2025 九年级数学下册二次函数图像关于原点对称后的解析式课件

一、课程导入：从生活现象到数学本质的联结演讲人CONTENTS课程导入：从生活现象到数学本质的联结知识铺垫：从点的对称到图像的对称核心探究：二次函数关于原点对称的解析式推导典型例题：从理论到实践的跨越总结与升华：从“知其然”到“知其所以然”目录2025九年级数学下册二次函数图像关于原点对称后的解析式课件01课程导入：从生活现象到数学本质的联结课程导入：从生活现象到数学本质的联结各位同学，当我们在平静的湖面投下一颗石子，涟漪会以落点为中心向四周对称扩散；当我们站在镜子前，镜中的“自己”与现实中的“自己”关于镜面成轴对称。这些生活中的对称现象，在数学中被抽象为“图形变换”的重要分支。今天，我们要探讨的是二次函数图像的一种特殊对称变换——关于原点对称。这不仅是对二次函数图像性质的深化理解，更是培养我们用代数方法研究几何变换能力的关键一课。作为一线数学教师，我曾目睹许多同学在处理对称变换时因符号混淆而卡壳，也见证过他们通过严谨推导突破难点后的雀跃。希望今天的课程能让大家既掌握方法，又感受数学“数”与“形”交融的魅力。02知识铺垫：从点的对称到图像的对称1二次函数的基本形式与图像特征回顾要研究二次函数图像的对称变换，首先需要明确二次函数的三种常见表达式及其图像特征：一般式：(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），图像为抛物线，开口方向由(a)的正负决定（(a>0)向上，(a<0)向下），顶点坐标为(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))，对称轴为直线(x=-\frac{b}{2a})。顶点式：(y=a(x-h)^2+k)（(a\neq0)），其中((h,k))为顶点坐标，(a)的意义与一般式相同，图像可看作由(y=ax^2)平移得到（向右平移(h)个单位，向上平移(k)个单位）。1二次函数的基本形式与图像特征回顾交点式：(y=a(x-x_1)(x-x_2))（(a\neq0)，(x_1,x_2)为抛物线与(x)轴交点的横坐标），图像与(x)轴交于((x_1,0))和((x_2,0))，对称轴为直线(x=\frac{x_1+x_2}{2})。2平面直角坐标系中“关于原点对称”的定义在平面直角坐标系中，若点(P(x,y))关于原点对称的点为(P'(x',y'))，则满足(x'=-x)，(y'=-y)。这一关系可简洁表述为：原点是点(P)和(P')的中点。例如，点((2,3))关于原点对称的点是((-2,-3))，点((-1,-4))关于原点对称的点是((1,4))。3图像关于原点对称的本质一个图形关于原点对称，意味着图形上每一个点关于原点的对称点都在该图形上。因此，二次函数(y=f(x))的图像关于原点对称后的新图像，其对应的函数解析式可通过以下步骤推导：设原图像上任意一点((x,y))关于原点对称的点为((x',y'))，则(x=-x')，(y=-y')。由于原函数满足(y=f(x))，将(x=-x')，(y=-y')代入得：(-y'=f(-x'))，即(y'=-f(-x'))。因此，关于原点对称后的函数解析式为(y=-f(-x))。这一结论是后续推导的核心依据。03核心探究：二次函数关于原点对称的解析式推导1一般式的推导与规律总结设原二次函数为一般式(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），根据上述结论，其关于原点对称的函数解析式为(y=-f(-x))。代入原函数得：(y=-\left[a(-x)^2+b(-x)+c\right]=-\left(ax^2-bx+c\right)=-ax^2+bx-c)。结论：一般式(y=ax^2+bx+c)关于原点对称后的解析式为(y=-ax^2+bx-c)。特征观察：1一般式的推导与规律总结二次项系数由(a)变为(-a)（开口方向与原函数相反）；一次项系数由(b)变为(b)（注意符号：原一次项为(bx)，代入(-x)后变为(-bx)，再取负号得(bx)）；常数项由(c)变为(-c)。举例验证：原函数(y=2x^2+3x-1)，关于原点对称后的解析式应为(y=-2x^2+3x+1)。我们可以通过取特殊点验证：原函数上点((1,2+3-1=4))，其关于原点对称的点为((-1,-4))。将(x=-1)代入对称后的解析式：(y=-2(-1)^2+3(-1)+1=-2-3+1=-4)，符合预期；1一般式的推导与规律总结原函数顶点坐标为(\left(-\frac{3}{4},\frac{4\times2\times(-1)-3^2}{4\times2}\right)=\left(-\frac{3}{4},-\frac{17}{8}\right))，对称后的顶点应为(\left(\frac{3}{4},\frac{17}{8}\right))，代入对称后的解析式计算顶点纵坐标：(y=-2\times\left(\frac{3}{4}\right)^2+3\times\frac{3}{4}+1=-2\times\frac{9}{16}+\frac{9}{4}+1=-\frac{9}{8}+\frac{18}{8}+\frac{8}{8}=\frac{17}{8})，与预期一致。2顶点式的推导与几何意义原二次函数为顶点式(y=a(x-h)^2+k)（(a\neq0)），其顶点为((h,k))。根据原点对称的定义，顶点((h,k))关于原点的对称点为((-h,-k))。同时，由于图像关于原点对称，抛物线的开口方向与原函数相反（原开口向上则对称后向下，反之亦然），因此二次项系数变为(-a)。直接推导验证：对称后的解析式为(y=-f(-x)=-\left[a(-x-h)^2+k\right]=-\left[a(-(x+h))^2+k\right]=-\left[a(x+h)^2+k\right]=-a(x+h)^2-k)。2顶点式的推导与几何意义结论：顶点式(y=a(x-h)^2+k)关于原点对称后的解析式为(y=-a(x+h)^2-k)，其顶点为((-h,-k))，开口方向与原函数相反。几何意义深化：这一结论直观反映了“形”与“数”的对应关系——顶点的位置变换（横、纵坐标取反）与开口方向的改变（系数取反），是理解对称变换的关键视角。举例验证：原函数(y=3(x-2)^2+5)，顶点为((2,5))，对称后的顶点应为((-2,-5))，解析式应为(y=-3(x+2)^2-5)。取原函数上点((2,5))（顶点），对称点为((-2,-5))，2顶点式的推导与几何意义代入对称后的解析式：(y=-3(-2+2)^2-5=-5)，符合；原函数上点((3,3(1)^2+5=8))，对称点为((-3,-8))，代入对称后的解析式：(y=-3(-3+2)^2-5=-3(1)-5=-8)，正确。3交点式的推导与根的对称性原二次函数为交点式(y=a(x-x_1)(x-x_2))（(a\neq0)），其与(x)轴交点为((x_1,0))和((x_2,0))。关于原点对称后，这两个交点的对称点应为((-x_1,0))和((-x_2,0))（因为(y=0)时，对称点的(y'=-0=0)，故仍在(x)轴上）。同时，开口方向相反，系数变为(-a)。推导验证：对称后的解析式为(y=-f(-x)=-\left[a(-x-x_1)(-x-x_2)\right]=-\left[a(x+x_1)(x+x_2)\right]=-a(x+x_1)(x+x_2))。3交点式的推导与根的对称性结论：交点式(y=a(x-x_1)(x-x_2))关于原点对称后的解析式为(y=-a(x+x_1)(x+x_2))，与(x)轴的交点为((-x_1,0))和((-x_2,0))，开口方向与原函数相反。举例验证：原函数(y=2(x-1)(x+3))，与(x)轴交点为((1,0))和((-3,0))，对称后的交点应为((-1,0))和((3,0))，解析式应为(y=-2(x+1)(x-3))（展开后为(y=-2x^2+4x+6)）。取原函数上点((0,2(-1)(3)=-6))，对称点为((0,6))，3交点式的推导与根的对称性代入对称后的解析式：(y=-2(0+1)(0-3)=-2(-3)=6)，符合；原函数顶点横坐标为(\frac{1+(-3)}{2}=-1)，纵坐标为(2(-1-1)(-1+3)=2(-2)(2)=-8)，对称后的顶点应为((1,8))，代入对称后的解析式计算顶点纵坐标：(y=-2(1+1)(1-3)=-2(2)(-2)=8)，正确。4对比其他对称变换，强化理解为避免混淆，我们对比二次函数关于原点对称与关于(x)轴、(y)轴对称的解析式变换规律：|对称类型|变换规则|解析式推导（原函数(y=f(x))）|系数变化（以一般式为例）||----------------|------------------------|------------------------------------|--------------------------------||关于(x)轴对称|((x,y)\to(x,-y))|(-y=f(x))→(y=-f(x))|(y=-ax^2-bx-c)|4对比其他对称变换，强化理解|关于(y)轴对称|((x,y)\to(-x,y))|(y=f(-x))|(y=ax^2-bx+c)||关于原点对称|((x,y)\to(-x,-y))|(-y=f(-x))→(y=-f(-x))|(y=-ax^2+bx-c)|通过表格对比可以发现，关于原点对称是“双变换”——既变换(x)又变换(y)，因此解析式是(-f(-x))，而其他对称仅变换其中一个坐标。这一对比能帮助同学们更清晰地记忆不同对称变换的规律。04典型例题：从理论到实践的跨越1基础题：已知原函数求对称后的解析式例1：求二次函数(y=-x^2+2x-5)关于原点对称后的解析式。解析：根据一般式的变换规律，对称后的解析式为(y=-(-x)^2+2(-x)-(-5))？不，这里需要注意，正确的推导应是(y=-f(-x))。原函数(f(x)=-x^2+2x-5)，则(f(-x)=-(-x)^2+2(-x)-5=-x^2-2x-5)，因此(-f(-x)=x^2+2x+5)。答案：(y=x^2+2x+5)。例2：二次函数的顶点式为(y=\frac{1}{2}(x+4)^2-3)，求其关于原点对称的解析式。1基础题：已知原函数求对称后的解析式解析：顶点式变换规律为(y=-a(x+h)^2-k)，原函数中(a=\frac{1}{2})，(h=-4)（注意顶点式中是((x-h))，原函数为((x+4)=(x-(-4)))，故(h=-4)），(k=-3)。代入得对称后的解析式为(y=-\frac{1}{2}(x-(-4))^2-(-3))？不，更直接的方式是利用顶点对称后的坐标((-h,-k)=(4,3))，且开口方向相反（(a)变为(-\frac{1}{2})），因此解析式为(y=-\frac{1}{2}(x-4)^2+3)。展开验证：(y=-\frac{1}{2}(x^2-8x+16)+3=-\frac{1}{2}x^2+4x-8+3=-\frac{1}{2}x^2+4x-5)。1基础题：已知原函数求对称后的解析式用(y=-f(-x))推导：原函数(f(x)=\frac{1}{2}(x+4)^2-3)，则(f(-x)=\frac{1}{2}(-x+4)^2-3=\frac{1}{2}(x^2-8x+16)-3=\frac{1}{2}x^2-4x+8-3=\frac{1}{2}x^2-4x+5)，故(-f(-x)=-\frac{1}{2}x^2+4x-5)，与顶点式推导结果一致。答案：(y=-\frac{1}{2}(x-4)^2+3)（或展开式(y=-\frac{1}{2}x^2+4x-5)）。2提升题：已知对称后的函数求原函数例3：若二次函数(y=3x^2-6x+2)是某二次函数关于原点对称后的解析式，求原函数的解析式。解析：设原函数为(y=f(x))，则对称后的函数为(y=-f(-x)=3x^2-6x+2)。因此，(f(-x)=-3x^2+6x-2)，令(t=-x)，则(x=-t)，代入得(f(t)=-3(-t)^2+6(-t)-2=-3t^2-6t-2)，故原函数为(y=-3x^2-6x-2)。验证：原函数关于原点对称后的解析式应为(y=-f(-x)=-[-3(-x)^2-6(-x)-2]=-[-3x^2+6x-2]=3x^2-6x+2)，与题目条件一致。答案：(y=-3x^2-6x-2)。3综合题：对称变换与平移变换的结合例4：将二次函数(y=2x^2)先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到函数(y=f(x))，求(f(x))关于原点对称的解析式。解析：先求平移后的函数(f(x))：原函数(y=2x^2)向右平移3个单位得(y=2(x-3)^2)，再向下平移1个单位得(y=2(x-3)^2-1)，即(f(x)=2(x-3)^2-1)。求(f(x))关于原点对称的解析式：根据顶点式变换规律，顶点((3,-1))对称后为((-3,1))，开口方向相反（(a=2)变为(-2)），故对称后的解析式为(y=-2(x+3)^2+1)。3综合题：对称变换与平移变换的结合展开验证：(y=-2(x^2+6x+9)+1=-2x^2-12x-18+1=-2x^2-12x-17)。用(y=-f(-x))推导：(f(-x)=2(-x-3)^2-1=2(x+3)^2-1=2x^2+12x+18-1=2x^2+12x+17)，故(-f(-x)=-2x^2-12x-17)，与顶点式推导一致。答案：(y=-2(x+3)^2+1)（或展开式(y=-2x^2-12x-17)）。05总结与升华：从“知其然”到“知其所以然”1核心方法总结二次函数图像关于原点对称的解析式推导，本质是利用“点的对称坐标变换”与“函数解析式的代数表达”的对应关系。具体步骤可概括为：设原函数上任意一点((x,y))，其关于原点对称的点为((-x,-y))；由于对称后的点((-x,-y))在新函数图像上，因此新函数满足(-y=f(-x))；整理得新函数解析式为(y=-f(-x))。2关键规律提炼一般式