高一数学（人教A版）试题必修二课时跟踪检测（五十六）概率与统计的综合问题

课时跟踪检测(五十六)概率与统计的综合问题(满分80分，选填小题每题5分)1．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记t＝m＋n，则下列说法正确的是()A．事件“t＝12”的概率为eq\f(1,21)B．事件“t是奇数”与“m＝n”互为对立事件C．事件“t＝2”与“t≠3”互为互斥事件D．事件“t>8且mn<32”的概率为eq\f(1,4)2.一个系统如图所示，A，B，C，D，E，F为6个部件，其正常工作的概率都是eq\f(1,2)，且是否正常工作是相互独立的，当A，B都正常工作或C正常工作，或D正常工作，或E，F都正常工作时，系统就能正常工作，则系统正常工作的概率是()A.eq\f(55,64) B.eq\f(1,64)C.eq\f(1,8) D.eq\f(9,64)3．(多选)已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如135,256,345等)．现要从甲、乙两名同学中选出1人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1,2,3,4,5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛．则下列说法正确的是()A．甲参赛的概率大 B．乙参赛的概率大C．这种选取规则公平 D．这种选取规则不公平4．(多选)下列说法正确的是()A．甲、乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5,0.25，则题被解出的概率是0.125B．若A，B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P(AB)＝0C．某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层随机抽样的方法，则高级教师应抽取10人D．一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是eq\f(2,3)5．对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D，其中n(Ω)＝60，n(A)＝30，n(B)＝10，n(C)＝20，n(D)＝30，n(A∪B)＝40，n(AC)＝10，n(A∪D)＝60，则()A．A与B不互斥 B．A与D互斥但不对立C．C与D互斥 D．A与C相互独立6．(2023·天津高考)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为________.7．(15分)根据城市空气质量污染指数的分级标准，空气污染指数(API)不大于100时，空气质量为优良．某城市环境监测部门从上个月的空气质量数据中随机抽取5天的空气污染指数，所得数据分别为90,110，x，y,150，已知这5天的空气污染指数的平均数为110.(1)若x<y，从这5天中任选2天，求这2天空气质量均为优良的概率；(2)若90<x<150，求这5天空气污染指数的方差的最小值.8.(17分)在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病；为了解这种职业病与某项身体指标(检测值为不超过6的正整数)间的关系，依据是否患有职业病，使用分层随机抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：(1)求样本中患病者的人数和图中a，b的值；(2)试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；(3)某研究机构提出，可以选取常数X0＝4.5，若一名从业者该项身体指标检测值大于X0，则判定其患有这种职业病；若检测值小于X0，则判定其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率.9．(18分)某校高三年级举行了高校强基计划模拟考试(满分100分)，将不低于50分的考生的成绩分为5组，即[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制频率分布直方图如图所示，其中在[90,100]内的人数为2.(1)求a的值，并估计不低于50分考生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；(2)现把[50,60)和[90,100]内的所有学生的考号贴在质地、形状和大小均相同的小球上，并放在盒子内，现从盒中随机抽取2个小球，若取出的两人成绩差不小于30，则称这两人为“搭档组”．现随机抽取3次，每次取出2个小球，记下考号后再放回盒内，记取出“搭档组”的次数为2的概率.课时跟踪检测(五十六)1．选D连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，则共有6×6＝36个样本点，记t＝m＋n，则事件“t＝12”必须两次都掷出6点，则事件“t＝12”的概率为eq\f(1,36)，故A错误；事件“t是奇数”与“m＝n”为互斥不对立事件，如事件m＝3，n＝5，故B错误；事件“t＝2”与“t≠3”不是互斥事件，故C错误；事件“t＞8且mn＜32”有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝6，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝5，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝6，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝5，,n＝4，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝5，,n＝5，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝5，,n＝6，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝6，,n＝3，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝6，,n＝4，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝6，,n＝5，))共9个样本点，故事件“t＞8且mn＜32”的概率为eq\f(1,4)，故D正确．2．选A设“C正常工作”为事件G，“D正常工作”为事件H，则P(G)＝P(H)＝eq\f(1,2)，“A与B中至少有一个不正常工作”为事件T，“E与F中至少有一个不正常工作”为事件R，则P(T)＝P(R)＝1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，于是得系统不正常工作的事件为TReq\x\to(G)eq\x\to(H)，而T，R，eq\x\to(G)，eq\x\to(H)相互独立，所以系统正常工作的概率P＝1－P(T)·P(R)·P(eq\x\to(G))·P(eq\x\to(H))＝eq\f(55,64).3．选BD由题意，知由1,2,3,4,5组成的“三位递增数”有123,124,125,134,135,145,234,235,245,345，共10个．记“甲参加数学竞赛”为事件A，事件A包含的样本点有124,134,234，共3个，所以P(A)＝eq\f(3,10).记“乙参加数学竞赛”为事件B，则事件B包含的样本点有123,125,135,145,235,245,345，共7个，所以P(B)＝eq\f(7,10).因为P(A)<P(B)，即乙参赛的概率大，所以该选取规则不公平．4．选BCD因为他们各自解出的概率分别是0.5,0.25，则此题不能解出的概率为(1－0.5)×(1－0.25)＝0.375，则此题能解出的概率为1－0.375＝0.625，故A错误；若A，B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P(AB)＝0，故B正确；高级教师应抽取50×20%＝10人，故C正确；由列举法可知，两位女生相邻的概率是eq\f(2,3)，故D正确．5．选D由n(A)＝30，n(B)＝10，n(A∪B)＝40，即n(A∪B)＝n(A)＋n(B)＝40，故A，B互斥，A错误；由n(A∪D)＝n(A)＋n(D)＝n(Ω)＝60，故A，D互斥且对立，B错误；由n(C)＝20，n(AC)＝10，则n(DC)＝10，故C与D不互斥，C错误；由P(A)＝eq\f(nA,nΩ)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(nC,nΩ)＝eq\f(1,3)，P(AC)＝eq\f(nAC,nΩ)＝eq\f(1,6)，所以P(AC)＝P(A)P(C)，故A与C相互独立，D正确．故选D.6．解析：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n,4n,6n，所以总数为15n.所以甲盒中黑球个数为40%×5n＝2n，白球个数为3n；乙盒中黑球个数为25%×4n＝n，白球个数为3n；丙盒中黑球个数为50%×6n＝3n，白球个数为3n；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，所以，P(A)＝0.4×0.25×0.5＝0.05；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B，黑球共有2n＋n＋3n＝6n个，白球共有9n个，所以P(B)＝eq\f(9n,15n)＝eq\f(3,5).答案：0.05eq\f(3,5)7．解：(1)由题意知eq\f(1,5)(90＋110＋x＋y＋150)＝110，则x＋y＝200.因为x<y，所以x<100<y.从这5天中任选2天，所有的结果为(90,110)，(90，x)，(90，y)，(90,150)，(110，x)，(110，y)，(110,150)，(x，y)，(x,150)，(y,150)，共10种，这2天的空气质量均为优良的结果为(90，x)，只有1种，故所求的概率为P＝eq\f(1,10).(2)方差s2＝eq\f(1,5)×[(90－110)2＋(110－110)2＋(x－110)2＋(y－110)2＋(150－110)2]＝eq\f(1,5)[2000＋(x－110)2＋(90－x)2]＝eq\f(2,5)(x－100)2＋440，因为90<x<150，所以当x＝100时，s2的值最小，最小值为440.8．解：(1)根据分层随机抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为100×eq\f(3.4,8.5)＝40.a＝1－0.10－0.35－0.25－0.15－0.10＝0.05，b＝1－0.10－0.20－0.30＝0.40.(2)由(1)可知，患病者的人数为40，未患病的人数为60，该项身体指标检测值不低于5的样本中，有患病者40×(0.30＋0.40)＝28(名)，未患病者60×(0.10＋0.05)＝9(名)，共37名．故估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数为eq\f(37,100)×85000＝31450.(3)当X0＝4.5时，在100个样本数据中，有40×(0.10＋0.20)＝12(名)患病者被误判为未患病，有60×(0.10＋0.05)＝9(名)未患病者被误判为患病，因此判断错误的概率为eq\f(21,100).9．解：(1)由题意得(0.005＋0.01＋0.015＋a＋0.045)×10＝1，解得a＝0.025，不低于50分考生的平均成绩估计为55×0.1＋65×0.25＋75×0.45＋85×0.15＋95×0.05＝73(分)．(2)在[90,100]上的频率为0.005×10＝0.05，由条件得总人数为eq\f(2,0.05)＝40，所以在[50,60)内的人数为40×0.1＝4，记[50,60)内的所有学生的考号所在小球分别为a1，a2，a3，a4，[90,100]内的所有学生的考号所在小球分别为b1，b2，则从这6个球中抽取2个球的结果有a1a2，a1a3，a1a4，a1b1，a1b2，a2a3，a2a4，a2b1，a2b2，a3a4，a3b1，a3b2，a4b1，a4b2，b1b2，共15种，其中为“搭档组”有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，a4b1，a4b2，共8种，所以抽取出“搭档组”的概率P＝eq\f(8,15).记取出“搭档组”的