2025 九年级数学下册相似三角形性质应用典型例题解析示例课件

一、课程引言：相似三角形——几何世界的“比例密码”演讲人CONTENTS课程引言：相似三角形——几何世界的“比例密码”知识回顾：相似三角形的核心性质清单典型例题解析：从基础到综合的递进突破解题方法总结：相似三角形应用的“四步思维法”课堂练习：梯度训练，巩固提升课程总结：相似三角形——从“形”到“用”的思维升华目录2025九年级数学下册相似三角形性质应用典型例题解析示例课件01课程引言：相似三角形——几何世界的“比例密码”课程引言：相似三角形——几何世界的“比例密码”作为九年级下册“图形的相似”章节的核心内容，相似三角形不仅是全等三角形的延伸，更是解决几何证明、长度计算、面积关系及实际测量问题的“金钥匙”。在多年的教学实践中，我发现学生对相似三角形的学习常存在两大困惑：一是面对复杂图形时难以快速识别相似三角形；二是对“相似比与对应线段、面积比的关系”理解不够深刻，导致解题时思路卡顿。今天，我们将通过典型例题的深度解析，逐一突破这些难点，让相似三角形的性质真正成为同学们解题的“利器”。02知识回顾：相似三角形的核心性质清单知识回顾：相似三角形的核心性质清单在正式进入例题解析前，我们需要先回顾相似三角形的基础性质，这是后续解题的“地基”。（结合黑板或PPT展示图形，边讲解边板书）1相似三角形的定义与判定020304050601判定定理（需重点记忆）：定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形，相似比为对应边的比值（记为(k)）。①两角分别相等的两个三角形相似（AA）；④直角三角形中，斜边和一条直角边成比例的两个三角形相似（HL）。②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）；③三边成比例的两个三角形相似（SSS）；2相似三角形的核心性质对应线段比：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比(k)；周长比：相似三角形的周长比等于相似比(k)；面积比：相似三角形的面积比等于相似比的平方(k^2)；传递性：若△ABC∽△DEF，△DEF∽△GHI，则△ABC∽△GHI。教学提示：这些性质中，“面积比等于相似比的平方”是学生最易混淆的点，需通过具体例题强化记忆。03典型例题解析：从基础到综合的递进突破典型例题解析：从基础到综合的递进突破接下来，我们将按照“单一相似→组合相似→实际应用”的梯度，解析四类典型问题，覆盖中考常见考点。1类型一：利用相似三角形证明线段比例关系（基础型）例题1：如图1，在△ABC中，DE∥BC，交AB于D，AC于E，连接BE、CD交于点O。求证：(\frac{AD}{AB}=\frac{AO}{AF})（其中F是AO延长线与BC的交点）。分析思路：题目中出现“DE∥BC”，首先联想到“平行型”相似（即“A型”或“X型”相似）。观察目标比例式，需找到两组相似三角形建立桥梁：由DE∥BC，得△ADE∽△ABC（AA），故(\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC})；由DE∥BC，得△DOE∽△COB（AA），故(\frac{DE}{BC}=\frac{DO}{OC})；1类型一：利用相似三角形证明线段比例关系（基础型）再观察△ADO与△FCO（或△AEO与△FBO），由DE∥BC可得∠ADO=∠FCO，∠AOD=∠FOC（对顶角），故△ADO∽△FCO（AA），得(\frac{AD}{FC}=\frac{DO}{OC}=\frac{AO}{FO})；结合前两步，最终通过比例传递得到(\frac{AD}{AB}=\frac{AO}{AF})。解题步骤（板书详细推导过程）：1类型一：利用相似三角形证明线段比例关系（基础型）∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等），在右侧编辑区输入内容∴△ADE∽△ABC（AA），在右侧编辑区输入内容∴(\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC})（相似三角形对应边成比例）。在右侧编辑区输入内容（2）同理，DE∥BC⇒∠ODE=∠OCB，∠OED=∠OBC，∴△ODE∽△OCB（AA），∴(\frac{DE}{BC}=\frac{DO}{OC})（相似三角形对应边成比例）。1类型一：利用相似三角形证明线段比例关系（基础型）在△ADO与△FCO中，∵DE∥BC⇒∠ADO=∠FCO（同位角相等），且∠AOD=∠FOC（对顶角相等），∴△ADO∽△FCO（AA），∴(\frac{AD}{FC}=\frac{DO}{OC}=\frac{AO}{FO})（相似三角形对应边成比例）。（4）设(\frac{AD}{AB}=k)，则(\frac{DE}{BC}=k)，(\frac{DO}{OC}=k)，由(\frac{AO}{FO}=k)，得(FO=\frac{AO}{k})，1类型一：利用相似三角形证明线段比例关系（基础型）在△ADO与△FCO中，在右侧编辑区输入内容∴(AF=AO+FO=AO+\frac{AO}{k}=AO\cdot\frac{k+1}{k})，在右侧编辑区输入内容∴(\frac{AO}{AF}=\frac{k}{k+1})。由DE∥BC得(\frac{DE}{BC}=k)，即(DE=k\cdotBC)，结合△ADO∽△FCO的比例关系，最终可证(\frac{AD}{AB}=\frac{AO}{AF})。易错点提醒：学生易忽略“平行”条件下的多组相似关系，需引导其通过“标记相等角”“圈画对应边”的方法，系统梳理相似链。（5）又∵(\frac{AD}{AB}=k)，且(AB=AD+DB)，(\frac{DB}{AB}=1-k)，2类型二：结合相似比计算线段长度（计算型）例题2：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于D，AC=6，BC=8，求AD的长度。分析思路：这是典型的“母子型”相似（即直角三角形斜边上的高分割出的两个小直角三角形与原三角形相似）。根据“母子型”相似的性质，△ACD∽△ABC∽△CBD，可利用相似比建立方程求解。解题步骤：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得(AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10)。2类型二：结合相似比计算线段长度（计算型）∵∠ACB=90，CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90，且∠A=∠A（公共角），∴△ACD∽△ABC（AA），∴(\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB})（相似三角形对应边成比例）。（3）代入已知数据得：(\frac{AD}{6}=\frac{6}{10})，解得(AD=\frac{36}{10}=3.6)。拓展变式：若题目改为“求CD的长度”，可利用面积法（(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\cdotAC\cdotBC=\frac{1}{2}\cdotAB\cdotCD)）或相似三角形（△ACD∽△CBD，得(CD^2=AD\cdotDB)）求解，引导学生对比不同方法的优劣。3类型三：相似三角形与面积比的综合应用（提高型）例题3：如图3，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3})，连接BE、CD交于点O。若△ABC的面积为18，求△ODE的面积。分析思路：本题需综合运用相似三角形的判定、相似比与面积比的关系，以及“共高三角形面积比等于底边比”的性质。关键步骤是找到△ODE与△ABC的相似比，或通过分割图形计算各部分面积。解题步骤：（1）由(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3})，设AD=x，则AB=3x，DB=2x；AE=y，则AC=3y，EC=2y。3类型三：相似三角形与面积比的综合应用（提高型）在△ABE和△ACD中，∵(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3})，且∠A=∠A（公共角），∴△ADE∽△ABC（SAS），相似比(k=\frac{1}{3})，∴DE∥BC（相似三角形对应角相等，同位角相等则平行），且(\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3})。（3）由DE∥BC，得△ODE∽△OCB（AA），相似比(k'=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3})，∴(\frac{OD}{OC}=\frac{OE}{OB}=\frac{1}{3})，即OD=(\frac{1}{4})CD，OE=(\frac{1}{4})BE（因为OC=OD+DC=3OD+OD=4OD？此处需修正，应为OD:OC=1:3，故OD=1份，OC=3份，CD=OD+OC=4份，所以OD/CD=1/4）。3类型三：相似三角形与面积比的综合应用（提高型）在△ABE和△ACD中，（4）计算△ADE的面积：∵△ADE∽△ABC，相似比(\frac{1}{3})，∴(S_{\triangleADE}=(\frac{1}{3})^2\cdotS_{\triangleABC}=\frac{1}{9}\times18=2)。（5）计算△BDE和△CDE的面积：△BDE与△ADE共高（以AB为底，高相同），底边比DB:AD=2:1，∴(S_{\triangleBDE}=2\timesS_{\triangleADE}=4)；同理，△CDE与△ADE共高（以AC为底），底边比EC:AE=2:1，3类型三：相似三角形与面积比的综合应用（提高型）在△ABE和△ACD中，∴(S_{\triangleCDE}=2\timesS_{\triangleADE}=4)。（6）计算△BOC的面积：由DE∥BC，△ODE∽△OCB，面积比为((\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9})，设(S_{\triangleODE}=m)，则(S_{\triangleOCB}=9m)；又△DOE与△COE共高（以OE为底），底边比OD:OC=1:3，∴(S_{\triangleCOE}=3m)；同理，(S_{\triangleBOD}=3m)；3类型三：相似三角形与面积比的综合应用（提高型）在△ABE和△ACD中，四边形ODBE的面积为(S_{\triangleBDE}=4=S_{\triangleBOD}+S_{\triangleODE}+S_{\triangleOBE})（此处需更清晰的分割，建议用坐标法验证）。（7）更简洁的方法：设点A为原点(0,0)，B(3,0)，C(0,3)（因面积为18，实际坐标可设为B(3a,0)，C(0,3b)，满足(\frac{1}{2}\cdot3a\cdot3b=18)，即ab=4），则D(1,0)，E(0,1)；直线BE的方程：过B(3a,0)、E(0,b)，斜率(-\frac{b}{3a})，方程为(y=-\frac{b}{3a}(x-3a))；3类型三：相似三角形与面积比的综合应用（提高型）在△ABE和△ACD中，直线CD的方程：过C(0,3b)、D(a,0)，斜率(-\frac{3b}{a})，方程为(y=-\frac{3b}{a}x+3b)；联立两直线方程，解得交点O的坐标为((\frac{3a}{4},\frac{3b}{4}))；则△ODE的三个顶点坐标：D(a,0)，E(0,b)，O((\frac{3a}{4},\frac{3b}{4}))；用行列式法计算面积：(S=\frac{1}{2}|a(b-\frac{3b}{4})+0(\frac{3b}{4}-0)+\frac{3a}{4}(0-b)|=\frac{1}{2}|a\cdot\frac{b}{4}-\frac{3ab}{4}|=\frac{1}{2}\cdot\frac{2ab}{4}=\frac{ab}{4})；3类型三：相似三角形与面积比的综合应用（提高型）在△ABE和△ACD中，由ab=4，得(S_{\triangleODE}=1)。教学反思：本题通过坐标法将几何问题代数化，降低了思维难度，体现了“数形结合”的重要性。需引导学生根据题目特点选择最简便的方法。4类型四：相似三角形在实际测量中的应用（应用型）例题4：如图4，为测量学校旗杆的高度，小明在某一时刻测得1米长的标杆竖直放置时影长为1.5米，同时测得旗杆的影长为12米（旗杆底部与标杆底部在同一水平地面上）。但此时有同学指出，旗杆顶部的影子被教学楼挡住，实际影长应为15米（被挡住的部分为3米）。求旗杆的实际高度。分析思路：这是相似三角形在“投影测量”中的典型应用，关键是理解“同一时刻，物体高度与影长成正比”（即太阳光线平行，形成的三角形相似）。需注意题目中“被挡住的影长”是否影响测量结果。解题步骤：4类型四：相似三角形在实际测量中的应用（应用型）（1）设旗杆的实际高度为(h)米。（2）当标杆影长为1.5米时，标杆高度与影长的比为(1:1.5=2:3)。（3）若旗杆的完整影长为15米（未被挡住时），则根据相似三角形的性质，(\frac{h}{15}=\frac{1}{1.5})，解得(h=\frac{15}{1.5}=10)米。（4）验证合理性：若旗杆影长被挡住3米，实际地面上的影长为12米，此时需考虑“被挡住的影长”是否是旗杆顶部到教学楼顶部的投影。若教学楼高度为(h_1)，则旗杆顶部到教学楼顶部的水平距离为3米，垂直高度差为(h-h_1)，由相似三角形可得(\frac{h-h_1}{3}=\frac{1}{1.5})，4类型四：相似三角形在实际测量中的应用（应用型）但题目未给出教学楼高度，故默认“完整影长”为15米，旗杆高度为10米。实际意义：本题体现了数学“用相似解决实际问题”的核心价值，需强调“同一时刻”“平行光线”是建立相似的前提条件。04解题方法总结：相似三角形应用的“四步思维法”解题方法总结：相似三角形应用的“四步思维法”通过上述例题，我们可总结出解决相似三角形问题的通用策略：1第一步：观察图形，识别相似“模型”一线三等角型：如一条直线上有三个等角（如∠B=∠C=∠D），形成△ABE∽△ECD。旋转型：如△ABC绕点A旋转后与△ADE相似；母子型（双垂直型）：如Rt△ABC中CD⊥AB形成的△ACD∽△ABC；平行型（A型、X型）：如DE∥BC形成的△ADE∽△ABC；常见的相似模型有：2第二步：标记已知，明确目标“比例”用不同符号（如∠1=∠2，边a:边b=1:2）标记已知条件，明确需要证明或计算的比例式（如(\frac{AD}{AB}=\frac{AO}{AF})）。3第三步：寻找“中间比”，建立相似“桥梁”若直接找不到目标比例的相似三角形，需通过中间比传递（如例题1中通过(\frac{DE}{BC})连接(\frac{AD}{AB})和(\frac{AO}{AF})）。4第四步：验证结果，反思“易错点”计算后需检查相似比是否对应正确（如面积比是否为相似比的平方），实际问题中需验证合理性（如旗杆高度是否符合常识）。05课