2025 七年级数学下册不等式组在取值范围中的应用课件

一、课程引言：从生活问题到数学工具的联结演讲人01课程引言：从生活问题到数学工具的联结02知识铺垫：不等式组与取值范围的理论基础03应用场景：不等式组在不同问题中的取值范围求解04进阶提升：含参数不等式组的取值范围求解05总结与升华：不等式组应用的核心思想目录2025七年级数学下册不等式组在取值范围中的应用课件01课程引言：从生活问题到数学工具的联结课程引言：从生活问题到数学工具的联结作为一线数学教师，我常被学生问：“学不等式组有什么用？”每当这时，我会带他们观察教室的空调温度调节——设定26℃为最适温度，但实际运行中温度会在25℃到27℃之间波动，这种“不超过上限、不低于下限”的约束，正是不等式组在生活中的直观体现。今天，我们就以“不等式组在取值范围中的应用”为核心，从基础概念出发，逐步探索如何用数学工具解决实际问题中的范围限定。02知识铺垫：不等式组与取值范围的理论基础1不等式组的核心概念回顾在七年级上册，我们已学习了一元一次不等式的解法。当一个问题中存在多个不等约束时，就需要用“不等式组”来描述。例如：定义：由几个含有相同未知数的一元一次不等式组成的式子，称为一元一次不等式组（记作：$\begin{cases}a_1x+b_1>c_1\a_2x+b_2<c_2\end{cases}$）。解集：不等式组中所有不等式解集的公共部分，即同时满足所有不等式的未知数取值范围。关键工具——数轴法：在数轴上分别画出每个不等式的解集，公共部分即为不等式组的解集。例如，解不等式组$\begin{cases}x-2>0\3x-6<12\end{cases}$时，第一步解出$x>2$，第二步解出$x<6$，在数轴上标出这两个区间，公共部分$2<x<6$即为解集。2取值范围的数学本质“取值范围”是指变量在问题中允许的所有可能值的集合。它可能由以下两类条件限定：显性条件：题目中明确给出的不等关系（如“不超过5”“至少3”）；隐性条件：问题背景隐含的约束（如人数为正整数、几何图形中边长大于0）。例如，用100元买单价8元的笔记本和12元的笔，设买$x$本笔记本、$y$支笔，则“总花费不超过100元”是显性条件（$8x+12y\leq100$），而“$x,y$为非负整数”是隐性条件。03应用场景：不等式组在不同问题中的取值范围求解1数字类问题：确定整数解的范围典型例题：一个两位数，十位数字比个位数字大2，且这个两位数小于40，求所有可能的两位数。分析步骤：设个位数字为$x$，则十位数字为$x+2$，两位数可表示为$10(x+2)+x=11x+20$；显性条件：两位数小于40→$11x+20<40$；隐性条件：个位数字$x$为0-9的整数，十位数字$x+2$为1-9的整数（因十位不能为0）→$x+2\geq1$且$x+2\leq9$，即$x\geq-1$（自然满足）且$x\leq7$；1数字类问题：确定整数解的范围解不等式$11x+20<40$得$x<\frac{20}{11}\approx1.81$，结合$x$为整数且$x\leq7$，得$x=0$或$x=1$；验证：当$x=0$时，两位数为20；当$x=1$时，两位数为31。均满足条件。学生常见误区：易忽略十位数字不能为0的隐性条件，导致多解（如$x=-1$时十位为1，但个位不能为负数）。教学中可通过“生活常识”引导：“有没有十位是0的两位数？”帮助学生理解隐性约束。2实际生活问题：方案设计中的最优范围案例背景：某班级计划用500元购买A、B两种文具奖励学生，A单价15元，B单价25元，要求购买总数不少于25件，且A的数量不超过B的3倍。求A的可能购买数量范围。建模过程：设购买A为$x$件，B为$y$件；显性条件：总花费：$15x+25y\leq500$；总数约束：$x+y\geq25$；数量关系：$x\leq3y$；隐性条件：$x,y$为非负整数；2实际生活问题：方案设计中的最优范围消元转化：由$x+y\geq25$得$y\geq25-x$，代入$x\leq3y$得$x\leq3(25-x)$，即$x\leq\frac{75}{4}=18.75$，故$x\leq18$（因$x$为整数）；代入总花费：$15x+25(25-x)\leq500$（取$y$最小值使总花费最大），化简得$-10x+625\leq500$，即$x\geq12.5$，故$x\geq13$；结论：$x$的取值范围为13≤x≤18（整数）。教学启示：此类问题需引导学生“逐步消元”，将多变量问题转化为单变量不等式组，同时注意“最极端情况”的分析（如$y$取最小值时总花费最大，从而得到$x$的下限）。3几何问题：图形存在性的范围限定经典问题：已知三角形三边为$a,a+1,a+2$，其中$a$为正整数，求$a$的取值范围。关键分析：三角形存在的必要条件是“任意两边之和大于第三边”，因此需满足：$a+(a+1)>a+2$→$a>1$；$a+(a+2)>a+1$→$a>-1$（自然满足，因$a$为正整数）；$(a+1)+(a+2)>a$→$a>-3$（同样自然满足）；结合$a$为正整数，得$a\geq2$。拓展思考：若题目改为“等腰三角形”，则需分情况讨论：3几何问题：图形存在性的范围限定1若$a=a+1$，无解；2若$a=a+2$，无解；3若$a+1=a+2$，无解；4因此不存在等腰情况。这说明几何问题中需结合图形特性补充约束。04进阶提升：含参数不等式组的取值范围求解1参数在不等式中的位置与影响当不等式组中含有参数（如$k$）时，参数会影响解集的范围。例如，解关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x-1>3\x<k\end{cases}$，其解集为$2<x<k$，此时$k$的取值直接决定解集是否存在：若$k\leq2$，则无解；若$k>2$，则解集为$(2,k)$。2典型题型：已知解集求参数范围例题：若不等式组$\begin{cases}x-a\geq0\5-2x>1\end{cases}$的整数解有3个，求$a$的取值范围。解题步骤：解不等式：$x\geqa$，$x<2$，故解集为$a\leqx<2$；整数解有3个，即1,0,-1（因$x<2$，最大整数为1，依次向下数3个）；需满足$-2<a\leq-1$：若$a=-1$，则解集为$-1\leqx<2$，整数解为-1,0,1（3个）；若$a\leq-2$，则整数解包含-2，变为4个，不符合；若$a>-1$，则整数解为0,1（2个），也不符合。2典型题型：已知解集求参数范围教学技巧：可通过数轴动态演示参数$a$的移动对整数解数量的影响，帮助学生直观理解“边界值是否包含”的关键（如$a$能否等于-1）。05总结与升华：不等式组应用的核心思想1知识脉络回顾从“单个不等式”到“不等式组”，从“解的表示”到“取值范围的确定”，我们经历了“问题抽象→数学建模→求解验证”的完整过程。不等式组的本质是多条件约束下的范围限定，其应用覆盖数字、生活、几何等多领域，核心步骤可总结为：明确变量，识别所有显性与隐性约束；列出不等式组，转化为数学表达式；求解不等式组，确定公共解集；结合实际背景（如整数、正数）调整范围；验证结果是否满足所有条件。2数学思想的渗透本节课不仅是知识的学习，更是数学建模思想的实践——将生活问题转化为数学语言，用严谨的代数方法求解，再回归实际检验。正如我常对学生说的：“数学不是纸上的符号，而是解决问题的工具。当你能用不等式组分析空调温度的波动、计算文具的最优购买方案时，你就真正掌握了数学的力量。”3课后延伸建议观察生活中的“范围限定”现象（如电梯载重、手机电量提示