2025 九年级数学下册相似三角形位似图形缩小后坐标计算课件

一、从相似到位似：概念的递进与核心特征演讲人01从相似到位似：概念的递进与核心特征02缩小位似图形的坐标计算：核心公式与推导03缩小位似图形坐标计算的易错点与应对策略04从课堂到生活：位似图形缩小的实际应用与拓展05总结与升华：位似坐标计算的核心思想目录2025九年级数学下册相似三角形位似图形缩小后坐标计算课件各位同学、老师们：今天我们要共同探讨的内容，是九年级数学下册中“相似三角形与位似图形”单元的核心难点之一——位似图形缩小后坐标的计算。作为相似图形的特殊形式，位似图形在生活中有着广泛的应用（如地图缩放、建筑图纸比例设计），而缩小后坐标的精准计算，既是对相似三角形性质的深化应用，也是培养我们空间想象能力与坐标运算能力的关键环节。接下来，我将结合多年教学实践中的观察与思考，带领大家由浅入深、循序渐进地展开学习。01从相似到位似：概念的递进与核心特征从相似到位似：概念的递进与核心特征要理解位似图形缩小后的坐标计算，首先需要明确“位似”与“相似”的联系与区别。1位似图形的定义与本质位似图形是相似图形的特殊情形。根据教材定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，相似比又叫做位似比。这里的“特殊”体现在两点：共点性：所有对应顶点的连线必过同一点（位似中心），这是位似图形区别于一般相似图形的核心特征；方向性：对应边要么平行，要么共线，因此位似图形的位置关系是“辐射状”的，由位似中心向外（或向内）延伸。举个生活中的例子：用放大镜看报纸时，放大后的字与原字是位似图形，放大镜的中心点（或虚拟的中心点）即位似中心；而地图上的城市位置与实际城市位置，也是典型的位似图形，比例尺即为位似比。2位似与相似的联系与区别为了避免混淆，我们可以通过表格对比二者的关系：|特征|相似图形|位似图形||---------------|---------------------------|---------------------------||相似性|必须满足（对应角相等，对应边成比例）|必须满足（是相似的特殊情形）||位置关系|无特殊要求|对应顶点连线共点（位似中心）||对应边关系|无特殊要求|对应边平行或共线||坐标变换规律|无统一规律|可通过位似中心与位似比推导|通过对比可知，位似图形是“带位置约束的相似图形”，这种约束恰恰为我们计算坐标提供了关键依据。3位似比的符号与方向位似比（记为k）是位似图形中对应边的比值。需要注意：当k>1时，位似图形是原图形的放大；当0<k<1时，是原图形的缩小；位似比的符号隐含了位似图形的方向：若位似中心在两图形之间（即对应点在位似中心两侧），则k为负；若位似中心在两图形同侧（对应点在位似中心同侧），则k为正（九年级阶段通常研究k>0的情形）。例如，若原图形与缩小后的图形在位似中心同侧，且位似比为1/2，则缩小后的图形各顶点到中心的距离是原顶点的1/2；若在异侧，则距离为原顶点的1/2，但方向相反（坐标符号可能改变）。02缩小位似图形的坐标计算：核心公式与推导缩小位似图形的坐标计算：核心公式与推导掌握了位似图形的基本概念后，我们需要解决核心问题：已知原图形各顶点坐标、位似中心坐标及位似比（0<k<1），如何计算缩小后的图形顶点坐标？1位似中心在坐标原点的情形这是最基础的情况，也是考试中最常见的考点。1位似中心在坐标原点的情形1.1公式推导假设位似中心为坐标原点O(0,0)，原图形的一个顶点为P(x,y)，缩小后的对应顶点为P’(x’,y’)，位似比为k（0<k<1）。根据位似图形的定义，OP’=kOP（向量关系），且P’在射线OP上（因为k>0，方向相同）。因此：横坐标：x’=kx纵坐标：y’=ky结论：当位似中心在原点时，缩小后的顶点坐标为原坐标的k倍，即P’(kx,ky)。1位似中心在坐标原点的情形1.2典型例题验证例1：已知△ABC的顶点坐标为A(4,6)、B(8,2)、C(2,-4)，以原点O为位似中心，位似比k=1/2缩小，求缩小后的△A’B’C’的顶点坐标。解：根据公式，直接计算各顶点坐标：A’(4×1/2,6×1/2)=(2,3)B’(8×1/2,2×1/2)=(4,1)C’(2×1/2,-4×1/2)=(1,-2)验证：连接OA、OA’，OB、OB’，OC、OC’，可发现三条连线均过原点，且OA’=1/2OA，OB’=1/2OB，OC’=1/2OC，符合位似图形定义。2位似中心不在坐标原点的情形实际问题中，位似中心往往不在原点（如地图的缩放中心可能是某个城市，而非坐标原点），此时需要更复杂的坐标变换。2位似中心不在坐标原点的情形2.1公式推导设位似中心为点H(h,j)，原图形顶点为P(x,y)，缩小后的对应顶点为P’(x’,y’)，位似比为k（0<k<1）。根据位似图形的性质，向量HP’=k向量HP（因为P’在HP连线上，且HP’=kHP）。向量HP的坐标为(x-h,y-j)，因此向量HP’的坐标为k(x-h,y-j)=(k(x-h),k(y-j))。而P’的坐标=H的坐标+向量HP’的坐标，即：x’=h+k(x-h)y’=j+k(y-j)结论：当位似中心为H(h,j)时，缩小后的顶点坐标公式为：2位似中心不在坐标原点的情形2.1公式推导[x’=h+k(x-h)][y’=j+k(y-j)]2位似中心不在坐标原点的情形2.2公式的直观理解上述公式可变形为：[x’=kx+(1-k)h][y’=ky+(1-k)j]这表明，缩小后的坐标是原坐标与位似中心坐标的加权平均，权重分别为k（原坐标）和(1-k)（位似中心坐标）。当k=1时，x’=x、y’=y（图形不变）；当k=0时，x’=h、y’=j（所有顶点收缩到位似中心），这符合缩小过程的直观认知。2位似中心不在坐标原点的情形2.3典型例题解析例2：如图（假设课件中配有示意图），四边形DEFG的顶点坐标为D(1,3)、E(5,5)、F(7,1)、G(3,-1)，位似中心为H(2,2)，位似比k=1/3，求缩小后的四边形D’E’F’G’的顶点坐标。解：应用公式计算各顶点：D’：x’=2+(1/3)(1-2)=2-1/3=5/3；y’=2+(1/3)(3-2)=2+1/3=7/3→D’(5/3,7/3)E’：x’=2+(1/3)(5-2)=2+1=3；y’=2+(1/3)(5-2)=2+1=3→E’(3,3)2位似中心不在坐标原点的情形2.3典型例题解析F’：x’=2+(1/3)(7-2)=2+5/3=11/3；y’=2+(1/3)(1-2)=2-1/3=5/3→F’(11/3,5/3)G’：x’=2+(1/3)(3-2)=2+1/3=7/3；y’=2+(1/3)(-1-2)=2-1=1→G’(7/3,1)验证：连接HD与HD’，计算HD的长度：√[(1-2)²+(3-2)²]=√2；HD’的长度：√[(5/3-2)²+(7/3-2)²]=√[(-1/3)²+(1/3)²]=√(2/9)=√2/3，确实等于kHD（1/3×√2），符合位似比要求。03缩小位似图形坐标计算的易错点与应对策略缩小位似图形坐标计算的易错点与应对策略在教学实践中，我发现学生在计算缩小位似图形坐标时，容易出现以下几类错误，需要重点关注：1位似比的方向混淆错误表现：将“原图形到缩小图形的位似比”与“缩小图形到原图形的位似比”颠倒。例如，原图形边长为6，缩小后为3，正确位似比k=1/2，但部分学生误算为k=2。应对策略：明确位似比的定义是“缩小图形的对应边长度÷原图形的对应边长度”（或“对应顶点到位似中心的距离之比”）。可通过“前项是结果，后项是原”的口诀记忆：k=缩小后长度/原长度。2位似中心不在原点时的公式误用错误表现：直接套用原点位似的公式（x’=kx,y’=ky），忽略位似中心的偏移量。例如，位似中心为(2,2)时，将P(4,6)的缩小坐标错误计算为(4×1/2,6×1/2)=(2,3)，而正确结果应为(2+1/2×(4-2),2+1/2×(6-2))=(3,4)。应对策略：牢记非原点位似的坐标公式本质是“先平移坐标系至位似中心，再缩放，最后平移回原坐标系”。可分解为三步：将原坐标P(x,y)减去位似中心H(h,j)，得到相对坐标(x-h,y-j)；对相对坐标缩放k倍，得到(k(x-h),k(y-j))；将缩放后的相对坐标加回位似中心H(h,j)，得到最终坐标(h+k(x-h),j+k(y-j))。3符号错误（位似中心在异侧时）错误表现：当位似中心在原图形与缩小图形之间（即对应点在位似中心两侧）时，位似比k应为负数，但学生可能忽略符号，导致坐标符号错误。应对策略：九年级阶段虽以k>0为主，但可通过简单例子渗透符号规则。例如，若位似中心H(0,0)，原顶点P(4,6)，位似比k=-1/2（异侧缩小），则P’坐标为(-2,-3)，此时OP’的长度是OP的1/2，但方向相反。4图形整体缩小的验证缺失STEP1STEP2STEP3STEP4错误表现：计算完所有顶点坐标后，未验证是否满足“对应边平行”或“对应顶点连线共点”的位似性质，导致因计算失误得到非位似图形。应对策略：完成坐标计算后，至少选择两组对应顶点验证：验证对应顶点连线是否经过位似中心（如计算直线P’P是否经过H）；验证对应边的斜率是否相等（如计算AB与A’B’的斜率是否相等，确认平行）。04从课堂到生活：位似图形缩小的实际应用与拓展从课堂到生活：位似图形缩小的实际应用与拓展位似图形缩小的坐标计算不仅是数学问题，更是解决实际问题的工具。以下是几个典型应用场景：1地图与导航中的比例缩放地图是现实地理的位似缩小图形，比例尺即为位似比，地图的中心点（如城市广场）即位似中心。通过坐标计算，我们可以将实际地点的经纬度转换为地图上的坐标，或反向推算实际距离。2建筑图纸的设计建筑图纸中，平面图是实际建筑的位似缩小图形。设计师通过确定位似中心（如图纸的某一角）和比例尺（位似比），将实际建筑的长、宽、高等参数转换为图纸上的坐标，方便施工人员理解。3数字图像处理在PhotoShop等软件中，“缩放”功能本质上是对位似变换的应用。用户选择缩放中心（即位似中心）和缩放比例（位似比），软件即可自动计算每个像素点的新坐标，生成缩小后的图像。05总结与升华：位似坐标计算的核心思想总结与升华：位似坐标计算的核心思想回顾本节课的学习，我们从位似图形的概念出发，逐步推导了缩小后坐标的计算方法，并通过例题与易错点分析深化了理解。核心要点可总结为：位似的本质：带位置约束的相似图形，关键特征是对应顶点连线共点（位似中心）、对应边平行；坐标计算的关键：根据位似中心位置选择公式——原点位似直接缩放坐标，非原点位似需结合位似中心坐标进行平移-缩放-平移变换；应用的核心：通过坐标计算将抽象的几何关系转化为具体的数值运算，体现了“数形结合”的数学思想。同学们，位似图形缩小的坐标计算，既是对相似三角