高中数学北师大版必修三第一章4（41-42）平均数中位数众数极差方差标准差

§4数据的数字特征4.1平均数、中位数、众数、极差、方差4.2标准差学习目标1.会求样本的众数、中位数、平均数、方差、标准差(重点).2.理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法(难点).3.会应用相关知识解决简单的统计问题(重点、易错点).预习教材P25－31完成下列问题：知识点1众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数定义(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数.(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数称为这组数据的中位数.(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么eq\o(x,\s\up1(－))＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)称为这n个数的平均数.【预习评价】1.众数、中位数、平均数有什么优缺点？提示(1)众数：众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使得它无法客观地反映总体特征.(2)中位数：中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点.(3)平均数：平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低.2.一组数据的众数可以有几个？中位数是否也具有相同的结论？提示一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，中位数只有唯一一个.知识点2标准差、方差1.标准差(1)平均距离与标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示.假设样本数据是x1，x2，…，xn，eq\o(x,\s\up1(－))表示这组数据的平均数.xi到eq\o(x,\s\up1(－))的距离是|xi－eq\o(x,\s\up1(－))|(i＝1,2，…，n)，则用如下公式来计算标准差：s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up1(－))2＋x2－\o(x,\s\up1(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up1(－))2].)(2)计算标准差的步骤①求样本数据的平均数eq\o(x,\s\up1(－))；②求每个样本数据与样本平均数的差xi－eq\o(x,\s\up1(－))(i＝1，2，…，n)；③求(xi－eq\o(x,\s\up1(－)))2(i＝1,2，…，n)；④求s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up1(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up1(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up1(－)))2]；⑤求s＝eq\r(s2)，即为标准差.2.方差标准差的平方s2叫作方差.s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up1(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up1(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up1(－)))2]，其中，xi(i＝1,2，…，n)是样本数据，n是样本容量，eq\o(x,\s\up1(－))是样本平均数.【预习评价】如何理解方差与标准差概念？提示(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞).标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性.(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.题型一众数、中位数、平均数的简单运用【例1】某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法.解(1)平均数是：eq\o(x,\s\up1(－))＝1500＋eq\f(4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋591＝2091(元)，中位数是1500元，众数是1500元.(2)新的平均数是eq\o(x′,\s\up5(－))＝1500＋eq\f(28500＋18500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋1788＝3288(元)，新的中位数是：1500元，新的众数是1500元.(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.【例2】为了解A，B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位：1000km)轮胎A96,112,97,108,100,103,86,98轮胎B108,101,94,105,96,93,97,106(1)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数；(2)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差；(3)根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定？解(1)A轮胎行驶的最远里程的平均数为：eq\f(96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98,8)＝100，中位数为：eq\f(100＋98,2)＝99；B轮胎行驶的最远里程的平均数为：eq\f(108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106,8)＝100，中位数为：eq\f(101＋97,2)＝99.(2)A轮胎行驶的最远里程的极差为：112－86＝26，标准差为s＝eq\r(\f(－42＋122＋－32＋82＋0＋32＋－142＋－22,8))＝eq\f(\r(221),2)≈7.43.B轮胎行驶的最远里程的极差为：108－93＝15，标准差为：s＝eq\r(\f(82＋12＋－62＋52＋－42＋－72＋－32＋62,8))＝eq\f(\r(118),2)≈5.43.(3)由于A和B的最远行驶里程的平均数相同，而B轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小，所以B轮胎性能更加稳定.【迁移1】(变换条件)在本例中，轮胎A的数据全都加5，那么所得新数据的平均数及标准差分别是多少？解新数据的平均数为：eq\f(96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98＋8×5,8)＝105，标准差为：s＝eq\r(\f(－42＋122＋－32＋82＋0＋32＋142＋－22,8))＝eq\f(\r(221),2)≈7.43.【迁移2】(变换条件，变问法)由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列).解析设四个数从小到大分别是x1，x2，x3，x4，根据已知可以得到方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋x3,2)＝2，,\f(x1＋x2＋x3＋x4,4)＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x3＝4，,x1＋x2＋x3＋x4＝8，,x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)＋x\o\al(2,3)＋x\o\al(2,4)＝20.))又因为四个数都是正整数，根据第一个式子知x2＝1，x3＝3或x2＝2，x3＝2，故x1＝1，x4＝3或x1＝2，x4＝2.代入第三个式子，易知只有x1＝1，x2＝1，x3＝3，x4＝3满足条件，所以四个数分别是1,1,3,3.答案1,1,3,3【迁移3】(变条件，变问法)对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表：甲273830373531乙332938342836(1)画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适.解(1)茎叶图如下：从这个茎叶图上可以看出，甲、乙的成绩分布是均匀的，只是乙更好一些；乙的中位数是33.5，甲的中位数是33.因此乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好.(2)eq\o(x,\s\up1(－))甲＝eq\f(27＋38＋30＋37＋35＋31,6)＝33，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(－62＋52＋－32＋42＋22＋－22,6)＝eq\f(47,3)，s甲≈3.96，eq\o(x,\s\up1(－))乙＝eq\f(33＋29＋38＋34＋28＋36,6)＝33，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(0＋－42＋52＋12＋－52＋32,6)＝eq\f(38,3)，s乙≈3.56.甲的中位数是33，乙的中位数是33.5.综合比较，选乙参加比赛较为合适.规律方法1.方差、标准差计算的步骤(1)算出样本数据的平均数eq\o(x,\s\up1(－))；(2)算出每个样本数据与样本平均数的差xi－eq\o(x,\s\up1(－))(i＝1,2,3，…，n)；(3)算出(xi－eq\o(x,\s\up1(－)))2(i＝1,2，…，n)，求出这n个数的平均数，即为样本方差s2；(4)算出方差的算术平方根，即为样本标准差s.2.平均数、方差的性质及计算方法(1)性质①若x1，x2，x3，…，xn的平均数是eq\o(x,\s\up1(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是meq\o(x,\s\up1(－))＋a.②数据x1，x2，…，xn与数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等.③若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.(2)方差的计算①基本公式s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up1(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up1(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up1(－)))2].②简化计算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\o(x,\s\up1(－))2]，或写成s2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up1(－))2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方.特别提醒：在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)，根据具体问题，有时还要考虑中位数和众数.课堂达标1.下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是()A.平均数 B.中位数C.方差 D.众数解析由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度.答案C2.一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x等于()A.21 B.22C.20 D.23解析根据题意知，中位数22＝eq\f(x＋23,2)，则x＝21.答案A3.一次选拔运动员的测试中，测得7名选手中的身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示.记录的平均身高为177cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，则x等于________.解析由题意知，10＋11＋0＋3＋x＋8＋9＝7×7，解得x＝8.答案84.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8，7,9,5,4,9,10,7,4则：(1)平均命中环数为________；(2)命中环数的标准差为________.解析(1)eq\o(x,\s\up1(－))＝eq\f(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4,10)＝7.(2)∵s2＝eq\f(1,10)[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.答案(1)7(2)25.对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：甲6080709070乙8060708075问：甲、乙谁的平均成绩好？谁的各门功课发展较平衡？解甲的平均成绩为eq\o(x,\s\up1(－))甲＝74，乙的平均成绩为eq\o(x,\s\up1(－))乙＝73，所以甲的平均成绩好；甲的方差是seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)(142＋62＋42＋162＋42)＝104，乙的方差是seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)(72＋132＋32＋72＋22)＝56，由于seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，所以乙的各门功课发展较平衡.课堂小结1.一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序.2.标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.基础过关1.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是()A.85,85,85 B.87,85,86C.87,85,85 D.87,85,90解析从小到大列出所有数学成绩：75,80,85,85,85,85,90,90,95,100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.答案C2.某台机床加工的1000只产品中次品数的频率分布如下表：次品数01234频率0.50.20.050.20.05则次品数的众数、平均数依次为()A.0,1.1 B.0,1C.4,1 D.0.5,2解析数据xi出现的频率为pi(i＝1,2，…，n)，则x1，x2，…，xn的平均数为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.因此次品数的平均数为0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1.由频率知，次品数的众数为0.答案A3.在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据.则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A.众数 B.平均数C.中位数 D.标准差解析只有标准差不变，其中众数、平均数和中位数都加2.答案D4.已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________.解析由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9＋10＋11＋x＋y＝5×10，,\f(1,5)[9－102＋10－102＋11－102＋x－102＋y－102]＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝20，,x－102＋y－102＝18.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝13))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝13，,y＝7，))所以xy＝91.答案915.甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天中甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________.解析由茎叶图可知，甲的平均数为eq\f(9＋8＋20＋1＋3＋2＋100＋1＋1＋5＋90,10)＝24，乙的平均数为eq\f(9＋7＋1＋30＋1＋4＋2＋4＋80＋2＋90,10)＝23.答案24236.甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.解(1)eq\o(x,\s\up1(－))甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\o(x,\s\up1(－))乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)，所以乙机床加工零件的质量更稳定.7.在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212已经算得两个组的平均分都是80分.请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由.解(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些.(2)seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些.(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分.其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人.从这一角度看，甲组的成绩较好.(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多.同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人.从这一角度看，乙组的成绩较好.能力提升8.甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示.若甲、乙两人的平均成绩分别是eq\o(x,\s\up1(－))甲，eq\o(x,\s\up1(－))乙，则下列结论正确的是()A.eq\o(x,\s\up1(－))甲＜eq\o(x,\s\up1(－))乙；乙比甲成绩稳定B.eq\o(x,\s\up1(－))甲＞eq\o(x,\s\up1(－))乙；甲比乙成绩稳定C.eq\o(x,\s\up1(－))甲＞eq\o(x,\s\up1(－))乙；乙比甲成绩稳定D.eq\o(x,\s\up1(－))甲＜eq\o(x,\s\up1(－))乙；甲比乙成绩稳定解析甲同学的成绩为78,77,72,86,92，乙同学的成绩为78,82,88,91,95，所以eq\o(x,\s\up1(－))甲＝eq\f(1,5)×(78＋77＋72＋86＋92)＝81，eq\o(x,\s\up1(－))乙＝eq\f(1,5)×(78＋82＋88＋91＋95)＝86.8.所以eq\o(x,\s\up1(－))甲＜eq\o(x,\s\up1(－))乙，从叶在茎上的分布情况来看，乙同学的成绩更集中于平均值附近，这说明乙比甲成绩稳定.答案A9.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为eq\o(x,\s\up1(－))A和eq\o(x,\s\up1(－))B，样本标准差分别为sA和sB，则()A.eq\o(x,\s\up1(－))A＞eq\o(x,\s\up1(－))B，sA＞sBB.eqB.\o(x,\s\up1(－))A＜eq\o(x,\s\up1(－))B，sA＞sBC.eq\o(x,\s\up1(－))A＞eq\o(x,\s\up1(－))B，sA＜sBD.eqD.\o(x,\s\up1(－))A＜eq\o(x,\s\up1(－))B，sA＜sB解析由题图知，A组的6个数分别为2.5,10,5,7.5，2.5，10；B组的6个数分别为15,10,12.5,10,12.5,10，所以eq\o(x,\s\up1(－))A＝eq\f(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10,6)＝eq\f(25,4)，eq\o(x,\s\up1(－))B＝eq\f(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10,6)＝eq\f(35,3).显然eq\o(x,\s\up1(－))A＜eq\o(x,\s\up1(－))B.又由图形可知，B组数据的分布比A组的均匀，变化幅度不大，故B组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以sA＞sB.答案B10.若40个数据的平方和是56，平均数是eq\f(\r(2),2)，则这组数据的方差是________，标准差是________.解析设这40个数据为xi(i＝1,2，…，40)，平均数为eq\o(x,\s\up1(－)).则s2＝eq\f(1,40)×[(x1－eq\o(x,\s\up1(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up1(－)))2＋…＋(x40－eq\o(x,\s\up1(－)))2]＝eq\f(1,40)[xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,40)＋40eq\o(x,\s\up1(－))2－2eq\o(x,\s\up1(－))(x1＋x2＋…＋x40)]＝eq\f(1,40)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(56＋40×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－2×\f(\r(2),2)×40×\f(\r(2),2)))＝eq\f(1,40)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(56－40×\f(1,2)))＝0.9.∴s＝eq\r(0.9)＝eq\r(\f(9,10))＝eq\f(3\r(10),10).答案0.9eq\f(3\r(10),10)11.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_________.解析设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，平均数eq\o(x,\s\up1(－))＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)÷5＝7；方差s2＝[(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2]÷5＝4.从而有x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝35，①(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2