2025 九年级数学下册二次函数图像关于原点对称后的对称轴课件

一、知识铺垫：二次函数的基本性质与对称轴演讲人CONTENTS知识铺垫：二次函数的基本性质与对称轴核心探究：二次函数图像关于原点对称后的表达式与对称轴实例验证与规律总结易错点分析与针对性练习总结与升华目录2025九年级数学下册二次函数图像关于原点对称后的对称轴课件各位同学，今天我们要共同探索一个有趣的数学问题：二次函数图像关于原点对称后，其对称轴会发生怎样的变化？作为陪伴大家三年的数学老师，我始终相信，数学的魅力不仅在于公式的推导，更在于通过观察、猜想、验证，发现隐藏在图像变换中的规律。这节课，我们将从最基础的二次函数性质出发，逐步深入，揭开“对称变换后对称轴”的神秘面纱。01知识铺垫：二次函数的基本性质与对称轴知识铺垫：二次函数的基本性质与对称轴要解决“关于原点对称后的对称轴”问题，首先需要回顾二次函数的核心特征——对称轴。这是我们后续分析的“地基”。1二次函数的三种表达式及对称轴公式二次函数是九年级数学的核心内容，其表达式通常有三种形式：一般式：(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），对称轴为直线(x=-\frac{b}{2a})；顶点式：(y=a(x-h)^2+k)（(a\neq0)），其中((h,k))是顶点坐标，对称轴为直线(x=h)；交点式：(y=a(x-x_1)(x-x_2))（(a\neq0)，(x_1,x_2)为图像与x轴交点的横坐标），对称轴为直线(x=\frac{x_1+x_2}{2})。三种表达式本质相通，顶点式因直接体现顶点和对称轴，在分析图像变换时更为直观。例如，函数(y=2(x-3)^2+5)的对称轴是(x=3)，顶点为((3,5))。2图像变换中的“对称”概念数学中的“对称”是一种重要的几何变换，常见的有关于x轴、y轴、原点的对称。其中：关于x轴对称：点((x,y))变为((x,-y))，图像上下翻转；关于y轴对称：点((x,y))变为((-x,y))，图像左右翻转；关于原点对称：点((x,y))变为((-x,-y))，图像既左右翻转又上下翻转，相当于先关于x轴对称，再关于y轴对称（或顺序调换）。以一次函数(y=x)为例，其关于原点对称的图像是(y=x)（自身对称），而(y=2x+1)关于原点对称的图像是(y=2x-1)（可通过代入((-x,-y))验证：(-y=2(-x)+1\Rightarrowy=2x-1)）。这说明，图像关于原点对称的本质是“点坐标的双反变换”。02核心探究：二次函数图像关于原点对称后的表达式与对称轴核心探究：二次函数图像关于原点对称后的表达式与对称轴现在，我们进入本节课的核心：当二次函数图像关于原点对称后，如何推导其新的表达式？新图像的对称轴与原对称轴有何关系？1从“点对称”到“函数表达式”的推导设原二次函数为(y=f(x))，其图像上任意一点(P(x,y))关于原点对称的点为(P'(-x,-y))。由于(P')在对称后的新图像上，因此新图像的函数表达式满足(-y=f(-x))，即(y=-f(-x))。具体到二次函数的一般式：原函数(y=ax^2+bx+c)，则对称后的函数为：(y=-[a(-x)^2+b(-x)+c]=-[ax^2-bx+c]=-ax^2+bx-c)。用顶点式验证：1从“点对称”到“函数表达式”的推导原函数顶点式(y=a(x-h)^2+k)，顶点为((h,k))。对称后，顶点((h,k))变为((-h,-k))，且开口方向反转（(a)变为(-a)），因此新函数为(y=-a(x+h)^2-k)。展开后为(y=-a(x^2+2hx+h^2)-k=-ax^2-2ahx-ah^2-k)，与一般式推导结果一致（(-ax^2+bx-c)中，(b=-2ah)，(c=ah^2+k)）。2对称后函数的对称轴计算我们分别用一般式和顶点式计算新函数的对称轴，观察其与原对称轴的关系。2对称后函数的对称轴计算2.1基于一般式的推导1原函数对称轴：(x=-\frac{b}{2a})；2新函数(y=-ax^2+bx-c)的对称轴为：3(x=-\frac{b_{新}}{2a_{新}}=-\frac{b}{2(-a)}=\frac{b}{2a})。4对比原对称轴(-\frac{b}{2a})，新对称轴为(\frac{b}{2a})，即两者互为相反数。2对称后函数的对称轴计算2.2基于顶点式的推导原函数顶点式(y=a(x-h)^2+k)，对称轴(x=h)；新函数顶点式(y=-a(x+h)^2-k)，对称轴为(x=-h)。显然，新对称轴(x=-h)与原对称轴(x=h)关于原点对称（在数轴上，(h)和(-h)到原点的距离相等，方向相反）。结论：二次函数图像关于原点对称后，新图像的对称轴是原对称轴关于原点的对称直线，即若原对称轴为(x=h)，则新对称轴为(x=-h)。03实例验证与规律总结实例验证与规律总结为了确保结论的普适性，我们通过具体实例验证，并总结变换中的关键规律。1实例1：顶点式函数的对称变换原函数：(y=2(x-3)^2+4)（开口向上，顶点((3,4))，对称轴(x=3)）。01对称后的函数：顶点变为((-3,-4))，开口向下（(a=-2)），因此新函数为(y=-2(x+3)^2-4)。02新对称轴：(x=-3)（原对称轴(x=3)的相反数）。03图像验证：在坐标系中画出原函数和新函数，原抛物线顶点在右侧（(x=3)），对称后顶点在左侧（(x=-3)），对称轴自然关于原点对称。042实例2：一般式函数的对称变换原函数：(y=x^2+2x-1)（整理为顶点式：(y=(x+1)^2-2)，对称轴(x=-1)）。新对称轴：用一般式计算(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2(-1)}=1)（原对称轴(x=-1)的相反数）。对称后的函数：根据(y=-f(-x))，代入得(y=-[(-x)^2+2(-x)-1]=-[x^2-2x-1]=-x^2+2x+1)。代数验证：原函数对称轴(x=-1)，新函数对称轴(x=1)，满足(x=-(-1)=1)，与结论一致。23413规律总结：对称轴变换的本质通过上述推导和实例，我们可以将规律提炼为：二次函数图像关于原点对称的变换，本质是对原函数的“双反操作”——自变量(x)取反（左右翻转），因变量(y)取反（上下翻转）。这种变换会导致顶点坐标((h,k))变为((-h,-k))，而对称轴由顶点的横坐标决定，因此新对称轴为原对称轴的相反数。04易错点分析与针对性练习易错点分析与针对性练习在学习过程中，同学们容易在符号处理和变换逻辑上出错，以下是常见问题及解决方法。1常见易错点符号混淆：在推导对称后的函数表达式时，忘记对(x)和(y)同时取反，例如仅对(x)取反（关于y轴对称）或仅对(y)取反（关于x轴对称）。顶点坐标变换错误：误认为顶点((h,k))关于原点对称后是((h,-k))或((-h,k))，忽略了“原点对称”需同时改变横、纵坐标的符号。对称轴公式应用错误：在计算新函数的对称轴时，误用原函数的(a)和(b)，未注意到新函数的二次项系数(a)已变为(-a)，一次项系数(b)可能变为(b)（如一般式推导中的(-ax^2+bx-c)）。2针对性练习练习1：已知原函数(y=-3(x-2)^2+5)，求其关于原点对称后的函数表达式及对称轴。解答：对称后顶点为((-2,-5))，开口方向反转（(a=3)），新函数为(y=3(x+2)^2-5)，对称轴为(x=-2)（原对称轴(x=2)的相反数）。练习2：原函数(y=2x^2-4x+1)，求关于原点对称后的函数对称轴。解答：原函数对称轴(x=-\frac{-4}{2\times2}=1)；对称后函数为(y=-2(-x)^2+4(-x)-1=-2x^2-4x-1)，新对称轴(x=-\frac{-4}{2\times(-2)}=-\frac{4}{4}=-1)（原对称轴(x=1)的相反数）。2针对性练习练习3：若二次函数图像关于原点对称后的对称轴为(x=5)，求原函数的对称轴。解答：根据规律，原对称轴为(x=-5)（新对称轴的相反数）。05总结与升华总结与升华同学们，今天我们通过“观察-猜想-推导-验证”的科学探究方法，解决了二次函数图像关于原点对称后的对称轴问题。核心结论可以概括为：二次函数图像关于原点对称后，新图像的对称轴是原对称轴关于原点的对称直线，即若原对称轴为(x=h)，则新对称轴为(x=-h)。这一结论的本质是原点对称变换对顶点横坐标的“符号反转”。从知识层面看，它串联了二次函数的表达式、顶点、对称轴等核心概念；从能力层面看，它培养了我们用代数方法分析几何变换的思维，这是“数形结合”思想的重要体现。回顾课堂，我们从最基础的对称轴公式出发，逐步推导变换后的表达式，再通过实例验证规律，最后总结易错点。希望同学们不仅记住结论，更要理解“如何从点的对称推导出