初中数学《圆》课件

第二十四章

圆24.1圆的有关性质24.1.1圆观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.骑车运动看了此画,你有何想法?【思考】车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可以吗？1.认识圆，理解圆的定义.2.掌握弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.学习重点:圆的定义，弦和弧的概念、弧的表示方法。学习难点:对弧及优弧、劣弧的概念的感知与理解。

一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？

圆的定义知识点1甲丙乙丁为了使游戏公平，在目标周围围成一个圆排队.因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.·rOA圆的旋转定义（描述性定义）

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.有关概念

固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示．

观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．确定一个圆的要素同心圆

等圆半径相同，圆心不同圆心相同，半径不同圆可以看成到定点距离等于定长的所有点组成的.满足什么条件的？有间隙吗？圆也可以看成是由多个点组成的到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上吗？（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于

．（2）到定点的距离等于定长的点都在

．

圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．O·ACErrrrrD定长r同一个圆上圆的集合定义【想一想】从画圆的过程可以看出什么呢？B圆的基本性质o•同圆半径相等.【想一想】

圆是一条曲线,还是一个曲面?提示:圆是一条封闭的曲线,它是由到圆心的距离等于半径的点组成的曲线,而不是曲面.例矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.ABCDO证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OC，OB=OD.

又∵AC=BD，∴OA=OB=OC=OD.∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上.圆的定义的应用素养考点1

如图,☉O的半径OA,OB分别交弦CD于点E,F,且CE=DF.求证:△OEF是等腰三角形.分析：作辅助线构造△OCE和△ODF,然后证明两三角形全等,最后根据全等的性质得出结论.解：连接OC,OD,∵OC=OD,∴∠C=∠D,∵CE=DF.∴△OCE≌△ODF（SAS）,∴OE=OF,∴△OEF是等腰三角形.弦:·COAB连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．1.弦和直径都是线段.2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.圆的有关概念知识点2注意OABOAB探索：圆中最长的弦是什么？为什么？OABCCDCDOABCOABCDOABCD【发现】直径是最长的弦弧:·COAB圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．劣弧与优弧·COAB半圆圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”．(小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC

;(大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC.(劣弧用两个字母表示，优弧用三个字母表示.等圆:·COA能够重合的两个圆叫做等圆.·CO1A容易看出，等圆是两个半径相等的圆.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.【结论】等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.可见这两条弧不可能完全重合实际上这两条弧弯曲程度不同“等弧”要区别于“长度相等的弧”

如图，如果AB和CD的拉直长度都是10cm，平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？︵︵C【想一想】长度相等的弧是等弧吗？ABCD例1

如图.(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;(2)请写出以点A为端点的弦及直径；弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是和.ABCEFDO劣弧：优弧：AF,(AD,(AC,(AE.(AFE,(AFC,(ADE,(ADC.(AF(圆的有关概念的识别ABF(素养考点1在以下所给的命题中:①半圆是弧;②弦是直径;③如图所围成的图形是半圆.其中正确的命题有

.解析：①弧不但包括半圆，还包括优弧、劣弧，所以①正确,③不正确；弦包括经过圆心的弦(

即直径

)与不经过圆心的弦所以②不正确；例2如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B、C在直径MN上.（1）求证：OB=OC.连OA,OD即可，同圆的半径相等.ⅠⅡ10？x2x（2）设OB=x，则AB=2x，在Rt△ABO中，（2）设⊙O的半径为10，则正方形ABCD的边长为.圆的有关概念的应用解：（1）连接OA，OD，证明Rt∆ABO≌Rt∆DCO.解得：素养考点2CD为⊙O的直径,∠EOD=72°,AE交⊙O于B,且AB=OC,则∠A=_______.24°解析：∵OB=OC，AB=CO，∴AB=OB，∴∠A=∠BOA.又∵OB=OE，∴∠E=∠EBO，∵∠EBO=2∠A，∴∠E=2∠A，又∵∠EOD=∠E+∠A，∴3∠A=∠EOD，∵∠EOD=72°，∴∠A=24°ACODBE1.对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理B2.如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（）A．π B．0.5π C．0.25πD．2π

B1.填空：（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍．（2）图中有

条直径，

条非直径的弦，

圆中以A为一个端点的优弧有

条，

劣弧有

条．直径半径一二四四基础巩固题ABCDOFE2.一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm,则这个圆的半径是

.7cm或3cm3.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.(1)弦是直径；(2)半圆是弧；(3)过圆心的线段是直径；(4)过圆心的直线是直径；(5)半圆是最长的弧；(6)直径是最长的弦；(7)长度相等的弧是等弧.

一根5m长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓着一只羊，请画出羊的活动区域．

5m能力提升题求证：直径是圆中最长的弦.证明：如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，半径是r.CD是不同于AB的任意一条弦.连接OC、OD，则OA+OB=OC+OD=2r,即AB=OC+OD.在△OCD中，OC+OD＞CD，∴AB＞CD.即直径是圆中最长的弦.拓广探索题圆定义旋转定义（描述性定义）要画一个确定的圆，关键是确定圆心和半径集合定义同圆半径相等有关概念弦（直径）直径是圆中最长的弦弧半圆是特殊的弧劣弧半圆优弧同心圆等圆同圆等弧能够互相重合的两段弧1.在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做

.其固定的端点O叫做

,线段OA叫做

.以点O为圆心的圆,记作

,读作“

”.

2.以2cm为半径可以画

个圆;以O为圆心可以画_____

个圆;以O为圆心,以2cm为半径可以画

个圆.

3.连接圆上任意两点的线段叫做

,经过圆心的弦叫做

.圆上任意两点间的部分叫做

,简称

.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做

.大于半圆的弧叫做

,小于半圆的弧叫做

.能够重合的两个圆叫做

.在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做

.

圆

圆心

半径

☉O圆O无数

无数

1弦

直径

圆弧

弧

半圆

优弧

劣弧

等圆

等弧

4.下列说法:①直径是弦;②弧是半圆;③经过圆内一点可以作无数条弦;④等弧的长度相等;⑤半径相等的圆是等圆,其中正确的是

.(填序号)

5.如图,在☉O中,AB是☉O的直径,点P是OB上的任一点(不与O,B重合),CD,EF是过点P的两条弦,则图中的弦有

,以B为端点的劣弧有

.

①③④⑤

AB,CD,EF

圆的相关概念的应用【例】

如图,已知AB,CD是☉O的两条直径,试判断AD与BC的关系.分析:判断两条直线的关系,包含位置关系与数量关系两个方面.由同圆的半径相等可得OA=OB=OC=OD,由此联想到矩形的判定方法,可得四边形ADBC是矩形,故而易于说明AD与BC相等且平行.解:如图,连接AC,BD.因为AB,CD是☉O的两条直径,所以OA=OB=OC=OD,AB=CD.所以四边形ADBC是矩形.所以AD=BC,AD∥BC.点拨:同圆中的所有半径相等,因此圆中有直径或半径时,就有相等的线段和等腰三角形出现,这为问题的解决提供必要条件.事实上,该例也可利用若两个等腰三角形的顶角相等,则它们的底角也相等的特征来说明.123451.在平面直角坐标系中,以原点O为圆心,5为半径作圆,下列各点一定在该圆上的是(

)A.(2,3) B.(4,3) C.(1,4) D.(2,-4)答案答案关闭B123452.如图,在☉O中,点A,O,D以及点B,O,C分别在一条直线上,则图中弦的条数是(

)A.2 B.