2024-2025学年河南省郑州市二七区八年级（上）期末数学试卷-20251114224857

2024-2025学年河南省郑州市二七区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中，是无理数的是（）A．3.14 B．﹣2 C． D．2．（3分）下列关于“二七塔”位置的描述，相对准确的是（）A．丹尼斯•大卫城东南方向 B．二七路南段 C．解放路东段 D．二七路与解放路交叉口3．（3分）△ABC的三边分别为a，b，c，下列选项中不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．a＝32，b＝42，c＝52 B．∠A+∠B＝90° C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝5，b＝12，c＝134．（3分）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在FD的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且∠A＝60°，∠E＝45°，若AB∥CF，则∠CBD的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°5．（3分）下列四个命题中，是真命题的是（）A．有理数与数轴上的点是一一对应的 B．三角形的一个外角大于任何一个内角 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．平面内点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称6．（3分）面积为10的正方形的边长为a，则a的值在（）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间7．（3分）在一次考试中，某题（满分10分）的得分情况如下：得分0246810百分率5%10%25%30%15%15%则该题的平均得分（）A．5.5分 B．5.7分 C．5.9分 D．6.1分8．（3分）若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则函数y＝bx﹣k的大致图象是（）A． B． C． D．9．（3分）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（）A． B． C． D．10．（3分）在测浮力的实验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F（N）与铁块下降的高度h（cm）之间的关系如图所示．则以下说法正确的是（）A．当铁块下降3cm时，此时铁块在水里 B．当5≤h≤10时，F（N）与h（cm）之间的函数表达式为 C．当弹簧测力计的示数为8N时，此时铁块底面距离水底8.5cm D．当铁块下降高度为6cm时，此时弹簧测力计的示数是11.5N二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）命题“如果a＝b，那么a+c＝b+c”的逆命题为．12．（3分）如图，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴于点C，则点C的坐标为．13．（3分）如图，正方体的棱长为2cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是cm．14．（3分）如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，若通讯费用为62元，则B方案比A方案的通话时间多分钟．15．（3分）如图，AB∥CD，连接BD，E是线段BD上一动点，AF、CF分别平分∠BAE，∠DCE，若∠AEC＝α，则∠AFC的度数用含α的式子表示为．三、解答题（共8小题，共75分）16．（8分）计算：（1）；（2）（．17．（8分）随着互联网的发展和智能手机的普及，外卖行业得到迅速发展，郑州市豫味餐厅为了解线上外卖平台客户的需求，提高服务质量，随机抽取400名外卖用户进行问卷调查．调查问卷如下：豫味餐厅外卖服务满意度调查1．您对本餐厅外卖服务的整体评价为（单选）A．满意；B．一般；C．不满意；如果您对本餐厅外卖服务的整体评价为“一般”或“不满意”，请回答第2个问题：2．您认为本餐厅最需要改进的地方为（）（单选）A．餐品味道；B．配送速度；C．包装质量；D．售后服务．该餐厅外卖平台负责人将这400份调查问卷的结果整理后，制成如下统计图表：（1）如果将整体评价中满意、一般、不满意分别赋分为5分、3分、1分，则该餐厅此次调查中整体评价分数的中位数是，平均数是；（2）在此次调查中，你认为该餐厅需要在配送速度上进行改进的人数有多少？（3）请你根据此次调查结果，对该餐厅外卖业务提出2条合理的建议．18．（9分）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A（﹣4，5），C（﹣1，3），A1（4，5），B1（2，1），△ABC与△A1B1C1关于某直线成轴对称．（1）在网格内画出平面直角坐标系，并画出△A1B1C1；（2）设l是过点C且平行于x轴的直线，点A关于直线l的对称点A′的坐标是；（3）求△ABC的面积．19．（9分）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10米；③牵线放风筝的手离地面的距离AB为1.5米．已知A、B、C、D点在同一平面内．（1）求风筝离地面的垂直高度CD；（2）在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升9米，BD长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题．20．（10分）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需800元；购买2件A型航模和3件B型航模需1300元．（1）求A、B两种航模每件分别多少元？（2）张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费990元，请问张老师有哪几种购买方案？21．（10分）《九章算术》中记载，浮箭漏（图1）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校探究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：【实验观察】实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到下表：供水时间x（小时）01234箭尺读数y（厘米）412202836【探索发现】（1）建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．（2）观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是（填“正比例函数”或“一次函数”）；并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写）．【结论应用】（3）应用上述发现的规律估算：①供水时间达到9小时时，箭尺的读数为多少厘米？②如果本次实验记录的开始时间是上午9：00，那当箭尺读数为92厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）．22．（10分）求证：全等三角形对应边上的中线相等．在证明几何文字命题时，通常会经历：“画示意图→写已知、求证→写证明过程”这三个步骤，请按照以上步骤完善下面相应内容．（1）结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形，如图所示：（2）结合（1）中的示意图，请完善已知、求证：已知：如图，，线段AD，A'D'分别是边BC，B'C'上的中线．求证：．（3）写出证明过程．23．（11分）【模型呈现】如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，过点B作BD⊥m于点D，过点C作CE⊥m于点E，试说明：△ABD≌△CAE．【模型应用】如图2，一次函数y＝2x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作线段AC⊥AB且AC＝AB，直线BC交x轴于点D．①点B的坐标为；点C的坐标为；②求直线BC的函数表达式．【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点C'是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线BD上一个动点，若△C'PQ是以点C'为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标．

2024-2025学年河南省郑州市二七区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DDAADCBBBC一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中，是无理数的是（）A．3.14 B．﹣2 C． D．【分析】根据无限不循环小数是无理数即可判断求解．【解答】解：A、3.14是有理数，不合题意；B、﹣2是整数，是有理数，不合题意；C、是分数，是有理数，不合题意；D、是无理数，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了无理数，掌握无理数的定义是解题的关键．2．（3分）下列关于“二七塔”位置的描述，相对准确的是（）A．丹尼斯•大卫城东南方向 B．二七路南段 C．解放路东段 D．二七路与解放路交叉口【分析】根据题意和各个选项中的说法，可以写出相对准确的说法，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，关于“二七塔”位置的描述，相对准确的是二七路与解放路交叉口，故选：D．【点评】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确如何确定一个位置．3．（3分）△ABC的三边分别为a，b，c，下列选项中不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．a＝32，b＝42，c＝52 B．∠A+∠B＝90° C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝5，b＝12，c＝13【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理判断即可．【解答】解：A、∵（32）2+（42）2≠（52）2，∴三边分别为a，b，c的△ABC不是直角三角形，符合题意；B、∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；C、∵a2+b2＝62+82＝100，c2＝102＝100，∴a2+b2＝c2，∴三边分别为a，b，c的△ABC是直角三角形，不符合题意；D、∵a2+b2＝52+122＝169，c2＝132＝169，∴a2+b2＝c2，∴三边分别为a，b，c的△ABC是直角三角形，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．4．（3分）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在FD的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且∠A＝60°，∠E＝45°，若AB∥CF，则∠CBD的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°【分析】由AB∥CF，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠BCD＝30°，再利用三角形的外角性质，即可求出∠CBD的度数．【解答】解：∵AB∥CF，∴∠BCD＝∠ABC＝30°．∵∠BDF是△BCD的外角，∴∠CBD＝∠EDF﹣∠BCD＝45°﹣30°＝15°．故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．5．（3分）下列四个命题中，是真命题的是（）A．有理数与数轴上的点是一一对应的 B．三角形的一个外角大于任何一个内角 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．平面内点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称【分析】根据三角形外角性质，对称的性质，平行线的性质，实数判断即可．【解答】解：A．实数与数轴上的点是一一对应的，是假命题；B．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，原命题是假命题；C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题；D．平面内点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称，是真命题；故选：D．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形外角性质，对称的性质，平行线的性质，实数等相关知识，难度不大．6．（3分）面积为10的正方形的边长为a，则a的值在（）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【分析】先根据题意表示出a的值，再利用夹逼法估算即可．【解答】解：∵面积为10的正方形的边长为a，∴a2＝10，∴，∵，∴，∴a的值在3和4之间，故选：C．【点评】本题考查了无理数的估算，估算无理数大小要用逼近法．7．（3分）在一次考试中，某题（满分10分）的得分情况如下：得分0246810百分率5%10%25%30%15%15%则该题的平均得分（）A．5.5分 B．5.7分 C．5.9分 D．6.1分【分析】根据加权平均数的算法即可求解．【解答】解：由题意得：0×5%+2×10%+4×25%+6×30%+8×15%+10×15%＝5.7（分），答：该题的平均得分为5.7分．故选：B．【点评】本题考查了加权平均数这一概念．关键掌握加权平均数的算法．8．（3分）若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则函数y＝bx﹣k的大致图象是（）A． B． C． D．【分析】根据一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，可以得到k和b的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到一次函数y＝bx﹣k图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∴b＞0，﹣k＞0，∴一次函数y＝bx﹣k图象经过第一、二、三象限，故选：B．【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．9．（3分）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（）A． B． C． D．【分析】先解方程组，用含k的代数式表示x、y，再把x、y的值代入二元一次方程中，求出k．【解答】解：，①+②，得2x＝10k．∴x＝5k．①﹣②，得2y＝﹣4k，∴y＝﹣2k．∵二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，∴2×5k+3×（﹣2k）＝6．即4k＝6，∴k＝．故选：B．【点评】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，题目难度不大，掌握解二元一次方程组的方法是解决本题的关键．10．（3分）在测浮力的实验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F（N）与铁块下降的高度h（cm）之间的关系如图所示．则以下说法正确的是（）A．当铁块下降3cm时，此时铁块在水里 B．当5≤h≤10时，F（N）与h（cm）之间的函数表达式为 C．当弹簧测力计的示数为8N时，此时铁块底面距离水底8.5cm D．当铁块下降高度为6cm时，此时弹簧测力计的示数是11.5N【分析】根据函数图象待定系数法求得线段AB的解析式，进而逐项分析判断即可求解．【解答】解：A、由题图可知，石块下降到5cm时，石块正好接触水面，故选项A错误；B、当5≤x≤10时，设AB所在直线的函数表达式为：F＝kh+b（k≠0），则，解得，∴F＝﹣h+20，故选项B错误；C、当F＝8N时，﹣h+20＝8，解得h＝7.5，∴16﹣7.5＝8.5（cm），∴当弹簧测力计的示数为8N时，铁块底面距离水底8.5cm，故C正确；D、当石块下降的高度为6cm时，即h＝6时，F＝﹣×6+20＝10.4（N），∴当铁块下降高度为6cm时，此时弹簧测力计的示数是10.4N，故D错误．故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象和一次函数的应用，求得函数解析式，数形结合是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）命题“如果a＝b，那么a+c＝b+c”的逆命题为如果a+c＝b+c，那么a＝b．【分析】将原命题的结论改为条件，条件改为结论即可得出逆命题．【解答】解：逆命题为：如果a+c＝b+c，那么a＝b．故答案为：如果a+c＝b+c，那么a＝b．【点评】本题考查根据原命题写逆命题，熟练掌握逆命题与原命题的关系是解题的关键．12．（3分）如图，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴于点C，则点C的坐标为（2﹣2，0）．【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，利用勾股定理求出AB的长度，再结合点A的坐标即可找出点C的坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，∴点B的坐标为（0，2），OB＝2；当y＝0时，﹣x+2＝0，解得x＝2，∴点A的坐标为（2，0），OA＝2．∴．∴点C的坐标为（2﹣2，0）．故答案为：（2﹣2，0）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标是解题的关键．13．（3分）如图，正方体的棱长为2cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是cm．【分析】将正方体的右侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理即可求出最短路径．【解答】解：如图，将正方体的右侧面与前面展开，构成一个长方形，过B作BC⊥AC于C，由题意得：AC＝2+1＝3（cm），BC＝2÷2＝1（cm），由勾股定理，得AB＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查平面展开﹣最短路径问题，解答中涉及勾股定理，二次根式的化简，解题的关键是将平面展开，构造一个直角三角形．14．（3分）如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，若通讯费用为62元，则B方案比A方案的通话时间多30分钟．【分析】求出通讯费用为62元时，两种方案的通话时间，即可得到答案．【解答】解：当x≥120时，设A方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系为y＝kx+b，把（120，30），（170，50）代入得：，解得，∴y＝0.4x﹣18，令y＝62得62＝0.4x﹣18，解得x＝200，∴通讯费用为62元，A方案通话时间是200分钟；当x≥200时，设B方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系为y＝mx+n，把（200，50），（250，70）代入得：，解得，∴y＝0.4x﹣30，令y＝62得62＝0.4x﹣30，解得x＝230，∴通讯费用为62元，B方案通话时间是230分钟；∴B方案比A方案的通话时间多30分钟；故答案为：30．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是数形结合思想的应用．15．（3分）如图，AB∥CD，连接BD，E是线段BD上一动点，AF、CF分别平分∠BAE，∠DCE，若∠AEC＝α，则∠AFC的度数用含α的式子表示为α．【分析】通过作辅助线，得到∠BAE+∠ECD＝∠AEC＝α，同理可得∠BAF+∠DCF＝∠AFC，结合角平分线，得到结果．【解答】解：过E点作EM∥AB，过F点作FN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EM∥FN，∴∠BAE＝∠AEM，∠ECD＝∠MEC，∵∠AEC＝α，∴∠BAE+∠ECD＝∠AEC＝α，同理，∠BAF＝∠AFN，∠DCF＝∠CFN，∴∠BAF+∠DCF＝∠AFC，∵AF、CF分别平分∠BAE，∠DCE，∴∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠ECD，∴∠BAF+∠DCF＝（∠BAE+∠ECD），∴∠AFC＝α．故答案为：α．【点评】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．三、解答题（共8小题，共75分）16．（8分）计算：（1）；（2）（．【分析】（1）根据二次根式的加减法法则可以解答本题；（2）根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题．【解答】解：（1）＝2＝﹣；（2）（＝12﹣4+1+2﹣1＝14﹣4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的计算法则．17．（8分）随着互联网的发展和智能手机的普及，外卖行业得到迅速发展，郑州市豫味餐厅为了解线上外卖平台客户的需求，提高服务质量，随机抽取400名外卖用户进行问卷调查．调查问卷如下：豫味餐厅外卖服务满意度调查1．您对本餐厅外卖服务的整体评价为（单选）A．满意；B．一般；C．不满意；如果您对本餐厅外卖服务的整体评价为“一般”或“不满意”，请回答第2个问题：2．您认为本餐厅最需要改进的地方为（）（单选）A．餐品味道；B．配送速度；C．包装质量；D．售后服务．该餐厅外卖平台负责人将这400份调查问卷的结果整理后，制成如下统计图表：（1）如果将整体评价中满意、一般、不满意分别赋分为5分、3分、1分，则该餐厅此次调查中整体评价分数的中位数是5分，平均数是4.63分；（2）在此次调查中，你认为该餐厅需要在配送速度上进行改进的人数有多少？（3）请你根据此次调查结果，对该餐厅外卖业务提出2条合理的建议．【分析】（1）根据加权平均数解答即可；（2）用样本中不满意所占百分百乘总人数即可；（3）根据统计图的数据解答即可．【解答】解：（1）中位数为5分，此次调查中关于整体评价的平均数为（340×5+46×3+14×1）÷400＝4.63（分），故答案为：5分、4.63分；（2）回答第2个问题的人数为46+14＝60（人），选择A：60×15%＝9（人），选择C：60×＝21（人），选择D：60×5%＝3（人），选择B：60﹣9﹣21﹣3＝27（人）；（3）①该餐厅需要在配送方面进行优化，提高配送速度；②该餐厅需要对包装形式进行优化升级，提高包装质量（答案不唯一）．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的知识，读懂条形统计图和利用统计图获取信息是解题的关键．18．（9分）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A（﹣4，5），C（﹣1，3），A1（4，5），B1（2，1），△ABC与△A1B1C1关于某直线成轴对称．（1）在网格内画出平面直角坐标系，并画出△A1B1C1；（2）设l是过点C且平行于x轴的直线，点A关于直线l的对称点A′的坐标是（﹣4，1）；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）根据点A，C的坐标建立平面直角坐标系即可．由题意知△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，根据轴对称的性质画图即可．（2）结合轴对称的性质可得答案．（3）利用割补法求三角形的面积即可．【解答】解：（1）画出平面直角坐标系如图所示，可知△ABC与△A1B1C1关于y轴对称．如图，△A1B1C1即为所求．（2）由题意得，点A关于直线l的对称点A′的坐标是（﹣4，1）．故答案为：（﹣4，1）．（3）△ABC的面积为＝9﹣1﹣4＝4．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．19．（9分）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10米；③牵线放风筝的手离地面的距离AB为1.5米．已知A、B、C、D点在同一平面内．（1）求风筝离地面的垂直高度CD；（2）在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升9米，BD长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题．【分析】（1）过点A作AE⊥CD于点E，在Rt△AEC中，根据勾股定理即可求解；（2）假设能上升9m，作图Rt△AEF，根据勾股定理可得AF＝15m，再根据题意，10+7.5＝17.5＜17即可求解．【解答】解：（1）如图1所示，过点A作AE⊥CD于点E，则AE＝BD＝8米，AB＝CD＝1.5米，∠AEC＝90°，∴CE＝＝6（米），∴CD＝CE+CD＝6+1.5＝7.5（米）；（2）能成功，理由如下：假设能上升9m，如图所示，延长DC至点F，连接AF，则CF＝9米，∴EF＝CE+CF＝6+9＝15（米）．∴AF＝＝17（米），∵AC＝10米，余线仅剩7.5米，∴10+7.5＝17.5＞17，∴能上升9m，即能成功．【点评】本题主要考查勾股定理的运用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题．20．（10分）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需800元；购买2件A型航模和3件B型航模需1300元．（1）求A、B两种航模每件分别多少元？（2）张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费990元，请问张老师有哪几种购买方案？【分析】（1）设每件A型航模x元，每件B型航模y元，根据“购买1件A型航模和2件B型航模需800元；购买2件A型航模和3件B型航模需1300元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m件A型航模，n件B型航模，利用总价＝单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．【解答】解：（1）设每件A型航模x元，每件B型航模y元，根据题意得：，解得：．答：每件A型航模200元，每件B型航模300元；（2）设购买m件A型航模，n件B型航模，根据题意得：200×0.9m+300×0.9n＝990，∴m＝．又∵m，n均为正整数，∴或，∴张老师共有2种购买方案，方案1：购买4件A型航模，1件B型航模；方案2：购买1件A型航模，3件B型航模．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．21．（10分）《九章算术》中记载，浮箭漏（图1）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校探究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：【实验观察】实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到下表：供水时间x（小时）01234箭尺读数y（厘米）412202836【探索发现】（1）建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．（2）观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是一次函数（填“正比例函数”或“一次函数”）；并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写）．【结论应用】（3）应用上述发现的规律估算：①供水时间达到9小时时，箭尺的读数为多少厘米？②如果本次实验记录的开始时间是上午9：00，那当箭尺读数为92厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）．【分析】（1）直接描点即可；（2）根据图象特征判断对应的函数类型，并用待定系数法求其函数表达式即可；（3）①将x＝9代入y关于x的函数表达式，求出对应y的值即可；②将x＝92代入y关于x的函数表达式，求出对应x的值，再根据本次实验记录的开始时间计算当箭尺读数为92厘米时是几点钟即可．【解答】解：（1）描点如图所示：（2）∵这些点基本上分布在同一条直线上，∴这个函数的类型最有可能是一次函数．设该一次函数的表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），将坐标（0，4）和（1，12）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴该一次函数的表达式为y＝8x+4．故答案为：一次函数．（3）①当x＝9时，y＝8×9+4＝76．答：供水时间达到9小时时，箭尺的读数为76厘米．②当y＝92时，得8x+4＝92，解得x＝11．答：当箭尺读数为92厘米时是下午8：00．【点评】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的图象特征和待定系数法求一次函数的表达式是解题的关键．22．（10分）求证：全等三角形对应边上的中线相等．在证明几何文字命题时，通常会经历：“画示意图→写已知、求证→写证明过程”这三个步骤，请按照以上步骤完善下面相应内容．（1）结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形，如图所示：（2）结合（1）中的示意图，请完善已知、求证：已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，线段AD，A'D'分别是边BC，B'C'上的中线．求证：AD＝A′D′．（3）写出证明过程．【分析】（2）由条件和图形即可得到答案；（3）由SAS即可判定△ABD≌△A′B′D′（SAS），推出AD＝A′D′．【解答】解：（2）已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，线段AD，A'D'分别是边BC，B'C'上的中线．求证：AD＝A′D′．故答案为：△ABC≌△A′B′C′，AD＝A′D′；（3）证明