2025 九年级数学下册相似三角形与位似图形综合应用题组示例课件

一、知识框架筑基：相似与位似的核心关联演讲人知识框架筑基：相似与位似的核心关联01易错点与突破策略：从“会做”到“做对”02题组示例解析：从基础到综合的能力进阶03总结与展望：相似与位似的数学价值04目录2025九年级数学下册相似三角形与位似图形综合应用题组示例课件作为深耕初中数学教学十余年的一线教师，我始终认为，几何模块的学习不仅是公式定理的记忆，更是逻辑思维与空间观念的培养。相似三角形与位似图形作为九年级下册几何单元的核心内容，既是全等三角形的延伸，又是后续学习三角函数、投影与视图的基础。今天，我将以“问题链”为载体，通过典型题组的拆解与重构，带大家系统梳理这一板块的知识脉络与应用逻辑。01知识框架筑基：相似与位似的核心关联知识框架筑基：相似与位似的核心关联在展开应用题组前，我们需要先明确相似三角形与位似图形的本质联系与区别。这是解决综合问题的“底层代码”。1相似三角形的判定与性质网络相似三角形的学习，我常比喻为“搭积木”——先掌握判定条件（“积木块”），再利用性质解决问题（“搭结构”）。在右侧编辑区输入内容判定定理（从“形”到“数”的桥梁）：在右侧编辑区输入内容①平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所得三角形与原三角形相似（平行线分线段成比例的推论）；在右侧编辑区输入内容②两角分别相等的两个三角形相似（最常用的“两角法”，需注意“对应角”的顺序）；在右侧编辑区输入内容③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（“SAS相似”，易与全等混淆，需强调“夹角”而非任意角）；在右侧编辑区输入内容④三边成比例的两个三角形相似（“SSS相似”，计算量较大，适合验证型题目）。性质定理（从“相似比”到“量的关系”的延伸）：1相似三角形的判定与性质网络①对应角相等，对应边成比例（最基本性质，所有后续性质的基础）；②对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比（需注意“对应”二字，例如△ABC∽△DEF，AB对应DE，则AB边上的高与DE边上的高的比等于相似比）；③周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方（这是综合题中高频考点，学生常忘记“面积比是平方”，需重点强化）。2位似图形的特殊属性位似是相似的“特殊形态”，它不仅满足相似的所有性质，还增加了“对应点连线共点”的几何约束。定义：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点（位似中心），对应边互相平行（或共线），这样的相似图形叫做位似图形。性质：①位似中心是所有对应点连线的交点（可能在图形内部、外部或边上）；②位似比（相似比）等于对应点到位似中心的距离之比（例如，若位似中心为O，点A对应点A'，则OA'/OA=位似比）；③位似图形的对应边平行（或共线），这一性质常被用于构造平行线或证明平行关系。过渡：明确了理论框架后，我们需要将“知识”转化为“解决问题的工具”。接下来，我将通过四类典型题组，展示相似与位似在不同场景下的应用逻辑。02题组示例解析：从基础到综合的能力进阶1基础判定与性质题组——巩固核心概念这类题目侧重对判定定理与基本性质的直接应用，是后续综合题的“地基”。例1：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，∠ADE=∠C。（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）若AD=2，DB=4，求△ADE与△ACB的面积比。解析思路：（1）判定相似：观察已知条件，∠ADE=∠C（一组对应角相等），公共角∠A=∠A（另一组对应角相等），根据“两角分别相等”可证相似；（2）面积比计算：先求相似比。由AD=2，AB=AD+DB=6，得相似比为AD/1基础判定与性质题组——巩固核心概念AB=2/6=1/3；面积比为相似比的平方，即1/9。易错提醒：部分学生易将相似比误写为AD/DB=1/2，需强调相似比是“对应边的比”，本题中△ADE的边AD对应△ACB的边AC吗？不，对应边应是AD对应AC吗？不，正确的对应关系是：△ADE∽△ACB，所以AD对应AC，AE对应AB？不，这里需要明确对应顶点——由∠ADE=∠C，∠A=∠A，可知顶点对应为A→A，D→C，E→B，因此AD对应AC，AE对应AB，DE对应CB。因此相似比应为AD/AC？不，题目中AD=2，AB=6，但AC的长度未知。哦，这里我犯了一个错误——其实，在∠ADE=∠C的情况下，顶点对应应为A→A，D→C，E→B，所以AD对应AC，AE对应AB，DE对应CB。但题目中给出的是AD和DB的长度，AB=AD+DB=6，所以AD=2，AB=6，那么AD/AB=2/6=1/3，1基础判定与性质题组——巩固核心概念但AD对应的是AC吗？不，正确的对应边应该是AD对应AC吗？不，应该是AD对应AC吗？不，可能我混淆了。实际上，在△ADE和△ACB中，∠A是公共角，∠ADE=∠C，所以根据“两角对应相等”，对应顶点是A→A，D→C，E→B，因此AD对应AC，AE对应AB，DE对应CB。所以相似比是AD/AC，但题目中没有给出AC的长度，这说明我的分析有误。正确的对应关系应该是：∠ADE=∠C，所以∠ADE对应∠C，∠A对应∠A，因此△ADE的顶点顺序是A-D-E，对应△ACB的顶点顺序是A-C-B，所以AD对应AC，DE对应CB，AE对应AB。因此，相似比是AD/AC=AE/AB=DE/CB。但题目中给出的是AD=2，DB=4，所以AB=6，而我们需要的是相似比，可能题目中的AD和AB是对应边吗？不，AD是△ADE的边，AB是△ACB的边吗？1基础判定与性质题组——巩固核心概念不，AB是△ACB的边吗？△ACB的边是AC、CB、AB，而△ADE的边是AD、DE、AE。所以正确的相似比应该是AD/AC=AE/AB=DE/CB。但题目中没有给出AC的长度，这说明我可能误解了题目。实际上，可能题目中的△ADE和△ACB的相似比可以通过AD和AB的关系来求，因为AD是AB的一部分，即AD=2，AB=6，所以AD/AB=1/3，但AD是否对应AB？不，AD对应的是AC，AB对应的是AE？这时候可能需要用平行线分线段成比例的思路。或者，可能题目中的∠ADE=∠C，所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行），因此根据“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似”，即△ADE∽△ABC（注意这里顶点对应是A-D-E对应A-B-C），所以相似比是AD/AB=2/6=1/3，面积比是1/9。1基础判定与性质题组——巩固核心概念哦，原来我之前顶点对应错了，正确的对应应该是DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，顶点A对应A，D对应B，E对应C，因此AD/AB=AE/AC=DE/BC，相似比是AD/AB=2/6=1/3，面积比1/9。这说明在判定相似时，正确确定对应顶点是关键，否则会导致相似比计算错误。例2：已知△ABC∽△DEF，相似比为3:2，△ABC的周长为24cm，面积为36cm²，求△DEF的周长和面积。解析思路：直接应用性质——周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。△DEF的周长=24×(2/3)=16cm；面积=36×(2/3)²=36×4/9=16cm²。1基础判定与性质题组——巩固核心概念教学反思：这类题目看似简单，但学生常因“相似比的方向”出错（如将△ABC与△DEF的相似比3:2误为△DEF与△ABC的比2:3）。教学中可强调“前项对应第一个三角形，后项对应第二个三角形”，并通过表格对比强化记忆。2位似作图与坐标变换题组——空间观念的培养位似图形常与坐标系结合，考查作图能力与坐标计算，这是中考的“热点题型”。例3：如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)、B(3,1)、C(2,4)，以原点O为位似中心，在第一象限内作△ABC的位似图形△A'B'C'，位似比为2:1。解析步骤：（1）确定位似中心O(0,0)，位似比k=2（△A'B'C'与△ABC的比为2:1，即放大）；（2）计算对应点坐标：位似图形中，若原图形点坐标为(x,y)，位似中心在原点，位似比为k，则对应点坐标为(kx,ky)（同侧位似）或(-kx,-ky)（异侧位似）。本题在第一象限，故取同侧；2位似作图与坐标变换题组——空间观念的培养（3）A'(1×2,2×2)=(2,4)，B'(3×2,1×2)=(6,2)，C'(2×2,4×2)=(4,8)；（4）连接A'B'、B'C'、C'A'，完成作图。变式延伸：若位似中心改为点A(1,2)，位似比为1:2，如何求△A'B'C'的坐标？此时需用向量法：设位似中心为P(x0,y0)，原顶点为Q(x,y)，位似比为k，则对应点Q'满足向量PQ'=k向量PQ，即Q'(x0+k(x-x0),y0+k(y-y0))。例如，B'的坐标为(1+0.5×(3-1),2+0.5×(1-2))=(1+1,2-0.5)=(2,1.5)。例4：如图，△A'B'C'是△ABC的位似图形，位似中心为点P。已知A(2,3)、A'(6,9)、B(1,1)，求点B'的坐标及位似比。解析思路：2位似作图与坐标变换题组——空间观念的培养（1）确定位似比：位似中心P在AA'的连线上，设P(x,y)，则向量PA'=k向量PA，即(6-x,9-y)=k(2-x,3-y)。由于位似图形中所有对应点连线过P，可通过A、A'坐标求P。观察A(2,3)到A'(6,9)，横纵坐标均扩大3倍，且方向相同，推测位似中心在原点？验证：若P(0,0)，则PA=(2,3)，PA'=(6,9)=3×(2,3)，符合k=3。此时B(1,1)的对应点B'应为(1×3,1×3)=(3,3)。教学价值：位似与坐标的结合，本质是“相似变换的代数表达”。通过此类题目，学生能直观感受“数”与“形”的统一，为高中学习位似变换矩阵奠定基础。3实际测量应用题组——数学与生活的联结相似三角形的核心应用之一是“间接测量”，这体现了“用数学解决实际问题”的课程理念。例5：小明想测量学校旗杆的高度，他在某一时刻测得1.5米高的标杆影长为2米，同时测得旗杆的影长为16米（如图）。假设标杆与旗杆均垂直于地面，求旗杆的高度。解析思路：（1）构建相似模型：太阳光线可视为平行光线，因此标杆、旗杆与其影长构成相似三角形；（2）设旗杆高为h米，根据相似三角形对应边成比例，得h/16=1.5/2；3实际测量应用题组——数学与生活的联结（3）解得h=12米。拓展追问：若此时小明的身高为1.6米，他站在旗杆旁，头顶的影子与旗杆顶端的影子重合，求小明到旗杆的距离。（提示：设小明到旗杆距离为x米，则(x+16)/h=x/1.6，结合h=12，解得x=32米）例6：如图，为测量河宽AB，测量员在河岸选取一点C，使得BC⊥AB，再在BC的延长线上取一点D，使得DC=BC，过D作DE⊥BC，交AC的延长线于E，测得DE=15米，求河宽AB。解析思路：（1）观察△ABC与△EDC：∠ABC=∠EDC=90，∠ACB=∠ECD（对顶角相等），故△ABC∽△EDC；3实际测量应用题组——数学与生活的联结（2）相似比为BC/DC=1（因DC=BC），故AB=DE=15米。教学启示：实际测量题的关键是“抽象几何模型”。教师需引导学生观察“平行光线”“垂直关系”等隐含条件，将实际问题转化为“相似三角形对应边成比例”的数学问题。4综合探究题组——思维深度的挑战这类题目融合相似、位似、函数、方程等多知识点，考查综合分析能力。例7：如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是AD上一动点（不与A、D重合），连接BE，作EF⊥BE交CD于F。（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）设AE=x，DF=y，求y与x的函数关系式；（3）是否存在点E，使得△BEF与△ABE位似？若存在，求x的值；若不存在，说明理由。解析（1）：4综合探究题组——思维深度的挑战∠A=∠D=90（矩形性质），∠ABE+∠AEB=90（直角三角形两锐角互余），又EF⊥BE，故∠DEF+∠AEB=90（平角为180，∠AEB+∠BEF+∠DEF=180，而∠BEF=90，故∠AEB+∠DEF=90），因此∠ABE=∠DEF（同角的余角相等），故△ABE∽△DEF（两角分别相等）。解析（2）：由△ABE∽△DEF，得AB/DE=AE/DF。AB=6，DE=AD-AE=8-x，AE=x，DF=y，故6/(8-x)=x/y，整理得y=(x(8-x))/6=(-x²+8x)/6。解析（3）：若△BEF与△ABE位似，则需满足：①相似；②对应点连线共点（位似中心）。4综合探究题组——思维深度的挑战首先，△BEF与△ABE相似的条件：△ABE中，∠A=90，AB=6，AE=x，BE=√(6²+x²)；△BEF中，∠BEF=90，BE=√(36+x²)，EF可由△DEF求得：DE=8-x，DF=y=(-x²+8x)/6，故EF=√(DE²+DF²)=√[(8-x)²+y²]；要使△BEF∽△ABE，需对应边成比例，且夹角相等。假设∠ABE=∠EBF（位似对应角），则可能的相似比为BE/AB=EF/AE或BE/AE=EF/AB。通过计算可得，当x=4时，y=(-16+32)/6=16/6=8/3，此时EF=√[(8-4)²+(8/3)²]=√(16+64/9)=√(208/9)=4√13/3；BE=√(36+16)=√52=2√13；AB=6，4综合探究题组——思维深度的挑战AE=4，BE/AB=2√13/6=√13/3，EF/AE=(4√13/3)/4=√13/3，故BE/AB=EF/AE，且∠ABE=∠EBF（可通过角度计算验证），因此△BEF∽△ABE，且对应点连线BE、BF、EF的延长线交于点B（位似中心），故存在这样的点E，x=4。教学意义：综合题的设计需“螺旋上升”，从单一知识点到多知识点融合，从“证明”到“存在性探究”，逐步培养学生的逻辑推理与创新思维。03易错点与突破策略：从“会做”到“做对”易错点与突破策略：从“会做”到“做对”在多年教学中，我总结了学生在相似与位似学习中的四大易错点，并针对性提出解决策略：1相似对应关系混乱表现：未正确确定相似三角形的对应顶点，导致相似比计算错误（如将△ABC∽△DEF误为△ABC∽△DFE）。对策：强调“对应角对应用对应边”，用符号“∽”时严格按顶点顺序书写，画图时用相同标记（如∠A=∠D标为“”，∠B=∠E标为“”）辅助对应。2位似中心位置判断错误表现：位似图形对应点连线未交于同一点，或误将非对应点连线作为位似中心的依据。对策：通过作图训练强化“任意两组对应点连线的交点即为位似中心”的性质，例如给出两组对应点A-A'、B-B'，作直线AA'、BB'，其交点即为位似中心