2025 七年级数学上册行程相遇问题解题课件

一、知识铺垫：相遇问题的“地基”演讲人01.02.03.04.05.目录知识铺垫：相遇问题的“地基”相遇问题的分类与解题步骤解题工具：线段图与方程思想的结合分层练习：从基础到综合的能力提升总结与升华：相遇问题的“核心思维”2025七年级数学上册行程相遇问题解题课件各位同学、老师们：大家好！今天我们共同探讨的主题是“行程相遇问题”。作为七年级数学上册“一元一次方程”章节的核心应用题型，相遇问题不仅是对“路程=速度×时间”基本公式的深化，更是培养逻辑分析、数形结合能力的重要载体。在过去的教学中，我常听到同学们说“相遇问题像绕口令，读题就晕”“画不出图，列不出方程”。别急，今天我们就从生活场景出发，抽丝剥茧，一步步揭开相遇问题的“面纱”。01知识铺垫：相遇问题的“地基”知识铺垫：相遇问题的“地基”要解决相遇问题，首先需要回顾最基础的行程问题三要素及其关系。这部分内容是我们解题的“地基”，必须牢牢掌握。1行程问题的核心公式行程问题中，路程（S）、速度（v）、时间（t）三者的关系是：路程=速度×时间（S=v×t）这一公式衍生出两个变形：速度=路程÷时间（v=S÷t）时间=路程÷速度（t=S÷t）举个生活中的例子：周末你骑自行车去书店，速度是15千米/小时，骑了0.5小时到达，那么书店离家的距离就是15×0.5=7.5千米。这个计算过程，就是公式的直接应用。2相遇问题的本质特征相遇问题属于“相向而行”的行程问题，其核心特征是：两个运动主体从两地出发，朝对方方向移动，最终在某一点相遇。此时，两者的运动时间存在关联，路程存在和的关系。比如，你和同学分别从学校两端的路口出发，相向而行，最终在操场相遇。你们的行走时间是相同的（同时出发的情况下），而两人走过的路程之和正好等于学校两端路口的总距离。这就是相遇问题的“底层逻辑”。02相遇问题的分类与解题步骤相遇问题的分类与解题步骤相遇问题并非千篇一律，根据出发时间、运动方向、路线形态的不同，可分为多种类型。我们需要逐一分析，掌握每类问题的解题策略。1基础型：同时出发，相向而行这是相遇问题中最典型的类型，其特点是：两个物体同时从两地出发，相向而行，经过一段时间后相遇。核心公式推导：设两地距离为S，甲的速度为v₁，乙的速度为v₂，相遇时间为t。甲在t时间内走的路程为v₁×t，乙走的路程为v₂×t。由于相遇时两人路程之和等于总距离，因此有：v₁×t+v₂×t=S→(v₁+v₂)×t=S→t=S÷(v₁+v₂)解题步骤：明确已知量：总距离S、甲速度v₁、乙速度v₂（或其中两个量，求第三个）；1基础型：同时出发，相向而行设相遇时间为t（或其他未知量），根据“路程和=总距离”列方程；解方程并验证结果合理性。例题1：A、B两站相距360千米，甲车从A站出发，速度为60千米/小时；乙车从B站出发，速度为90千米/小时。两车同时出发，相向而行，几小时后相遇？解析：已知S=360千米，v₁=60，v₂=90；设相遇时间为t小时，则甲路程=60t，乙路程=90t；根据路程和=总距离，列方程：60t+90t=360→150t=360→t=2.4小时（即2小时24分钟）。1基础型：同时出发，相向而行常见误区：部分同学会错误地认为“速度相加后直接除以总距离”，如360÷(60+90)=2.4，虽然结果正确，但需明确这是“时间=总距离÷速度和”的推导结果，而非死记硬背的公式。2变式1：不同时出发，相向而行实际生活中，两人可能因各种原因不同时出发（如一人先出发，另一人后出发）。此时，相遇时间需分段计算：先出发者单独行驶的时间+两人共同行驶的时间。核心分析：设甲先出发t₀小时，速度为v₁；乙后出发，速度为v₂，总距离为S。甲在t₀小时内先走了v₁×t₀千米，剩余距离为S-v₁×t₀；之后两人共同行驶的时间为t，此时两人路程和为(v₁+v₂)×t；因此有：v₁×t₀+(v₁+v₂)×t=S→t=(S-v₁×t₀)÷(v₁+v₂)例题2：A、B两地相距450千米，甲车上午8点从A地出发，速度为50千米/小时；乙车上午10点从B地出发，速度为70千米/小时，相向而行。两车何时相遇？2变式1：不同时出发，相向而行解析：甲车先出发2小时（8点到10点），先走了50×2=100千米；剩余距离：450-100=350千米；设乙车出发后t小时相遇，则两人共同行驶的路程和为(50+70)t=120t；列方程：120t=350→t≈2.9167小时（即2小时55分钟）；相遇时间：10点+2小时55分钟=12点55分。关键提醒：此类问题需明确“时间差”对应的路程，将问题转化为“剩余距离的相遇问题”，避免直接套用同时出发的公式。3变式2：环形跑道上的相遇问题环形跑道是相遇问题的特殊场景，其特点是“相向而行时，相遇一次的路程和为跑道周长；同向而行时，追击一次的路程差为跑道周长”（注：同向属于追击问题，本课件重点讨论相遇，即相向情况）。核心公式：设环形跑道周长为C，甲速度v₁，乙速度v₂（v₁>v₂），相向而行时，相遇时间t满足：(v₁+v₂)×t=C（第一次相遇）；若求第n次相遇的时间，则为tₙ=n×C÷(v₁+v₂)。例题3：学校环形跑道长400米，小明和小亮从同一地点同时出发，反向而行。小明速度为6米/秒，小亮速度为4米/秒。两人第一次相遇需要多久？第3次相遇时，小明跑了多少米？3变式2：环形跑道上的相遇问题解析：第一次相遇：路程和=400米，速度和=6+4=10米/秒，时间t=400÷10=40秒；第3次相遇：总路程和=3×400=1200米，时间t=1200÷10=120秒；小明跑的距离=6×120=720米。延伸思考：若两人同向而行（追击问题），第一次追击的时间为400÷(6-4)=200秒，这与相遇问题的公式不同，需注意区分运动方向。03解题工具：线段图与方程思想的结合解题工具：线段图与方程思想的结合七年级学生在解决相遇问题时，最有效的工具是“线段图”和“方程思想”。前者将抽象的文字转化为直观的图形，后者通过数学语言建立等量关系。1线段图的绘制技巧绘制线段图时，需遵循“三定”原则：定起点：标注两地或同地的位置（如A地、B地）；定方向：用箭头表示相向而行的方向；定时间点：标注出发时间、相遇时间（或时间差）。以例题2为例，线段图可绘制如下：A地（8点）———————（甲车先行驶2小时）———————→相遇点←——————（乙车10点出发）———————B地（甲车先走100千米）（剩余350千米，两人共同行驶）通过线段图，“先行驶的路程”“剩余路程”“共同行驶的时间”一目了然，避免了文字理解的混乱。2方程思想的应用要点列方程的关键是找到“等量关系”。在相遇问题中，最核心的等量关系是：甲的路程+乙的路程=总距离（或环形周长×相遇次数）具体步骤：设未知数（通常设时间为t，或直接设所求量）；用含t的代数式表示甲、乙的路程；根据等量关系列方程；解方程并检验（如时间是否为正，速度是否合理）。学生常见错误：忘记“不同时出发”时的时间差，直接设总时间为t，导致甲的路程计算错误；2方程思想的应用要点环形跑道问题中，误将第n次相遇的路程和算作n-1倍周长（实际是n倍，因为每次相遇都需合走一圈）；单位不统一（如速度用千米/小时，时间用分钟），导致计算错误。应对策略：读题时用不同符号标注关键信息（如“同时”“先出发2小时”“环形”）；列方程后，代入数值验证是否符合实际意义（如时间不能为负数）；养成“先统一单位”的习惯（如将分钟转化为小时，或千米转化为米）。04分层练习：从基础到综合的能力提升分层练习：从基础到综合的能力提升为了巩固知识，我们设计了分层练习，帮助同学们从“理解”到“应用”再到“创新”逐步提升。1基础题（巩固公式）

（答案：40秒，提示：1×t+1.5×t=100）（答案：320千米，提示：相遇时间t=720÷(80+100)=4小时，甲路程=80×4）甲乙两人相距100米，同时出发相向而行，甲速度1米/秒，乙速度1.5米/秒。几秒后相遇？两列火车从相距720千米的两地同时出发，相向而行。甲车速度80千米/小时，乙车速度100千米/小时。相遇时，甲车行驶了多少千米？010203042变式题（突破易错点）1甲车从A地出发，速度60千米/小时，1小时后乙车从B地出发，速度80千米/小时，相向而行。A、B两地相距460千米，乙车出发后几小时相遇？2（答案：(460-60×1)÷(60+80)=2.857小时≈2小时51分）3环形跑道长600米，甲乙同时同地反向而行，甲速度5米/秒，乙速度7米/秒。第5次相遇时，乙比甲多跑了多少米？4（答案：每次相遇时间t=600÷(5+7)=50秒，5次总时间250秒，乙路程=7×250=1750米，甲路程=5×250=1250米，差值500米）3综合题（跨知识点应用）小明从家到学校，如果步行速度50米/分钟，会迟到3分钟；如果骑自行车速度150米/分钟，会早到5分钟。求家到学校的距离。（提示：本题虽非相遇问题，但需用“时间差”列方程，培养方程思维）（答案：设正常到校时间为t分钟，50(t+3)=150(t-5)→t=9分钟，距离=50×12=600米）05总结与升华：相遇问题的“核心思维”总结与升华：相遇问题的“核心思维”通过今天的学习，我们不仅掌握了相遇问题的公式和类型，更重要的是体会到“数形结合”“方程建模”的数学思想。1知识总结相遇问题的本质：路程和=速度和×时间；关键步骤：画线段图分析运动过程→设未知数→找等量关系列方程；常见类型：同时出发、不同时出发、环形跑道相遇。0102032思维提升数学是解决实际问题的工具，相遇问题背后是对“运动过程分析”“变量关系抽象”的能力培养。正如我常对学生说：“遇到复杂问题，先别急着列算式，先画个图，把‘谁先走’‘走了多远’‘剩下多少’标清楚，答