2025 七年级数学上册行程问题中的追及模型课件

一、开篇引入：从生活场景到数学模型的思维过渡演讲人01开篇引入：从生活场景到数学模型的思维过渡02追及模型的基础构建：定义、核心要素与公式推导03追及模型的解题步骤：从“审题”到“验证”的全流程04典型例题解析：从基础到变式的分层突破05学生易错点分析：从“常见错误”到“避错策略”06追及模型的实际应用：数学与生活的联结07总结与升华：追及模型的核心思想与学习启示目录2025七年级数学上册行程问题中的追及模型课件01开篇引入：从生活场景到数学模型的思维过渡开篇引入：从生活场景到数学模型的思维过渡作为一线数学教师，我常观察到学生在面对行程问题时，最常说的一句话是“看着题目像绕口令，理不清谁先谁后”。但当我们用生活中的具体场景去拆解时，问题往往会变得清晰。比如上周课间，小宇因为买早餐迟到，从教室出发追赶已经提前5分钟走向操场的体育委员，这个“追赶”的过程，就是数学中典型的“追及问题”。今天，我们就从这类熟悉的生活场景出发，系统学习行程问题中的追及模型。02追及模型的基础构建：定义、核心要素与公式推导1追及模型的定义：从“同方向运动”说起追及模型是行程问题中一类特殊的运动关系，其核心特征可概括为：两个运动主体（通常称为“追及者”与“被追及者”）沿同一方向运动，由于速度不同或出发时间/地点不同，最终追及者从后方追上被追及者的过程。与相遇问题（相向而行，距离逐渐缩短至0）不同，追及问题的关键在于“同向性”——两者初始可能存在距离差（不同地点出发）或时间差（同地点但不同时出发），但运动方向一致，最终通过速度差异完成追赶。2核心三要素：速度差、路程差与追及时间要解决追及问题，必须明确三个核心要素及其关系：（1）速度差：追及者速度（(v_快)）与被追及者速度（(v_慢)）的差值，即(速度差=v_快-v_慢)。这是追及过程中“缩短距离”的动力——每单位时间，追及者能比被追及者多走“速度差”的距离。（2）路程差：追及开始时，两者之间的初始距离（若同时不同地出发），或因出发时间差导致的距离（若同地不同时出发）。例如：甲先出发2分钟，速度为50米/分钟，则乙开始追及时，路程差为(50\times2=100)米。（3）追及时间：从追及开始到追上所用的时间（(t)）。此时，追及者通过“速度差”2核心三要素：速度差、路程差与追及时间在时间(t)内覆盖了初始的路程差，因此三者关系可推导为：1[路程差=速度差\times追及时间]2即(s_差=(v_快-v_慢)\timest)，这是追及模型的核心公式。33公式推导的直观验证：以“校园跑步”为例为帮助理解，我们用一个简单案例验证公式：案例1：小宇跑步速度为6米/秒，体育委员速度为4米/秒。体育委员提前10秒出发，小宇从同一地点开始追赶，多久能追上？分析：体育委员提前10秒出发，路程差为(4\times10=40)米；速度差为(6-4=2)米/秒。根据公式(t=s_差\div(v_快-v_慢))，追及时间(t=40\div2=20)秒。验证：小宇20秒跑(6\times20=120)米，体育委员总时间(10+20=30)秒，跑(4\times30=120)米，确实追上。这说明公式的推导符合实际运动规律。03追及模型的解题步骤：从“审题”到“验证”的全流程追及模型的解题步骤：从“审题”到“验证”的全流程掌握核心公式后，解决追及问题需遵循清晰的步骤，避免因信息混乱导致错误。结合教学经验，我将解题流程总结为“五步分析法”：1第一步：明确运动主体与方向首先圈定题目中的两个运动对象（谁追谁），并确认是否沿同一方向运动（追及问题必为同向）。例如题目中“甲车从A地出发向东行驶，乙车从A地出发30分钟后也向东行驶”，即同向追及；若乙车向西行驶，则属于相遇问题，需排除。2第二步：梳理初始状态与已知量用表格或线段图整理以下信息：|主体|速度（(v)）|出发时间|出发地点|已知量||------------|---------------|----------------|----------------|----------------||追及者（甲）|(v_甲)|(t_甲=0)（假设）|地点A|速度、可能的时间||被追及者（乙）|(v_乙)|(t_乙=t_0)|地点A或地点B|速度、时间差/距离差|2第二步：梳理初始状态与已知量例如：“小王骑自行车从家出发去学校，速度15千米/小时；10分钟后，妈妈骑电动车以30千米/小时追赶，家到学校距离5千米，问妈妈能否在小王到校前追上？”追及者：妈妈（(v_快=30)）；被追及者：小王（(v_慢=15)）初始状态：小王先出发10分钟（即(t_0=10)分钟=(\frac{1}{6})小时），路程差为(15\times\frac{1}{6}=2.5)千米。3第三步：确定路程差与速度差路程差的计算需分两种情况：（1）同时不同地出发：路程差为两地初始距离（如甲从A地，乙从A地前方100米的B地同时出发，同向而行，则路程差=100米）。（2）同地不同时出发：路程差为被追及者提前出发时间内行驶的距离（如乙提前(t_0)时间出发，路程差=(v_慢\timest_0)）。速度差则始终为(v_快-v_慢)（注意：若(v_快\leqv_慢)，则无法追上，需提前判断）。4第四步：建立方程或算式求解根据核心公式(s_差=(v_快-v_慢)\timest)，变形得(t=s_差\div(v_快-v_慢))，即可求出追及时间。若题目涉及“是否能追上”（如案例3中的“能否在到校前追上”），则需比较追及时间内追及者行驶的距离与总路程（或被追及者到达终点的时间）。5第五步：验证结果合理性验证是避免低级错误的关键。例如：时间是否为正数（若(v_快\leqv_慢)，则(t)为负数，说明无法追上）；距离是否超过实际场景（如案例3中，妈妈追上时行驶的距离是否超过家到学校的5千米）；单位是否统一（如速度单位为千米/小时，时间需转换为小时）。04典型例题解析：从基础到变式的分层突破典型例题解析：从基础到变式的分层突破为帮助学生掌握不同场景下的追及问题，我将常见题型分为四类，并逐一解析。1基础型：同时不同地出发例题1：A、B两地相距100米，甲从A地出发以5米/秒的速度向B地奔跑，乙从B地同时出发以3米/秒的速度向同一方向（远离A地）奔跑，问甲多久能追上乙？分析：甲、乙同向而行，初始路程差为100米（甲在A，乙在B，A到B为100米，乙向远离A的方向跑，甲需追上乙）。速度差=5-3=2米/秒。解答：(t=100\div2=50)秒。验证：50秒后，甲跑(5\times50=250)米，乙跑(3\times50=150)米，甲从A出发到250米处，乙从B（100米处）出发到100+150=250米处，确实相遇。2进阶型：同地不同时出发例题2：爸爸开车送小明上学，途中发现手机落在家，于是让小明先步行（速度4千米/小时），自己返回家取手机（往返路程相同，开车速度60千米/小时）。爸爸到家后立即出发追赶，此时小明已步行20分钟，问爸爸多久能追上小明？分析：（1）爸爸返回家的时间：假设家到当前位置距离为(s)，则返回家时间为(s\div60)小时；（2）小明在爸爸返家期间步行的距离：(4\times(s\div60+s\div60)=4\times(2s\div60)=\frac{2s}{15})千米（因爸爸往返用了(2s\div60)小时）；2进阶型：同地不同时出发（3）爸爸开始追赶时，小明又步行了20分钟（即(\frac{1}{3})小时），总路程差为(\frac{2s}{15}+4\times\frac{1}{3})。但题目未给(s)，需换角度思考：实际小明从爸爸离开到爸爸开始追赶的总时间为：爸爸往返时间（(2t_1)，(t_1)为单程时间）+20分钟。但更简单的方式是：爸爸开始追赶时，小明已步行总时间为(2t_1+\frac{1}{3})小时，步行距离为(4\times(2t_1+\frac{1}{3}))。而爸爸从家出发追赶，此时路程差即为小明的步行距离，速度差为60-4=56千米/小时。2进阶型：同地不同时出发但题目中“爸爸到家后立即出发追赶，此时小明已步行20分钟”——这里的“此时”指爸爸到家的时间点，小明在爸爸出发到返回家的时间内已经步行了一段时间，加上额外的20分钟？可能题目表述为：爸爸让小明先步行，自己返回家，到家后发现小明已经步行了20分钟（即从爸爸离开到爸爸到家，小明走了20分钟）。此时，爸爸开始追赶，路程差为(4\times\frac{20}{60}=\frac{4}{3})千米，速度差56千米/小时，追及时间(t=\frac{4}{3}\div56=\frac{1}{42})小时≈1.43分钟。关键：理清“时间差”对应的路程差，避免混淆爸爸往返的时间与小明步行的时间。3综合型：涉及终点限制的“能否追上”问题例题3：小张骑共享单车去图书馆（距离3千米），速度12千米/小时；15分钟后，小李骑电动车从同一地点出发，速度24千米/小时，问小李能否在小张到达图书馆前追上？分析：（1）小张到达图书馆的时间：(3\div12=0.25)小时=15分钟。（2）小李出发时，小张已经骑了15分钟，此时小张刚好到达图书馆（因为小张总需15分钟），所以小李无法追上。（3）若调整数据：小张速度10千米/小时，距离3千米，则小张到达时间(3\div10=0.3)小时=18分钟；小李15分钟后出发，速度24千米/小时，3综合型：涉及终点限制的“能否追上”问题路程差为(10\times\frac{15}{60}=2.5)千米，速度差14千米/小时，追及时间(2.5\div14\approx0.1786)小时≈10.7分钟。小李总用时15+10.7≈25.7分钟，而小张总用时18分钟，此时小张已到达，故仍无法追上。关键：比较追及时间与被追及者到达终点的剩余时间。4拓展型：环形跑道上的追及（七年级上册选讲）例题4：学校环形跑道长400米，小辉和小敏同时从起点出发，小辉顺时针跑（速度5米/秒），小敏顺时针跑（速度3米/秒），问小辉第一次追上小敏需要多久？分析：环形追及中，路程差为跑道长度（第一次追上时，快者比慢者多跑一圈）。速度差=5-3=2米/秒，路程差=400米，追及时间(400\div2=200)秒。拓展：第二次追上时，路程差为2×400=800米，时间(800\div2=400)秒，以此类推。注意：环形追及的本质仍是同向运动，路程差为“圈数×周长”，适合学有余力的学生拓展。05学生易错点分析：从“常见错误”到“避错策略”学生易错点分析：从“常见错误”到“避错策略”在教学实践中，学生解决追及问题时最易出现以下错误，需针对性突破：1错误1：混淆“路程差”的计算表现：同地不同时出发时，忘记计算被追及者提前行驶的距离；或同时不同地出发时，错误将两地距离作为路程差（若方向相反则为相遇问题，路程和为两地距离）。案例：题目“甲从A地出发，乙从A地前方200米的B地同时出发，同向而行”，学生可能误将路程差算为200米（正确），但若题目中乙向相反方向行驶，则路程差不存在（为相遇问题）。策略：用线段图明确两者位置与运动方向，标注“初始距离”与“运动方向箭头”，直观判断路程差。2错误2：忽略“速度差”的方向性表现：将速度差算为(v_慢-v_快)（结果为负数），导致追及时间为负数，却未意识到“无法追上”。案例：甲速度4米/秒，乙速度5米/秒，甲先出发，学生计算速度差为4-5=-1，得到追及时间负数，需提示“若(v_快\leqv_慢)，则永远无法追上”。策略：计算前先比较速度大小，若追及者速度不大于被追及者，直接判定“无法追上”。3错误3：单位不统一导致计算错误表现：速度单位为千米/小时，时间用分钟计算（如将10分钟直接代入公式），导致结果错误。案例：速度60千米/小时，时间10分钟，学生直接计算(60\times10=600)千米（正确应为(60\times\frac{10}{60}=10)千米）。策略：养成“先统一单位”的习惯，时间统一为小时（或秒），速度与时间单位匹配。4错误4：忽略“实际场景限制”表现：计算出追及时间，但未验证追及地点是否超过题目中的终点（如家到学校的距离）。01案例：例题3中，若学生直接计算追及时间，却未比较追及地点与图书馆的距离，可能得出“能追上”的错误结论。02策略：在解题后增加一步“验证”，计算追及者在追及时间内行驶的距离是否≤总路程（或被追及者是否已到达终点）。0306追及模型的实际应用：数学与生活的联结追及模型的实际应用：数学与生活的联结数学模型的价值在于解决实际问题。追及模型在生活中广泛存在，以下是几个典型场景：1公共交通中的车辆调度城市公交系统中，若前车因故障减速，后车需计算是否能在到站前追上，以调整发车间隔；出租车追赶误时的乘客，也需用追及模型计算时间。2紧急救援中的路径规划消防车辆追赶失控的危险品运输车辆，需根据两者速度、初始