2025-2026 学年高二 数学 模拟联考 试卷及答案

2025-2026学年高二数学模拟联考试卷及答案2025-2026学年高二数学模拟联考试卷（考试时间：120分钟满分：150分）考生须知：答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。所有答案均需写在答题卡上，写在试卷上无效。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知向量$\vec{a}=(2,3,-1)$，$\vec{b}=(-1,2,4)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值为（）

A．-4B．0C．2D．5

双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$的渐近线方程为（）

A．$y=\pm\frac{3}{2}x$B．$y=\pm\frac{2}{3}x$C．$y=\pm\frac{9}{4}x$D．$y=\pm\frac{4}{9}x$

函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的单调递减区间是（）

A．$(-\infty,0)$B．$(0,2)$C．$(2,+\infty)$D．$(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$

在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_2+a_5+a_8=15$，则$a_5$的值为（）

A．3B．4C．5D．6

已知直线$l:y=x+1$与圆$C:(x-1)^2+y^2=4$相交于$A$，$B$两点，则$|AB|$的长度为（）

A．$\sqrt{2}$B．$2\sqrt{2}$C．$\sqrt{3}$D．$2\sqrt{3}$

某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）

A．$4\pi$B．$8\pi$C．$12\pi$D．$16\pi$

已知抛物线$y^2=4x$的焦点为$F$，点$P$在抛物线上，且$|PF|=5$，则点$P$的横坐标为（）

A．3B．4C．5D．6

袋子中有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸出2个球，则摸出的2个球都是白球的概率为（）

A．$\frac{3}{10}$B．$\frac{3}{5}$C．$\frac{2}{5}$D．$\frac{1}{2}$

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）关于函数$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$，下列说法正确的是（）

A．最小正周期为$\pi$B．图象关于点$(-\frac{\pi}{6},0)$对称

C．在区间$[-\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}]$上单调递减D．图象可由$y=\sin2x$的图象向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位得到

在空间直角坐标系$O-xyz$中，已知点$A(1,0,0)$，$B(0,1,0)$，$C(0,0,1)$，则下列说法正确的是（）

A．$|AB|=\sqrt{2}$B．平面$ABC$的法向量可以是$(1,1,1)$

C．直线$AB$与直线$OC$垂直D．点$O$到平面$ABC$的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$

已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，前$n$项和为$S_n$，则下列说法正确的是（）

A．若$q>1$，则$\{a_n\}$为递增数列B．若$q=1$，则$S_n=na_1$

C．若$q=-1$，则$S_n$为周期数列D．若$0<q<1$，则$\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\frac{a_1}{1-q}$

已知函数$f(x)=x\lnx$，则下列说法正确的是（）

A．$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$B．$f(x)$在$x=\frac{1}{e}$处取得极小值

C．$f(x)$的单调递增区间为$(\frac{1}{e},+\infty)$D．$f(x)\geq-\frac{1}{e}$恒成立

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）若函数$f(x)=x^2-2x+k$在区间$[0,3]$上的最小值为2，则$k=$______．已知$\triangleABC$中，$a=2$，$b=3$，$\cosC=\frac{1}{4}$，则$c=$______．椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1(m>4)$的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则$m=$______．在长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$AB=2$，$AD=3$，$AA_1=4$，则异面直线$A_1B$与$AD_1$所成角的余弦值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列$\{a_n\}$是等差数列，且$a_1=2$，$a_1+a_2+a_3=12$．（1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；（2）求数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$．18．（12分）在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，且满足$\sinA\cosB+\cosA\sinB=2\sinC\cosA$．（1）求角$A$的大小；（2）若$a=2\sqrt{3}$，$b=2$，求$\triangleABC$的面积．19．（12分）如图，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AC\perpBC$，$AC=BC=AA_1=2$，$D$是$A_1C_1$的中点．（1）求证：$BC_1\parallel$平面$AB_1D$；（2）求平面$AB_1D$与平面$A_1B_1C_1$所成二面角的正弦值．20．（12分）已知函数$f(x)=x^3-3x+1$．（1）求$f(x)$的极值；（2）证明：当$x\in[0,2]$时，$f(x)\geq-1$．21．（12分）已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点$P(2,1)$．（1）求椭圆$C$的标准方程；（2）设直线$l:y=kx+m$与椭圆$C$交于$A$，$B$两点，若$OA\perpOB$（$O$为坐标原点），求$m$的取值范围．22．（12分）某学校为了解学生的体育锻炼情况，随机抽取了100名学生进行问卷调查，调查结果分为“经常锻炼”“偶尔锻炼”“从不锻炼”三个等级，分别用$A$，$B$，$C$表示．根据调查结果绘制了如下的频率分布直方图和列联表（部分信息未给出）．（1）补全列联表，并判断是否有95%的把握认为“学生的体育锻炼情况与性别有关”；（2）从“经常锻炼”的学生中随机抽取2人参加体育竞赛，求抽取的2人中既有男生又有女生的概率．附：$K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中$n=a+b+c+d$．$P(K^2\geqk_0)$0.100.050.01$k_0$2.7063.8416.635等级男生女生合计$A$（经常锻炼）20____________$B$（偶尔锻炼）30____________$C$（从不锻炼）101020合计60401002025-2026学年高二数学模拟联考答案一、单项选择题（每小题5分，共40分）1．B2．A3．B4．C5．B6．C7．B8．A二、多项选择题（每小题5分，共20分）9．ABD10．ABCD11．BCD12．ABCD三、填空题（每小题5分，共20分）13．314．$\sqrt{10}$15．516．$\frac{16}{25}$四、解答题（共70分）17．（10分）（1）解：∵数列$\{a_n\}$是等差数列，设公差为$d$，由$a_1+a_2+a_3=12$，得$3a_2=12$，∴$a_2=4$．（2分）又$a_1=2$，∴$d=a_2-a_1=4-2=2$．（4分）∴通项公式$a_n=a_1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n$．（5分）（2）解：由等差数列前$n$项和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，（7分）代入$a_1=2$，$a_n=2n$，得$S_n=\frac{n(2+2n)}{2}=n(n+1)=n^2+n$．（10分）18．（12分）（1）解：∵$\sinA\cosB+\cosA\sinB=2\sinC\cosA$，由两角和的正弦公式得$\sin(A+B)=2\sinC\cosA$．（2分）在$\triangleABC$中，$A+B+C=\pi$，∴$\sin(A+B)=\sinC$，且$\sinC\neq0$．（4分）∴$\sinC=2\sinC\cosA$，两边除以$\sinC$得$\cosA=\frac{1}{2}$．（6分）又$0<A<\pi$，∴$A=\frac{\pi}{3}$．（7分）（2）解：由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}$，得$\sinB=\frac{b\sinA}{a}$．（8分）代入$a=2\sqrt{3}$，$b=2$，$\sinA=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\sinB=\frac{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$．（9分）∵$a>b$，∴$A>B$，又$0<B<\pi$，∴$B=\frac{\pi}{6}$．（10分）∴$C=\pi-A-B=\pi-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$．∴$\triangleABC$的面积$S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}\times2\times1=2\sqrt{3}$．（12分）19．（12分）（1）证明：连接$A_1B$交$AB_1$于点$O$，连接$OD$．∵直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，四边形$AA_1B_1B$是矩形，∴$O$是$A_1B$的中点．（2分）又$D$是$A_1C_1$的中点，∴$OD$是$\triangleA_1BC_1$的中位线．（3分）∴$OD\parallelBC_1$．（4分）∵$OD\subset$平面$AB_1D$，$BC_1\not\subset$平面$AB_1D$，∴$BC_1\parallel$平面$AB_1D$．（6分）（2）解：以$C_1$为原点，$C_1A_1$，$C_1B_1$，$C_1C$所在直线分别为$x$，$y$，$z$轴建立空间直角坐标系．则$C_1(0,0,0)$，$A_1(2,0,0)$，$B_1(0,2,0)$，$D(1,0,0)$，$A(2,0,2)$．（7分）设平面$AB_1D$的法向量为$\vec{n}=(x,y,z)$，$\vec{B_1D}=(1,-2,0)$，$\vec{B_1A}=(2,-2,2)$．（8分）由$\begin{cases}\vec{n}\cdot\vec{B_1D}=0\\\vec{n}\cdot\vec{B_1A}=0\end{cases}$，得$\begin{cases}x-2y=0\\2x-2y+2z=0\end{cases}$．令$y=1$，则$x=2$，$z=-1$，∴$\vec{n}=(2,1,-1)$．（9分）平面$A_1B_1C_1$的一个法向量为$\vec{m}=(0,0,1)$．（10分）设平面$AB_1D$与平面$A_1B_1C_1$所成二面角为$\theta$，则$\cos\theta=|\frac{\vec{n}\cdot\vec{m}}{|\vec{n}|\cdot|\vec{m}|}|=|\frac{-1}{\sqrt{4+1+1}\times1}|=\frac{\sqrt{6}}{6}$．（11分）∴$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\frac{1}{6}}=\frac{\sqrt{30}}{6}$．即平面$AB_1D$与平面$A_1B_1C_1$所成二面角的正弦值为$\frac{\sqrt{30}}{6}$．（12分）20．（12分）（1）解：$f(x)=x^3-3x+1$，定义域为$\mathbb{R}$．求导得$f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$．（2分）令$f'(x)=0$，得$x=-1$或$x=1$．（3分）当$x\in(-\infty,-1)$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x\in(-1,1)$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减；当$x\in(1,+\infty)$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增．（5分）∴$f(x)$的极大值为$f(-1)=(-1)^3-3\times(-1)+1=-1+3+1=3$，极小值为$f(1)=1^3-3\times1+1=1-3+1=-1$．（7分）（2）证明：由（1）知$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，在$[1,2]$上单调递增．（9分）∴$f(x)$在$[0,2]$上的最小值为$f(1)=-1$．（11分）∴当$x\in[0,2]$时，$f(x)\geq-1$．（12分）21．（12分）（1）解：由椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$．（1分）又$a^2=b^2+c^2$，∴$a^2=b^2+\frac{3}{4}a^2$，即$a^2=4b^2$．（2分）∵椭圆过点$P(2,1)$，∴$\frac{2^2}{a^2}+\frac{1^2}{b^2}=1$，即$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$．（3分）将$a^2=4b^2$代入上式，得$\frac{4}{4b^2}+\frac{1}{b^2}=1$，解得$b^2=2$，则$a^2=8$．（4分）∴椭圆$C$的标准方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$．（5分）（2）解：联立$\begin{cases}y=kx+m\\\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1\end{cases}$，消去$y$得$(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0$．（6分）设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$\Delta=(8km)^2-4(1+4k^2)(4m^2-8)>0$，化简得$m^2<2+8k^2$．（7分）由韦达定理得$x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2}$，$x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2}$．（8分）∵$OA\perpOB$，∴$\vec{OA}\cdot\vec{OB}=0$，即$x_1x_2+y_1y_2=0$．（9分）又$y_1y_2=(kx_1+m)(kx_2+m)=k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2$，代入得$x_1x_2+k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0$，即$(1+k^2)\cdot\frac{4m^2-8}{1+4k^2}+km\cdot(-\frac{8km}{1+4k^2})+m^2=0$．（10分）化简得$5m^2=8k^2+8$．（11分）结合$m^2<2+8k^2$，得$m^2<2+\f