②若讲授某个概念的重点内容需要用时12分钟，请你判断其能否在学生接受能力的黄金期内讲完？说明理由．【分析】（1）根据题意设出函数解析式，然后用待定系数法求解即可；（2）①令y＝55，解方程即可；②把①中x值相减与12比较即可．【解答】解：（1）根据图象可知点A坐标为（13，59.9），点C坐标为（0，43），设y与x的函数关系式为y＝a（x﹣13）2+59.9，把C坐标为（0，13）代入解析式得：169a+59.9＝43，解得a＝﹣0.1，∴y与x的函数关系式为y＝﹣0.1（x﹣13）2+59.9；（2）①当y＝55时，55＝﹣0.1（x﹣13）2+59.9，解得x1＝6，x2＝20，∴张老师在上课6～20内讲授重点内容合适；②能在学生接受能力的黄金期内讲完，理由：∵20﹣6＝14＞12，∴能在学生接受能力的黄金期内讲完．【点评】本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式．21．（9分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．（1）请用圆规和无刻度的直尺作AD的垂直平分线，分别交AB，AC于点M，N；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接DM，DN，试判断四边形AMDN的形状，并证明．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）结论：四边形AMDN是菱形．证明四边相等可得结论．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）结论：四边形AMDN是菱形．理由：设MN交AD于点O．∵MN垂直平分线段AD，∴MA＝MD，NA＝DN，∵AD平分∠BAC，∴∠OAM＝∠OAN，∵∠OAM+∠AMO＝90°，∠OAN+∠ANO＝90°，∴∠AMO＝∠ANO，∴AM＝AN＝DM＝DN，∴四边形AMDN是菱形．【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．22．（9分）学完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究片段：①y1＝x2+1②y2＝（x﹣3）2﹣1，③y3＝2（x+1）2+3任务一：研究增减性（1）当x＞0时，y值随x的增大而增大的是①③；（填序号）任务二：研究对称性（2）函数y2＝（x﹣3）2﹣1的对称轴是直线x＝3；任务三：研究最值（3）当x＝﹣1时，函数y3＝2（x+1）2+3有最小值，最小值为3；任务四：研究复杂问题的最值（4）若y＝y1+y2+y3，求y的最小值．小聪：y1＝x2+1，y2＝（x﹣3）2﹣1，y3＝2（x+1）2+3都是顶点式，最小值很容易确定，求y＝y1+y2+y3的最小值，只需将上述三个函数的最小值求和即可．小明：我不认可小聪的观点．我认为应该分别把y1，y2，y3的最小值求出来，然后取其平均数，就是y的最小值.小伶：我不认可小聪和小明的观点．当x＝0时，函数y1＝x2+1有最小值1；此时，函数y2＝（x﹣3）2﹣1和y3＝2（x+1）2+3的函数值分别是8和5；因此y＝y1+y2+y3的最小值是1+8+5＝14.小俐：我不认可三位的观点，理由是这里的y1，y2，y3不能同时取最小值．我认为自变量不是y1，y2，y3而是x，求y＝y1+y2+y3的最小值，就要先确定y与x的关系式，然后判断是哪种函数，再求其最小值.你认可小俐的观点．请解决（4）的问题．【分析】（1）分别求出每一个函数的对称轴，再结合函数的性质确定即可；（2）根据二次函数的性质，直接求对称轴即可；（3）将x＝﹣1代入函数的解析式，即可求最小值；（4）先求出y＝4（x﹣）2+，再求最小值即可．【解答】解：（1）y1＝x2+1的对称轴为直线x＝0，当x＞0时，y值随x的增大而增大；y2＝（x﹣3）2﹣1的对称轴为直线x＝3，当x＞3时，y值随x的增大而增大；y3＝2（x+1）2+3的对称轴为直线x＝﹣1，当x＞﹣1时，y值随x的增大而增