2025 九年级数学下册棱柱展开图中侧面展开图周长计算课件

一、课程导入：从生活现象到数学本质的链接演讲人04/侧面展开图周长的计算公式推导03/侧面展开图的形状与特征分析02/知识铺垫：棱柱的定义与分类01/课程导入：从生活现象到数学本质的链接06/实际应用：从数学到生活的迁移05/典型例题与易错点分析08/课程总结：从“展开”到“联结”的思维升华07/课堂练习与能力提升目录2025九年级数学下册棱柱展开图中侧面展开图周长计算课件01课程导入：从生活现象到数学本质的链接课程导入：从生活现象到数学本质的链接作为一线数学教师，我常在课堂上观察到一个有趣的现象：当学生拿到一个纸质棱柱模型（比如三棱柱形的茶叶盒、四棱柱形的快递箱）时，总会不自觉地尝试将其侧面展开，试图“还原”成一张平整的纸。这种对立体图形展开的好奇，正是我们今天要探讨的核心——棱柱侧面展开图的周长计算。生活中，包装设计师需要计算展开图的尺寸以确定材料用量，建筑工人需要根据展开图估算装饰材料的长度，这些都离不开对侧面展开图周长的精准计算。对于九年级的同学们来说，掌握这一技能不仅是为了应对考试，更是为了建立“空间观念”与“几何直观”这两大核心素养。接下来，我们将从棱柱的基本概念出发，逐步拆解侧面展开图的特征，最终推导出周长计算的通用方法。02知识铺垫：棱柱的定义与分类1棱柱的数学定义要研究棱柱的展开图，首先需要明确棱柱的本质特征。根据教材定义：棱柱是由两个全等的多边形底面和平行且相等的矩形侧面围成的立体图形，其中两个底面互相平行，侧面的公共边（即侧棱）也互相平行且长度相等。简单来说，棱柱可以看作是一个多边形沿着与自身平面垂直的方向平移形成的几何体。以常见的三棱柱、四棱柱（长方体是特殊的四棱柱）、五棱柱为例，它们的底面分别是三角形、四边形、五边形，侧棱均垂直于底面（这类棱柱称为“直棱柱”）。而若侧棱不垂直于底面（称为“斜棱柱”），其侧面展开图会呈现平行四边形，但考虑到九年级课程重点，我们今天主要研究直棱柱。2直棱柱的关键要素为后续计算做准备，我们需要明确直棱柱的三个核心要素：底面：两个全等的多边形，记为n边形（n≥3），边长分别为a₁,a₂,...,aₙ；侧棱（高）：连接两个底面的线段，所有侧棱长度相等，记为h（直棱柱中h等于两底面间的垂直距离）；侧面：由n个矩形组成，每个矩形的一边为底面边长aᵢ，另一边为侧棱h。0304020103侧面展开图的形状与特征分析1展开图的形成过程现在，我们模拟“展开”一个直n棱柱的过程：将棱柱的侧面沿着一条侧棱剪开（例如，三棱柱选择连接底面顶点A₁A₂的侧棱），然后将各个侧面依次平铺在同一平面上。观察发现，原本垂直于底面的侧棱h在展开后成为所有侧面矩形的公共边，而底面各边a₁,a₂,...,aₙ则依次首尾相连，形成一条连续的线段。关键结论：直棱柱的侧面展开图是一个矩形，其一边长度等于底面多边形的周长（记为C底=a₁+a₂+...+aₙ），另一边长度等于侧棱的长度h。2展开图与原棱柱的对应关系为验证这一结论，我们以直四棱柱（长方体）为例：底面是长为a、宽为b的矩形，侧棱（高）为h。其侧面由4个矩形组成，其中两个矩形的尺寸为a×h（对应前后面），另外两个为b×h（对应左右面）。当沿一条侧棱剪开并展开时，前、右、后、左四个侧面依次平铺，形成的大矩形的长为底面周长（2a+2b），宽为h，与结论完全一致。再以直三棱柱为例：底面是边长为c的等边三角形，侧棱为h。三个侧面均为c×h的矩形，展开后三个矩形的c边首尾相连，形成长度为3c（底面周长）的长边，宽为h，同样符合结论。04侧面展开图周长的计算公式推导1从矩形周长公式到具体应用既然直棱柱的侧面展开图是矩形，其周长即可用矩形周长公式计算：其中，“长”是底面周长C底，“宽”是侧棱长度h，因此公式可写为：展开图周长=2×(长+宽)展开图周长L=2×(C底+h)2公式的本质理解这一公式的核心在于“展开图的长是底面各边的累加”。以直五棱柱为例，底面是五边形，边长分别为a,b,c,d,e，则底面周长C底=a+b+c+d+e，展开图的长即为这个总和，宽是侧棱h，因此周长L=2×(a+b+c+d+e+h)。需要强调的是，无论底面是正多边形（各边相等）还是任意多边形（各边不等），只要是直棱柱，展开图的长始终是底面周长，这是由“侧面矩形依次平铺时各边首尾相连”的几何特性决定的。05典型例题与易错点分析1基础例题：正棱柱的展开图周长计算例1：一个直六棱柱的底面是边长为2cm的正六边形，侧棱长为5cm，求其侧面展开图的周长。分析：底面是正六边形，边长a=2cm，因此底面周长C底=6×2=12cm；侧棱h=5cm；展开图周长L=2×(12+5)=2×17=34cm。答案：34cm。2变式例题：任意多边形底面的棱柱例2：一个直四棱柱的底面是梯形，上底长3cm，下底长5cm，两腰分别为2cm和4cm，侧棱长为6cm，求侧面展开图的周长。分析：底面是梯形，周长C底=3+5+2+4=14cm；侧棱h=6cm；展开图周长L=2×(14+6)=2×20=40cm。答案：40cm。3易错点总结在教学实践中，学生常出现以下错误，需重点关注：混淆“底面边长”与“底面周长”：例如，误将正五棱柱的底面边长a直接作为展开图的长，导致计算为2×(a+h)，正确应为2×(5a+h)；忽略“直棱柱”的前提：若题目中涉及斜棱柱（侧棱不垂直底面），其侧面展开图是平行四边形，周长计算需用邻边之和的2倍，但九年级阶段一般不做要求，需注意题目是否明确为直棱柱；单位不统一：例如，底面边长用“厘米”，侧棱用“分米”，计算前需统一单位（如1分米=10厘米）。06实际应用：从数学到生活的迁移实际应用：从数学到生活的迁移数学知识的价值在于解决实际问题。我们来看一个包装设计的案例：案例：某公司要制作一个直三棱柱形的巧克力包装盒，底面是边长为8cm的正三角形，高度（侧棱）为15cm。为了在侧面印刷品牌LOGO，需要计算展开图的周长，以确定印刷机的最小纸卷宽度。解决过程：底面周长C底=3×8=24cm；侧棱h=15cm；展开图周长L=2×(24+15)=2×39=78cm；因此，纸卷宽度至少需要78cm（实际中需预留1-2cm的余量）。通过这个案例，同学们可以直观感受到，掌握侧面展开图周长的计算，能直接服务于生产实践，这正是数学“实用性”的体现。07课堂练习与能力提升1基础巩固题一个直五棱柱的底面是边长为3cm的正五边形，侧棱长为7cm，求侧面展开图的周长。一个直棱柱的侧面展开图是一个长20cm、宽10cm的矩形，若其底面是正方形，求底面边长。2拓展提升题一个直棱柱的底面是周长为18cm的多边形，其侧面展开图的周长为52cm，求侧棱的长度。观察教室中的长方体粉笔盒（长10cm、宽8cm、高6cm），计算其侧面展开图的周长，并实际展开验证。08课程总结：从“展开”到“联结”的思维升华课程总结：从“展开”到“联结”的思维升华本节课我们围绕“棱柱侧面展开图的周长计算”展开，核心知识可总结为：展开图形状：直棱柱的侧面展开图是矩形；关键对应关系：展开图的长=底面周长，宽=侧棱长；周长公式：L=2×(底面周长+侧棱长)；本质理解：展开图是侧面矩形的“平铺拼接”，底面各边依次连接形成长边，侧棱作为公共边形成宽边。正如数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”通过