2025 九年级数学下册相似三角形判定中 SAS 条件应用典型例题课件

一、追本溯源：SAS判定条件的本质解析演讲人追本溯源：SAS判定条件的本质解析01应用技巧与思维提升：从“解题”到“用题”02典型例题剖析：从基础到进阶的应用逻辑03总结与升华：SAS判定的核心价值与学习启示04目录2025九年级数学下册相似三角形判定中SAS条件应用典型例题课件各位同学、老师们：大家好！今天我们聚焦“相似三角形判定中SAS条件的应用”这一核心内容。作为初中几何的关键知识点，相似三角形不仅是全等三角形的延伸，更是解决实际测量、图形缩放等问题的重要工具。在相似三角形的判定方法中，SAS（边角边）条件因其“两边成比例且夹角相等”的简明特征，成为最常用的判定依据之一。接下来，我将结合多年教学经验，从定义解析、典型例题、应用技巧到易错警示，逐步展开讲解，带大家深入理解这一判定条件的本质与应用逻辑。01追本溯源：SAS判定条件的本质解析追本溯源：SAS判定条件的本质解析要熟练应用SAS条件，首先需明确其数学定义、逻辑内涵及与全等三角形SAS判定的联系与区别。1相似三角形SAS判定的形式化定义根据人教版九年级数学下册教材，相似三角形的SAS判定定理表述为：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。”符号语言可表示为：在△ABC和△DEF中，若$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$，且∠A=∠D，则△ABC∽△DEF（SAS）。这里需注意三个核心要素：“两边成比例”：两组对应边的长度比相等；“夹角相等”：两组对应边所夹的角必须相等；“对应性”：成比例的两边与相等的夹角需严格对应（即夹角是两组边的公共角）。2与全等三角形SAS判定的联系与区别全等三角形的SAS判定是“两边及其夹角分别相等”，而相似三角形的SAS判定是“两边成比例且夹角相等”。二者的本质区别在于：全等是相似的特殊情况（相似比为1），相似则是全等的一般化扩展。这种从“相等”到“成比例”的跨越，体现了几何研究从“全等”到“相似”的思维升级——不再局限于图形的完全重合，而是关注形状的一致性。例如，若△ABC与△DEF满足AB=2DE，AC=2DF，且∠A=∠D，则△ABC与△DEF不仅相似（相似比2:1），若进一步AB=DE，AC=DF，则退化为全等（相似比1:1）。这一联系能帮助我们更深刻理解相似的本质是“形状相同，大小不一定相同”。3关键易错点预判在教学实践中，学生初次接触SAS判定时，常出现以下误区：混淆“夹角”与“非夹角”：例如，已知$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$，但误用∠B=∠E（实际应为∠B是AB与BC的夹角，若DE与EF的夹角是∠E，则此时夹角对应正确；若题目中给出的角是∠A或∠F，则可能不对应）；比例顺序错误：如将$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$错误写为$\frac{AB}{DF}=\frac{AC}{DE}$，导致比例不对应；忽略“对应性”：未明确两组边的对应关系，直接默认所有边成比例，而不验证夹角是否为对应角。3关键易错点预判这些误区的根源在于对“对应”二字的理解不深刻，后续例题中将通过具体案例强化这一要点。02典型例题剖析：从基础到进阶的应用逻辑典型例题剖析：从基础到进阶的应用逻辑为帮助大家掌握SAS判定的应用步骤，我将例题分为“基础验证型”“隐含条件挖掘型”“实际应用型”三类，逐步提升思维难度。1基础验证型例题：直接应用SAS条件例1：如图1，在△ABC和△ADE中，已知AB=3，AD=6，AC=2，AE=4，∠BAC=∠DAE=45。求证：△ABC∽△ADE。分析步骤：（1）验证两边成比例：计算$\frac{AB}{AD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{AE}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，故$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$；（2）验证夹角相等：题目明确给出∠BAC=∠DAE=45，且∠BAC是AB与AC的夹角，∠DAE是AD与AE的夹角，符合“夹角对应”；1基础验证型例题：直接应用SAS条件（3）结论：根据SAS判定，△ABC∽△ADE（相似比1:2）。教学提示：此题是SAS判定的直接应用，重点在于引导学生规范书写“比例验证”与“夹角验证”的步骤，避免跳步导致逻辑不严谨。我在课堂上常要求学生用不同颜色笔标注对应边和夹角，强化“对应性”的视觉记忆。2隐含条件挖掘型例题：需推导夹角或比例例2：如图2，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE交AC于点F。求证：△AFE∽△CFB。分析步骤：（1）寻找成比例的两边：由平行四边形性质，AD∥BC且AD=BC，E是AD中点，故AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC；由AD∥BC，可得△AFE∽△CFB（预备定理），但此处需用SAS证明，因此需计算边的比例：考虑AF与CF的比例：由平行线分线段成比例，$\frac{AF}{CF}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$；2隐含条件挖掘型例题：需推导夹角或比例同理，FE与FB的比例：$\frac{FE}{FB}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$；（2）验证夹角相等：∠AFE与∠CFB是对顶角，故∠AFE=∠CFB；（3）结论：$\frac{AF}{CF}=\frac{FE}{FB}=\frac{1}{2}$，且∠AFE=∠CFB，因此△AFE∽△CFB（SAS）。教学提示：此题的难点在于隐含了“对顶角相等”和“平行四边形对边相等”的条件，需学生主动挖掘图形中的几何性质。我在教学中会引导学生先观察图形中的特殊结构（如平行四边形、中点），再逆向推导所需的比例和角，这是解决复杂几何题的关键思维。3实际应用型例题：测量问题中的SAS建模例3：如图3，为测量学校旗杆的高度，小明在旗杆前平地上放置一根高1.5米的标杆，当他站在离标杆2米、离旗杆18米的位置时，眼睛恰好同时看到标杆顶端和旗杆顶端（三点共线）。已知小明眼睛离地面高度为1.6米，求旗杆的高度。分析步骤：（1）构建几何模型：设小明眼睛为点E，标杆顶端为点A，标杆底部为点B，旗杆顶端为点C，旗杆底部为点D，地面为直线BD；则EB=2米，ED=18米，AB=1.5米（标杆高），小明眼睛高度EF=1.6米，故标杆顶端到眼睛的垂直距离为AB-EF=1.5-1.6=-0.1米（实际应为EF-AB=0.1米，此处需注意方向），旗杆顶端到眼睛的垂直距离为CD-EF（CD为旗杆高度）。3实际应用型例题：测量问题中的SAS建模（2）应用相似三角形：由三点共线（E、A、C共线），可得△EAB∽△ECD（需验证SAS条件）；计算水平距离比例：$\frac{EB}{ED}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$；垂直距离比例：$\frac{EA垂直}{EC垂直}=\frac{EF-AB}{CD-EF}=\frac{1.6-1.5}{CD-1.6}=\frac{0.1}{CD-1.6}$；因△EAB∽△ECD（SAS），故水平比例等于垂直比例，即$\frac{1}{9}=\frac{0.1}{CD-1.6}$；（3）求解：解得CD-1.6=0.9，故CD=2.5米？（此处明显错误，3实际应用型例题：测量问题中的SAS建模需重新检查模型）修正说明：实际建模中，标杆和旗杆均垂直于地面，因此△EAB和△ECD应为“视线路径”形成的三角形，其中EA和EC为视线，AB和CD为垂直高度。正确的相似条件应为：水平距离：EB=2米（小明到标杆的水平距离），BD=18-2=16米（标杆到旗杆的水平距离），故ED=EB+BD=2+16=18米；垂直方向：标杆高度AB=1.5米，旗杆高度CD=h米，小明眼睛高度EF=1.6米，因此从眼睛到标杆顶端的垂直差为AB-EF=1.5-1.6=-0.1米（实际应为EF到标杆顶端的垂直距离为AB-(EF-地面高度)，可能更简单的方式是将眼睛视为点E，标杆底部B到E的水平距离为2米，3实际应用型例题：测量问题中的SAS建模标杆顶端A的坐标为(Bx,By+1.5)，E的坐标为(Bx-2,By+1.6)，旗杆底部D的坐标为(Bx+16,By)，旗杆顶端C的坐标为(Bx+16,By+h)。因E、A、C共线，斜率相等：$\frac{(By+1.5)-(By+1.6)}{Bx-(Bx-2)}=\frac{(By+h)-(By+1.6)}{(Bx+16)-(Bx-2)}$化简得：$\frac{-0.1}{2}=\frac{h-1.6}{18}$，解得h-1.6=-0.9，h=0.7米（显然不合理，说明模型错误）。3实际应用型例题：测量问题中的SAS建模正确模型：问题出在“三点共线”的理解，实际应为眼睛E、标杆顶端A、旗杆顶端C在同一直线上，且标杆和旗杆均垂直于地面，因此△EAF∽△ECG（F、G为E在地面的投影）。设E的投影为F，标杆底部为B，旗杆底部为D，则FB=2米，FD=18米，AB=1.5米（标杆高），CD=h米（旗杆高），EF=1.6米（眼睛高度）。则AF=AB-EF=1.5-1.6=-0.1米（应为EF-AB=0.1米，即A在E下方0.1米），CG=CD-EF=h-1.6米（C在E上方h-1.6米）。因E、A、C共线，故$\frac{AF}{FB}=\frac{CG}{FD}$（相似三角形对应边成比例），即$\frac{0.1}{2}=\frac{h-1.6}{18}$，解得h-1.6=0.9，h=2.5米。但实际旗杆不可能只有2.5米，说明小明的位置描述可能有误（离标杆2米，离旗杆18米，意味着标杆离旗杆16米），若旗杆高度合理，可能我的计算无误，或题目数据需调整。3实际应用型例题：测量问题中的SAS建模教学提示：实际问题中，建模是关键。学生需明确“哪些线段对应相似三角形的边”，并正确找到成比例的两边及夹角（此处夹角为直角，因标杆和旗杆均垂直地面，故两个三角形均为直角三角形，夹角为直角，满足SAS条件）。此例能让学生深刻体会数学知识在实际测量中的应用价值，增强学习动机。03应用技巧与思维提升：从“解题”到“用题”应用技巧与思维提升：从“解题”到“用题”掌握SAS判定的关键，不仅是会解例题，更要形成“条件分析—模型构建—逻辑验证”的思维链条。以下是我总结的三点应用技巧：1明确“对应”是核心相似三角形的所有判定条件都强调“对应”，SAS也不例外。在解题时，应先通过图形或已知条件明确哪两组边是“对应边”，它们的夹角是否为“对应角”。例如，若题目中给出$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$，则对应边为AB与DE、AC与DF，夹角必为∠A与∠D；若给出$\frac{AB}{DF}=\frac{AC}{DE}$，则对应边变为AB与DF、AC与DE，夹角应为∠A与∠D（需验证是否相等）。2挖掘“隐含条件”是关键几何题中，“夹角相等”可能通过以下方式隐含：1公共角（如两个三角形共享一个角）；2对顶角（如例2中的∠AFE与∠CFB）；3平行线的同位角或内错角（如平行四边形对边平行，产生相等的角）；4角平分线（平分后的角相等）；5垂直关系（直角相等）。6教学中，我常让学生用“角标记法”（如用∠1、∠2标注相等的角）辅助分析，避免遗漏隐含角。73比例计算需“有序”计算两边比例时，需严格按照“对应边顺序”。例如，若△ABC∽△DEF，则$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$，顺序不可颠倒。在实际解题中，可通过“先定对应顶点”的方式避免错误：若已知∠A=∠D，则顶点A对应D，B对应E，C对应F，从而确定边的对应关系（AB对应DE，AC对应DF，BC对应EF）。04总结与升华：SAS判定的核心价值与学习启示总结与升华：SAS判定的核心价值与学习启示回顾本次课件内容，相似三角形SAS判定的核心可概括为：“两边成比例（对应），夹角相等（对应）”。其价值不仅在于解决几何证明题，更在于培养学生“从形状一致性”出发分析问题的能力——这种能力是后续学习三角函数、解析几何，乃至物理中力的分解、光学反射等内容的基础。01作为教师，我常提醒学生：数学知识的学习不是孤立的记忆，而是“理解本质—掌握方法—应用迁移”的过程。SAS判定的学习亦是如此：只有真正理解“成比例”与