陕西省汉中市2026届高三第一次教学质量检测考试数学试卷（含答案）

陕西省汉中市2026届高三第一次教学质量检测考试数学试卷注意事项： 2025.121.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-4,0,2,4,8},B={x|-4＜x＜4},则A∩B=A.{2} B.{-4,0,2,4} C.{0,2} D.{0,2,4}2.若复数z的共轭复数z=4−3i,A.12+3i B.12-3i C.4-3i D.-4+3i3.已知向量a=(2,m),b=(m,3),则‘“m=6”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知1，2，n成等比数列，则(x+1)”的展开式中所有项的系数之和为A.4 B.8 C.16 D.325.将函数f(x)=tanωx(0＜ω＜2π)的图象向左平移4个单位长度后,所得图象与原图象重合，则A.ω的最小值为π6 B.ω的最大值为2π3 C.ω的最小值为π3 6.某品牌酒产自陕西省宝鸡市.一般来说，年份越久的该品牌酒，其收藏价值越高.已知一箱原价800元的该品牌酒，储存x(x≥0)年后的收藏价值f(x)(单位：元)满足函数关系式f(x)=800×2mx6A.1600元 B.1800元 C.2400元 D.2800元7.若直线y=tx-2(t∈R)是曲线y=lnx与曲线.y=exA.1 B.2 C.e D.18.若直线y=k(x-4)与曲线x=9+3yA.−333C.−33 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则年龄周平均使用时间超过4小时不超过4小时总计不超过40岁54b7240岁以上dc+d总计72b+d120附：χ2(1)当x2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，(2)当x2＞2.706时，有90%的把握判断变量A，(3)当x2＞6.635时，有99%的把握判断变量A，(4)当x2＞10.828时，有99.9%的把握判断变量A，A.d=18B.用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为3C.没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关D.有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关10.记数列{an}的前n项和为Sn,若nan+1=A.a2=4 C.Sn11.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，A，B分别是C的左、右顶点,P为C上不与A,B重合的动点.设C的离心率为e,I为△PF₁F₂的内心,A.直线PA和PB斜率的乘积为e2−1 B.直线PF₁和PF₂斜率的乘积为C.点P到x轴的距离为1+1er D.|IQ|=e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若sinα=2613.已知函数f(x)={x,x14.在棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,点M满足AB=3BM,则正方体表面到点M的距离为2四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,PA=9,AD=6,M是棱PB上靠近点P的三等分点，N是棱PD上靠近点P的三等分点.(1)证明:MN∥平面ABCD.(2)证明:MNL平面PAC.(3)求平面MAN与平面ABCD夹角的余弦值.16.(15分)某不透明的瓶子中装有外观完全相同的5个荔枝味糖果和3个樱桃味糖果，每次随机摸出1个糖果.(1)设每次都是不放回地摸糖果，连续摸2次，求第二次摸得荔枝味糖果的概率；(2)若每次都是有放回地摸糖果，连续摸3次，单次摸得荔枝味糖果即送1个苹果味糖果，单次摸得樱桃味糖果即送0个苹果味糖果，所得苹果味糖果均不放入瓶中，设3次摸糖果后得到的苹果味糖果总个数为X，求X的数学期望.17.(15分)已知抛物线C:y2=2pxp0)的焦点为F,点P(1,y₀)(y₀＞0)在-1的直线l与C交于M,N两点.(1)求C的方程;(2)若|MN|=8,求直线l的方程;(3)设直线PM与PN的斜率分别为k₁,k₂,i证明：k118.(17分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b(1)若(sinA−sinC2(2)设E为△ABC外接圆上的点，△ABC外接圆的半径为2，且BE平分∠(ⅰ)当b=4时，求a+c的值；(ⅱ)证明:sin∠19.(17分)设函数f(1)讨论f(x)的单调性;(2)若对任意x∈0+∞(3)当a=1时,若fx1+fx2=0,数学参考答案1.CA∩B={0,2}.2.Bz=4+3i,则z+2x=4+3i+2(4-3i)=12-3i.3.A若a∥b,则m2=6,解得4.C由题意得n=4,所以(x+14的展开式中所有项的系数之和为5.D由题意得f(x+4)=tan(ωx+4ω)=tanωx,则4ω=kπ(k∈Z),得ω=kπ4k∈Z.因为0＜ω＜2π6.B由题意可得f(6)=800×2"=1200,即2m=12008007.B设f(x)=lnx,g(x)=eˣ-b,则f'x=1x,g'x=ex.设直线y=tx2与曲线y=lnx相切于点(a,lna),则{1a=t8.Bx=9+3y2即x29−y23=1x≥3,表示双曲线x29−y23=1的右支.直线y=k(9.BD由题意可得b=18,c=18,d=30,A错误.设事件A表示“每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时”，则nΩ=120,nA=72,PA=n10.ABD当n=1时,a2=S1+1+1=4,A正确.当n≥2时,由nan+1=Snn(an+1−an−2)=0,所以an+1−an=2.因为a2−a1=2,11.ACD设P(x₀,y₀),则x02a2+y02b2=1.因为A(-a当P为上顶点时此时P(0,b),则kPF△PF₁F₂的面积S=12r∣PF1∣+∣P在△PF₁F₂中,连接F₁I,F₂I(图略).因为I是△PF₁F₂的内心,所以F₁I,F₂I分别平分∠PF₁F₂和∠PF₂F₁.由角平分线分线段成比例定理，得∣PI∣∣IQ∣=∣PF1∣∣F1Q∣=∣PF2∣∣F2Q∣12.因为α∈0π13.(0,+∞)因为当x＜0时,f(x)=x单调递增,当x≥0时,f(x)=x+1单调递增,且0+1＞0,所以f(x)在R上单调递增,则由.fx3＞f−x,得14.32+433π由题意知，以M为球心，23为半径的球与正方体表面的交线长度即为所求.在平面ABCD和平面ABB₁A₁上的轨迹是圆心为M，半径为223,3，圆心角为π3的两段弧，弧长均为23π315.(1)证明:连接BD.因为M是棱PB上靠近点P的三等分点,N是棱PD上靠近点P的三等分点,所以MN∥BD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因为MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD. 3分(2)证明:因为底面ABCD是正方形,所以AC⊥BD. 4分因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD. 6分因为AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC. 7分由(1)得MN∥BD,所以MN⊥平面PAC. 8分(3)解:以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,0,0),M(2,0,6),N(0,2,6),所以AM=设平面MAN的法向量为n=(x,y,z),则{n·AM→=2易得m=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量. 11分设平面MAN与平面ABCD的夹角为θ,则cosθ所以平面MAN与平面ABCD夹角的余弦值为1919 16.解：(1)记“第一次摸得荔枝味糖果”为事件A，“第二次摸得荔枝味糖果”为事件B.PB=PAB(2)由题可知，每次摸糖果，摸得荔枝味糖果的概率为58，摸得樱桃味糖果的概率为3记3次摸糖果后摸得荔枝味糖果的次数为Y，则Y~B因为3次摸糖果后得到的苹果味糖果总个数为X，所以Y=X，所以x~B(3,58所以X的数学期望EX=3×17.(1)解：根据题意可得1+p2解得p=2. 2分所以C的方程为y2=4(2)解:设My124y1,N(由{y=−x+t,y2=4x,消去x得.y²+4|MMN∣=解得t=1, 7分所以直线l的方程为y=-x+1(或x+y-1=0). 8分(3)证明:因为点P(1,y₀)在C上,所以.y0=2或y0由(2)得k1=所以k1因为y1+y2=−4,y1值.… …15分18.(1)解:由题意可得sin2A+根据正弦定理可得a2+所以cosB=a因为B∈(0,π),所以B=π(2)(i)解:当b=4时,AC为△ABC外接圆的一条直径,所以∠ABC=π2,设△ABC外接圆的圆心为O,则O为AC的中点.连接AE,CE,OE,如图1所示.易得∠AOE=∠COE=在△ABE中，根据余弦定理可得AE2=A同理,在△CBE中,a2−2所以a，c即为方程x2−26x+4=0(ii)证明:如图2,过点O作OM⊥AE,交AE于点M.设∠ABC=2θ,则∠ABE=∠CBE=θ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分∠AOE=∠COE=2θ,∠AOM=∠MOE=θ,则AE=2ME=2OE·sinθ=4sinθ.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分在△ABE中，根据正弦定理可得AEsinθ=BEsin∠所以sin∠BAE19.(1)解:f'x=3x2−2ax=x3若a=0,则f'x=3x2≥0,若a＞0,则当x∈(-∞,0)时,f'(x)＞0,f(x)单调递增;当x∈02a3f(x)单调递减；当x∈2a3+∞时,f'(x)＞0,f若a＜0,则当x∈−∞2a3时，f'(x)＞0,f(x)单调递增;当x∈2a30时,f'(x)＜0,f(x)单调递减;当(2)解:当x＞0时,由f(x)≥lnx,得x3−ax2令gx=x 6分令hx=x3−1+2lnx,又h1=13−1+