2026届福建省南平市邵武市第四中学高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析

2026届福建省南平市邵武市第四中学高二数学第一学期期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）A.相交 B.平行C.垂直 D.不能确定2．已知直线l的方向向量，平面α的一个法向量为，则直线l与平面α的位置关系是（）A.平行 B.垂直C.在平面内 D.平行或在平面内3．的二项展开式中，二项式系数最大的项是第（）项.A.6 B.5C.4和6 D.5和74．若点在椭圆上，则该椭圆的离心率为（）A. B.C. D.5．如图，直三棱柱的所有棱长均相等，P是侧面内一点，设，若P到平面的距离为2d，则点P的轨迹是（）A.圆的一部分 B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分 D.双曲线的一部分6．2021年7月，某文学网站对该网站的数字媒体内容能否满足读者需要进行了调查，调查部门随机抽取了名读者，所得情况统计如下表所示：满意程度学生族上班族退休族满意一般不满意记满分为分，一般为分，不满意为分.设命题：按分层抽样方式从不满意的读者中抽取人，则退休族应抽取人；命题：样本中上班族对数字媒体内容满意程度的方差为.则下列命题中为真命题的是（）A. B.C. D.7．设命题甲：，命题乙：直线与直线平行，则（）A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件8．方程有两个不同的解，则实数k的取值范围为（）A. B.C. D.9．已知圆的圆心在x轴上，半径为1，且过点，圆：，则圆，的公共弦长为A. B.C. D.210．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.11．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A. B.C. D.12．已知直线为抛物线的准线，直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点，则的最小值为（）A. B.C.4 D.8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，则_________14．已知函数，若有两个零点，则的范围是______15．双曲线离心率__________.16．已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，P为两曲线的一个公共点，且（O为坐标原点）．若，则的取值范围是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在如图三角形数阵中第n行有n个数，表示第i行第j个数，例如，表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中).已知.（1）求m及；（2）记，求.18．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，都是等腰直角三角形，，，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.19．（12分）设椭圆：（）的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4.（1）求椭圆的方程；（2）已知过的直线与椭圆交于、两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值.20．（12分）已知双曲线，抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，点为抛物线上一点.（1）求双曲线的焦点坐标；（2）若点到抛物线的焦点的距离是5，求的值.21．（12分）设等差数列的前项和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.22．（10分）篮天技校为了了解车床班学生的操作能力，设计了一个考查方案；每个考生从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成零件加工，规定：至少正确加工完成其中个零件方可通过．道备选题中，考生甲有个零件能正确加工完成，个零件不能完成；考生乙每个零件正确完成的概率都是，且每个零件正确加工完成与否互不影响（1）分别求甲、乙两位考生正确加工完成零件数的概率分布列（列出分布列表）；（2）试从甲、乙两位考生正确加工完成零件数的数学期望及两人通过考查的概率分析比较两位考生的操作能力

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】建立空间直角坐标系，求得平面BB1C1C的法向量和直线MN的方向向量，利用两向量垂直，得到线面平行.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，由图可知平面BB1C1C的法向量.∵A1M=AN=，∴M，N，∴.∵，∴MN∥平面BB1C1C，故选：B.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利于空间向量判断线面平行，属于简单题目.2、D【解析】根据题意，结合线面位置关系的向量判断方法，即可求解.【详解】根据题意，因为，所以，所以直线l与平面α的位置关系是平行或在平面内故选：D3、A【解析】由二项展开的中间项或中间两项二项式系数最大可得解.【详解】因为二项式展开式一共11项，其中中间项的二项式系数最大，易知当r＝5时，最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第6项.故选：A4、C【解析】根据给定条件求出即可计算椭圆的离心率.【详解】因点在椭圆，则，解得，而椭圆长半轴长，所以椭圆离心率.故选：C5、B【解析】取的中点，得出平面，作，在直角中，求得，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，即可求解.【详解】如图所示，取的中点，连接，得到平行于平面且过点的平面，如图（1）（2）所示，作，则P1与E重合，则，在直角中，可得，在图（3）中，设直三棱柱的所有棱长均为，且，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则，所以，即所以，整理得，所以点P的轨迹是椭圆的一部分.故选：B.6、A【解析】由抽样比再乘以可得退休族应抽取人数可判断命题，求出上班族对数字媒体内容满意程度的平均分，由方差公式计算方差可判断，再由复合命题的真假判断四个选项，即可得正确选项.【详解】因为退休族应抽取人，所以命题正确；样本中上班族对数字媒体内容满意程度的平均分为，方差为，命题正确，所以为真，、、为假命题，故选：7、A【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的性质进行求解即可.【详解】当时，直线的方程为，直线方程为，此时，直线与直线平行，即甲乙；直线和直线平行，则，解得或，即乙甲；则甲是乙的充分不必要条件.故选：.8、C【解析】转化为圆心在原点半径为1的上半圆和表示恒过定点的直线始终有两个公共点，结合图形可得答案.【详解】令，平方得表示圆心在原点半径为1的上半圆，表示恒过定点的直线，方程有两个不同的解即半圆和直线要始终有两个公共点，如图圆心到直线的距离为，解得，当直线经过时由得，当直线经过时由得，所以实数k的取值范围为.故选：C.9、A【解析】根据题意设圆方程为:,代点即可求出,进而求出方程,两圆方程做差即可求得公共弦所在直线方程,再利用垂径定理去求弦长.【详解】设圆的圆心为,则其标准方程为:,将点代入方程,解得,故方程为:,两圆,方程作差得其公共弦所在直线方程为:,圆心到该直线的距离为,因此公共弦长为,故选:A.【点睛】本题综合考查圆的方程及直线与圆,圆与圆位置关系,属于中档题.一般遇见直线与圆相交问题时,常利用垂径定理解决问题.10、C【解析】连接，已知条件为，，设，由双曲线定义表示出，用已知正切值求出，再由双曲线定义得，这样可由勾股定理求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率【详解】易知共线，共线，如图，设，，则，由得，，又，所以，，所以，所以，由得，因为，故解得，则，在中，，即，所以故选：C11、B【解析】分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得详解：由题可知在中，在中,故选B.点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题12、D【解析】先求抛物线的方程，再联立直线方程和抛物线方程，由弦长公式可求的最小值.【详解】因为直线为抛物线的准线，故即，故抛物线方程为：.设直线，则，，而，当且仅当等号成立，故的最小值为8，故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求出函数的导数，再令，即可得出答案.【详解】解：由，得，所以.故答案为：.14、【解析】利用导数求出函数的最小值，结合函数的图象列式可求出结果.【详解】,当时，，在上为增函数，最多只有一个零点，不符合题意；当时，令，得，令，得，所以在上为减函数，在上为增函数，所以在时取得极小值为，也是最小值，因为当趋近于正负无穷时，都是趋近于正无穷，所以要使有两个零点，只要，即就可以了.所以的范围是故答案为：.15、【解析】由已知得到a，b，再利用及即可得到答案.【详解】由已知，可得，所以，所以.故答案为：16、【解析】设出半焦距c，用表示出椭圆的长半轴长、双曲线的实半轴长，由可得为直角三角形，由此建立关系即可计算作答.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为c，于是得，，由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在x轴上，点P在y轴右侧，由椭圆及双曲线定义得：，解得，，因，即，而O是线段的中点，因此有，则有，即，整理得：，从而有，即有，又，则有，即，解得，所以的取值范围是.故答案：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）【解析】（1）根据题意以m表示出，由即可求出，进而求出；（2）根据等差数列和等比数列的通项公式求出，再利用错位相减法即可求出.【详解】（1）由已知得，，，，，即，又，，，；（2）由（1）得，当时，，又，，满足，，，两式相减得，.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.18、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）由三角形的中位线定理可证得MN∥AB，再由线面垂直的判定定理可证得结论，（2）由已知可得AB⊥BC，VC⊥AC，再由已知结合面面垂直的性质定理可得VC⊥平面ABC，从而有AB⊥VC，然后由线面垂直的判定定理可证得结论【小问1详解】证明：∵M，N分别为VA，VB的中点，∴MN∥AB，∵AB⊄平面CMN，MN⊂平面CMN，∴AB∥平面CMN【小问2详解】证明：∵△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB＝BC，AC＝CV，∴AB⊥BC，VC⊥AC，∵平面VAC⊥平面ABC，平面VAC∩平面ABC＝AC，∴VC⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴AB⊥VC，又VC∩BC＝C，∴AB⊥平面VBC19、（1）；（2）6.【解析】（1）本小题根据题意先求，，，再求椭圆的标准方程；（2）本小题先设过的直线的方程，再根据题意表示出四边形的面积，最后求最值即可.【详解】解：（1）∵椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4，∴即，∵，∴，又∵，∴.∴椭圆的标准方程为；（2）设点、的坐标为，，因为直线过点，所以可设直线方程为，联立方程，消去可得：，化简整理得，其中，所以，，因为，所以四边形是平行四边形，设平面四边形的面积为，则，设，则（），所以，因为，所以，，所以四边形面积的最大值为6.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，相交弦等问题，是偏难题.20、（1）；（2）.【解析】（1）根据双曲线的方程求出即得双曲线的焦点坐标；（2）先求出的值，再解方程得解.【详解】（1）因为双曲线的方程为，所以.所以.所以.所以双曲线的焦点坐标分别为.（2）因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，所以抛物线的焦点坐标是(2，0)，所以.因为点为抛物线上一点，所以点到抛物线的焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离.因为点到拋物线的焦点的距离是5，即，所以.【点睛】本题主要考查双曲线的焦点坐标的求法，考查抛物线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21、（1）（2）【解析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，由此求得.（2）利用裂项求和法求得.【小问1详解】设等差数列的公差为，则,解得，.∴.【小问2详解】由（1）知.∴.∴.22、（1）分布列见解析（2）甲的试验操作能力较强，理由见解析【解析】（1）设考生甲、乙正确加