《点和圆的位置关系》课件

第二十四章

圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系

我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉.如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？

解决这个问题要研究点和圆的位置关系．理解并掌握点和圆的三种位置关系.2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握作图方法.3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.4.了解反证法的证明思想.学习重点：掌握点和圆的三种位置关系.学习难点：了解反证法的证明步骤.问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？.o.C....B..A.点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.点和圆的位置关系知识点1问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？点P在⊙O内

点P在⊙O上点P在⊙O外dddrPdPrd

Prd＜rr=＞r反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？rPdPrd

Prd点P在⊙O内

d<r点P在⊙O上

d=r点P在⊙O外

d>r数形结合：位置关系数量关系点和圆的位置关系例如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？解：AD=4=r，故D点在⊙A上；AB=3<r，故B点在⊙A内;AC=5>r，故C点在⊙A外.判定点和圆的位置关系素养考点（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案）

⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在

；点B在

；点C在

.

圆内圆上圆外圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP=，则点P在（）A.大圆内B.小圆内C.小圆外

D.大圆内，小圆外oD问题1如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？

·····以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.A过不共线三点作圆知识点2问题2如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？

····AB作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可;可作无数个圆.问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ABCDEGF●o经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.有且只有位置关系定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.ABCDEGF●o

例

已知：不在同一直线上的三点A、B、C.

求作：⊙O,使它经过点A、B、C.作法：1.连接AB，作线段AB的垂直平分线MN；2.连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3.以O为圆心，OB为半径作圆.所以⊙O就是所求作的圆.ONMFEABC利用尺规法作圆素养考点问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？方法:1.在圆弧上任取三点A、B、C;2.作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心;3.以点O为圆心，OC长为半径作圆.⊙O即为所求.ABCO如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心．DABCO∵A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，∴圆心在CD所在的直线上，因此可以做任意两条直径，它们的交点为圆心.解:已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.ABCO三角形的外接圆及外心知识点3

外接圆经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.⊙O叫做△ABC的________，△ABC叫做⊙O的____________.到三角形三个顶点的距离相等.三角形的外心：定义：外接圆内接三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.作图：三角形三边中垂线的交点.性质：●OABC要点归纳【练一练】

判断下列说法是否正确.(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆.()(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形.()(3)经过三点一定可以确定一个圆.()(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.()√××√画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,钝角三角形的外心位于三角形外.ABC●OABCCAB┐●O●O例1

如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．(1)求∠DAO的度数；(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠DOA＝90°，

∴∠DAO＝30°；圆与平面直角坐标系相结合的问题素养考点1(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.在Rt△AOD中，∵∠DOA＝90°

，∴AD为直径.又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6，

OA＝.因此圆的半径为3．∴△AOB外接圆的面积是9π.解题妙招：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．点A的坐标(

，0),如图,已知直角坐标系中,A(0,4),B(4,4),C(6,2).(1)写出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标.(2)判断点D(5,-2)和圆M的位置关系.解：(1)在方格纸中，线段AB和BC的垂直平分线相交于点(2，0)，所以圆心M的坐标为(2，0).(2)圆的半径线段DM

所以点D在圆M内.例2如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．解：连接OB，过点O作OD⊥BC.D则OD＝5cm，在Rt△OBD中,即△ABC的外接圆的半径为13cm.考查三角形的外接圆的有关知识素养考点2在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,则它的外心与顶点C的距离为()A.5cm

B.6cm

C.7cm

D.8cmA思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？l1l2ABCP反证法知识点4如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P.

那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点.

而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.

所以过同一条直线上的三点不能作圆．反证法的定义先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．反证法的一般步骤假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）;从这个假设出发，经过推理，得出矛盾;由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.例

求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.已知：△ABC求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设

，则

.因此

.这与

矛盾．假设不成立．因此

．△ABC中没有一个内角小于或等于60°∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°三角形的内角和为180度△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.∠A+∠B+∠C>180°反证法的应用素养考点利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（

）A.有一个锐角小于45°B.每一个锐角都小于45°C.有一个锐角大于45°D.每一锐角都大于45°D1.已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4

+10b，则△ABC的外接圆半径=

．

2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为

．

1.如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?ABCO基础巩固题

2.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A

；点C在⊙A

；点D在⊙A

.上上外3.⊙O的半径r为5cm，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为（

）A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.在⊙O上或⊙O外B4.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径=

.55.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是________．70°1.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）MRQABCPA．点P

B．点Q

C．点RD．点MB能力提升题1·2cm3cm2.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.O某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．解：(1)在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；(2)连接AB、BC；(3)分别作出AB、BC的垂直平分线；(4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.ABC拓广探索题点与圆的位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d>rd=rd<r作圆过一点可以作无数个圆过两点可以作无数个圆定理：过不在同一直线上的三个点确定一个圆注意：同一直线上的三个点不能作圆点P在圆环内

r≤d≤RRrP一个三角形的外接圆是唯一的反证法定义步骤假设，推理，得证三角形的外心定义性质在各类三角形中的位置1.设☉O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:点P在圆外⇔d

r;点P在圆上⇔d

r;点P在圆内⇔d

r.

2.在平面内,☉O的半径为5cm,点P到圆心O的距离为3cm,则点P与☉O的位置关系是

.

3.

的三个点确定一个圆.

4.经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的

,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的

.

5.如图,图中圆的内接三角形是

.

>=

<点P在☉O内

不在同一条直线上

外接圆

外心

△DEF

6.在证明命题时,不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种方法叫做

.

7.用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中,至多有一个锐角”的第一步是

.

反证法

假设一个三角形的三个外角中,至少有两个锐角

点与圆的位置关系【例】

已知☉O的半径为r=10,圆心O到直线l的距离OD=6,在直线l上有A,B,C三点,且AD=6,BD=8,CD=5.问A,B,C三点与☉O的位置关系各是怎样的?分析:只要计算出这些点到圆心的距离,看其是大于、等于还是小于圆的半径,就可以相应得出点在圆外、圆上,还是圆内.点拨:判断点与圆的位置关系,一般是把这些点到圆心的距离d与圆的半径r的大小加以比较,当d<r时,点在圆内;当d=r时,点在圆上;当d>r时,点在圆外.123451.在公园的O处附近有E,F