5.2 二元一次方程组的解法 教学设计（2课时）2025-2026学年数学北师大版八年级上册

2二元一次方程组的解法第1课时代入消元法1．用代入法解二元一次方程组．2．熟练运用代入法解简单的二元一次方程组．3．理解体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想．▲重点用代入消元法解二元一次方程组．▲难点理解代入消元法解方程组的过程．活动1创设情境导入新课(课件)【问题情境】对于上一节课提出的问题：老牛和小马到底各驮了几个包裹呢？方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝2，①,x＋1＝2(y－1).②))你会解吗？活动2实践探究交流新知【探究】回顾上一节课的种植问题，解答下列问题：问题1：此例中，你能否列一元一次方程？如何求解？解：设小明种了x株绿植，则小颖种了(x－2)株绿植．根据题意，得x＋1＝2(x－2－1)，x＋1＝2x－4－2，x－2x＝－4－2－1，－x＝－7，x＝7.因此，利用一元一次方程，很容易解决．问题2：如果设小明种了x株绿植，小颖种了y株绿植，你还记得怎么列的方程组吗？解：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝2，,x＋1＝2(y－1).))问题3：如何求出这个方程组的解呢？提示：(1)对照一元一次方程的解法．问题2比问题1多了一个未知数y，y相当于问题(1)中的__x－2__．(2)一元方程会解，如何解二元的呢？能否化成一元方程？换句话说，多出来的未知数y可以转化成__x－2__，然后代入__x＋1＝2(y－1)__．学生自己分析求解，教师规范解题格式．解：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝2，①,x＋1＝2(y－1).②))由①，得y＝x－2.③将③代入②，得x＋1＝2(x－2－1).x＋1＝2x－4－2，－x＝－7，x＝7.将x＝7代入③，得y＝5.所以原方程组的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝5.))问题4：上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？【归纳】1.上面解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“__一元__”．2．解方程组的主要步骤是：①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；②将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程；③解这个一元一次方程；④把求得的一元一次方程的解代入方程中，求得另一个未知数值，组成方程组的解．这种解方程组的方法称为代入消元法．活动3开放训练应用举例【例1】(教材P115例1)解方程组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝14，①,x＝y＋3.②))【方法指导】用代入消元法解方程组．解：将②代入①，得3(y＋3)＋2y＝14，3y＋9＋2y＝14，5y＝5，y＝1.将y＝1代入②，得x＝4.经检验，x＝4，y＝1适合原方程组．所以原方程组的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1.))【例2】(教材P116例2)解方程组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝16，①,x＋4y＝13.②))【方法指导】先把方程②变形成x＝13－4y，再用代入消元法解方程组．解：由②，得x＝13－4y.③将③代入①，得2(13－4y)＋3y＝16，26－8y＋3y＝16，－5y＝－10，y＝2.将y＝2代入③，得x＝5.所以原方程组的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝2.))【例3】“种粮补贴”惠农政策的出台，大大激发了农民种粮的积极性，某粮食生产专业户去年计划产小麦和玉米共18t，实际产了20t，其中小麦超产12%，玉米超产10%，那么该专业户去年实际生产小麦、玉米各多少吨？【方法指导】问题中包含两个等量关系：小麦的计划产量＋玉米的计划产量＝18t；小麦的超产量＋玉米的超产量＝20t－18t.解：设原计划生产小麦xt，生产玉米yt.根据题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝18，①,12%x＋10%y＝20－18.②))由①，得y＝18－x.③将③代入②，得12%x＋10%(18－x)＝2，12%x＋1.8－10%x＝2，2%x＝0.2，x＝10.将x＝10代入③，得y＝18－10＝8.所以原方程组的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝8.))即去年小麦的实际产量是10×(1＋12%)＝11.2(t)，玉米的实际产量是8×(1＋10%)＝8.8(t).活动4随堂练习1．由eq\f(x,5)－eq\f(y,4)＝1，可以得到用x表示y的式子是(C)A．y＝eq\f(4x－4,5)B．y＝eq\f(4,5)x－eq\f(1,5)C．y＝eq\f(4,5)x－4D．y＝4－eq\f(4,5)x2．解二元一次方程组：(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝9，①,x＋2y＝3；②))解：由②，得x＝3－2y.③将③代入①，得3(3－2y)－2y＝9，9－6y－2y＝9，－8y＝0，y＝0.将y＝0代入③，得x＝3.所以原方程组的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0；))(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝3，①,7x－3y＝20.②))解：由①，得y＝2x－3.③将③代入②，得7x－3(2x－3)＝20，7x－6x＋9＝20，x＝11.将x＝11代入③，得y＝19.所以原方程组的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝11，,y＝19.))3．方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5y＝2a，,2x＋8y＝a－15))的解中x与y互为相反数，求a的值．解：∵关于x，y的二元一次方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5y＝2a，,2x＋8y＝a－15))的解中x与y互为相反数，∴x＝－y，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋5x＝2a，,2x－8x＝a－15，))整理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＝2a，,－6x＝a－15，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,x＝\f(5,3)．))∴a的值为5.活动5课堂小结与作业学生活动：代入消元法的基本思路是什么？解题步骤掌握了吗？教学说明：初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想．作业：教材P117随堂练习，P119习题5.2中的T1.本节课先用一元一次方程和二元一次方程组解决同一个问题，然后通过对比两种方法获得解二元一次方程组的方法，直观、顺畅．让学生先学，老师再根据问题讲解新课，充分发挥小组合作学习的优势，探究显得十分自然流畅，课堂效果很好．第2课时加减消元法1．会用加减消元法解二元一次方程组．2．了解加减消元法解二元一次方程组的一般步骤．▲重点用加减消元法解二元一次方程组．▲难点选择合适的方法解二元一次方程组．活动1创设情境导入新课(课件)怎样解下面的二元一次方程组呢？eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋5y＝21，①,2x－5y＝－11.②))小明：把②变形得x＝eq\f(5y－11,2)，代入①，不就消去x了！小亮：把②变形得5y＝2x＋11，可以直接代入①呀！小丽：5y和－5y互为相反数……按小丽的思路，你能消去一个未知数吗？我们已学过用什么方法解二元一次方程组？解二元一次方程组的基本思路是什么？活动2实践探究交流新知【探究】方案1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋5y＝21，①,2x－5y＝－11.②))解：把②变形，得x＝eq\f(5y－11,2).③把③代入①……方案2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋5y＝21，①,2x－5y＝－11.②))解：由②，得5y＝2x＋11.③把5y当作整体，将③代入①……(此种解法体现了整体的思想)方案3：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋5y＝21，①,2x－5y＝－11.②))解：①＋②，得5x＝10，x＝2.把x＝2代入①，6＋5y＝21，y＝3.所以原方程组的解为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3.))强调：在方程组中，方程①和②中的5y和－5y互为相反数，根据相反数的和为零，将方程①和②的左右两边分别相加，然后根据等式的基本性质消去了未知数y，得到了一个关于x的一元一次方程，从而实现了化“二元”为“一元”的目的．举一反三：解方程组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋5y＝21，①,3x－2y＝7.②))【归纳】解方程组时，若两个方程中的x(或y)的系数互为相反数，可以把两个方程直接相__加__，消去这个未知数；若两个方程中的x(或y)的系数相同，可以直接把两个方程相__减__，消去这个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是什么？【归纳】①变形——找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，然后分别在两个方程的两边乘以适当的数，使所找的未知数的系数相等或互为相反数；②加减消元，得到一个一元一次方程；③解一元一次方程；④把求出的未知数的值代入原方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．活动3开放训练应用举例【例1】(教材P117例3)解方程组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－5y＝7，①,2x＋3y＝－1.②))【方法指导】因为在方程①②中，x的系数相同，使用加减消元法．解：②－①，得__8y＝－8__，y＝__－1__．将y＝__－1__代入①，得__2x＋5＝7__，x＝__1__．所以原方程组的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1Ｗ．))【例2】(教材P118例4)解方程组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝12，①,3x＋4y＝17.②))【方法指导】观察方程组，如何使两个方程中x(或y)的系数相同(或相反)呢？解：①×3，得__6x＋9y＝36__．③②×2，得__6x＋8y＝34__．④③－④，得__y＝2__．将y＝__2__代入①，得x＝__3__．所以原方程组的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2Ｗ．))【例3】用适当的方法解方程组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3(x＋y)－2(2x－y)＝3，,\f(2(x－y),3)－\f(x＋y,4)＝－\f(1,12)．))【方法指导】选择合适的方法消元．解：原方程组整理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5y－x＝3，①,5x－11y＝－1.②))由①，得x＝5y－3.③将③代入②，得5(5y－3)－11y＝－1，25y－15－11y＝－1，14y＝14，y＝1.将y＝1代入③，得x＝5×1－3＝2.所以原方程组的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1.))活动4随堂练习1．解以下两个方程组，较为简便的是(C)①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x－1，,7x＋2y＝8；))②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8s＋5t＝35，,17s－5t＝69.))A．①②均用代入消元法B．①②均用加减消元法C．①用代入消元法，②用加减消元法D．①用加减消元法，②用代入消元法2．已知方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝4，,x＋2y＝5，))则x＋y＝__3__．3．解方程组：(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,4x＋y＝10；))(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\