2025 九年级数学下册二次函数图像左右平移与 h 的符号关系课件

一、课程引入：从“旧知”到“新问”的自然衔接演讲人CONTENTS课程引入：从“旧知”到“新问”的自然衔接知识铺垫：二次函数的基本形式与图像特征探究核心：左右平移与h的符号关系应用提升：从规律到解题的迁移总结升华：从“符号”到“图像”的本质关联目录2025九年级数学下册二次函数图像左右平移与h的符号关系课件01课程引入：从“旧知”到“新问”的自然衔接课程引入：从“旧知”到“新问”的自然衔接作为一线数学教师，我常观察到学生在学习二次函数图像变换时，最易混淆的便是“左右平移方向与参数符号的关系”。每当讲到“y=a(x-h)²+k”中h的作用时，总有学生举手问：“老师，h是正数为什么图像向右移？如果h是负数，是不是向左移？”这种困惑源于对函数表达式与图像变换本质的割裂理解。今天，我们就从最基础的二次函数图像出发，通过“观察—猜想—验证—归纳”的科学探究路径，彻底厘清二次函数图像左右平移与h的符号关系。02知识铺垫：二次函数的基本形式与图像特征1二次函数的顶点式回顾在之前的学习中，我们已经掌握了二次函数的顶点式：y=a(x-h)²+k（a≠0）。其中：a决定了抛物线的开口方向（a>0向上，a<0向下）和开口大小（|a|越大，开口越窄）；(h,k)是抛物线的顶点坐标，也是图像的“关键点”；对称轴是直线x=h，它垂直于抛物线的开口方向，将图像分成左右对称的两部分。2.2基础图像：y=ax²的几何特征以最简单的二次函数y=x²（a=1）为例，其图像是一条顶点在原点(0,0)、对称轴为y轴（x=0）、开口向上的抛物线。当a取其他值时（如y=2x²或y=-½x²），图像仅在开口大小和方向上变化，顶点始终固定在原点。1二次函数的顶点式回顾思考：如果我们希望这条抛物线“动起来”——比如将顶点从(0,0)移动到(2,0)，图像会发生怎样的变化？此时函数表达式又该如何调整？03探究核心：左右平移与h的符号关系1从具体实例到一般规律的推导为了直观观察平移规律，我们选取a=1的特殊情况（即y=(x-h)²），通过对比不同h值对应的图像，总结平移方向与h符号的关系。1从具体实例到一般规律的推导1.1案例1：h>0时的平移现象取h=2，函数表达式为y=(x-2)²。我们通过列表、描点法绘制其图像，并与y=x²对比：1|x|y=x²|y=(x-2)²|2|---|------|----------|3|0|0|4|4|1|1|1|5|2|4|0|6|3|9|1|7|4|16|4|81从具体实例到一般规律的推导1.1案例1：h>0时的平移现象观察表格数据：当y=(x-2)²取到最小值0时，x=2（即顶点为(2,0)）；而y=x²的最小值出现在x=0。对比相同y值对应的x值：y=1时，y=x²中x=±1，y=(x-2)²中x=1或3（即原x值+2）。这说明，对于y=(x-2)²的图像，每个点的横坐标都比y=x²对应点的横坐标大2，相当于将原图像整体向右平移了2个单位。1从具体实例到一般规律的推导1.2案例2：h<0时的平移现象取h=-3，函数表达式为y=(x-(-3))²=y=(x+3)²。同样列表对比：|x|y=x²|y=(x+3)²||---|------|----------||-4|16|1||-3|9|0||-2|4|1||-1|1|4||0|0|9|此时，y=(x+3)²的顶点为(-3,0)，当y=1时，x=-4或-2（即原x值-3）。这表明，每个点的横坐标都比y=x²对应点的横坐标小3，相当于将原图像整体向左平移了3个单位。1从具体实例到一般规律的推导1.3归纳初步结论通过以上两个案例，我们可以总结：当二次函数从y=ax²变换为y=a(x-h)²时，若h>0，图像向右平移h个单位；若h<0（即表达式为y=a(x+|h|)²），图像向左平移|h|个单位。h的符号决定了平移方向，|h|决定了平移距离。2从代数视角解释平移本质为了更深刻理解这一规律，我们可以从函数自变量的替换角度分析。对于任意函数y=f(x)，若将x替换为x-h（即y=f(x-h)），则新函数的图像是原函数图像向右平移h个单位的结果。这是因为：原函数中y=f(x₀)对应的点(x₀,y₀)，在新函数中需要满足y₀=f((x₀+h)-h)=f(x₀)，即新函数中y₀对应的x值为x₀+h。因此，原图像上的点(x₀,y₀)会移动到(x₀+h,y₀)，整体向右平移了h个单位。反之，若将x替换为x+|h|（即y=f(x+|h|)=f(x-(-|h|))），相当于h=-|h|，此时x₀对应的新x值为x₀-|h|，图像向左平移了|h|个单位。这一结论与二次函数的顶点式完全一致：y=a(x-h)²可视为y=ax²中x被替换为x-h后的结果，因此平移方向由h的符号决定。3常见误区辨析在教学实践中，学生常出现以下两种误解，需要重点澄清：误区1：“h是正数就向左移，负数向右移”错误原因：混淆了表达式中的符号与平移方向的直接对应。例如，看到y=(x+2)²（即h=-2），误以为“+2”表示向右移，但实际上h=-2，根据规律应向左移2个单位。纠正方法：始终抓住顶点坐标的变化。原顶点(0,0)在y=(x+2)²中变为(-2,0)，横坐标从0变为-2，即向左移动了2个单位。误区2：“平移距离等于h的绝对值，但符号无关”错误原因：忽略了h的符号对方向的决定性作用。例如，y=(x-5)²的h=5，平移距离是5个单位，方向向右；而y=(x+5)²的h=-5，平移距离同样是5个单位，但方向向左。3常见误区辨析纠正方法：结合顶点坐标的变化量（Δx=h-0=h），若Δx>0则向右，Δx<0则向左。04应用提升：从规律到解题的迁移1已知平移方向，求函数表达式例1：将抛物线y=3x²向右平移4个单位，求平移后的函数表达式。分析：原函数为y=3x²（顶点(0,0)），向右平移4个单位后，顶点变为(4,0)，因此h=4。代入顶点式得y=3(x-4)²。例2：将抛物线y=-½(x-1)²向左平移3个单位，求平移后的函数表达式。分析：原顶点为(1,0)，向左平移3个单位后，新顶点为(1-3,-0)=(-2,0)，因此h=-2。注意原函数中已有h=1，平移后h的变化量为-3（向左3个单位），故新h=1+(-3)=-2，表达式为y=-½(x-(-2))²=y=-½(x+2)²。2已知函数表达式，判断平移方向和距离3241例3：比较y=2(x-3)²与y=2x²的图像关系。解答：表达式可写为y=-4(x-(-5))²，即h=-5<0，因此是由y=-4x²向左平移5个单位得到的。解答：h=3>0，因此y=2(x-3)²是由y=2x²向右平移3个单位得到的。例4：说明y=-4(x+5)²的图像如何由y=-4x²变换而来。3综合应用：多步平移与参数求解例5：抛物线y=(x+2)²先向右平移6个单位，再向下平移1个单位，求最终的函数表达式。分析：第一步向右平移6个单位，原h=-2，平移后h=-2+6=4，函数变为y=(x-4)²；第二步向下平移1个单位（k变化），最终表达式为y=(x-4)²-1。例6：已知抛物线y=a(x-h)²经过点(1,2)和(3,2)，且顶点在x轴上，求h的值。分析：两点(1,2)和(3,2)纵坐标相同，说明它们关于对称轴对称，对称轴为x=(1+3)/2=2，而对称轴是x=h，因此h=2。321405总结升华：从“符号”到“图像”的本质关联总结升华：从“符号”到“图像”的本质关联通过本节课的探究，我们不仅掌握了二次函数图像左右平移与h的符号关系，更重要的是理解了“函数表达式变换”与“图像几何变换”的内在联系。核心结论可总结为：1规律提炼STEP1STEP2STEP3对于二次函数顶点式y=a(x-h)²+k（a≠0）：h的符号决定左右平移方向：h>0时，图像由y=ax²向右平移h个单位；h<0时，图像由y=ax²向左平移|h|个单位。平移距离始终是|h|，与a、k无关（k影响上下平移，后续课程将深入学习）。2思想方法本节课贯穿了“数形结合”的核心思想——通过代数表达式的符号变化（h的正负），对应图像的几何位置变化（左右平移）；同时运用了“特殊到一般”的归纳法（从a=1的具体案例到任意a的一般情况），以及“函数变换”的整体视角（将x替换为x-h的本质是点的坐标变换）。3学习建议同学们在后续练习中，可通过“三步验证法”巩固知识：找顶点