高一数学（人教A版）试题必修二课时跟踪检测（三十五）直线与直线垂直

课时跟踪检测(三十五)直线与直线垂直(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)A级——达标评价1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有()A．2条 B．4条C．6条 D．8条2．已知空间三条直线l，m，n，若l与m垂直，l与n垂直，则()A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n平行、相交、异面均有可能3．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线()A．有无数条 B．有两条C．至多有两条 D．有一条4.如图所示，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为()A．90° B．60°C．45° D．0°5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是A1C1的中点，则异面直线AO与BC1的夹角为()A．30° B．45°C．60° D．90°6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条.7．已知∠ABC＝120°，异面直线MN，PQ.其中MN∥AB，PQ∥BC，则异面直线MN与PQ所成的角为________.8．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，则AB1与BC1所成角的大小是________.9.(10分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值.10.(10分)如图所示，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点．若EF＝eq\r(2).求证：AD⊥BC.B级——重点培优11.(多选)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论成立的是()A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面12．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为2，点M，N分别为AB，BC的中点，则异面直线A1M与B1N所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(\r(3),4) D.eq\f(7,10)13.在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝120°，E为BB′的中点，异面直线CE与C′A所成角的余弦值是()A．－eq\f(\r(10),5) B.eq\f(\r(10),5)C．－eq\f(\r(10),10) D.eq\f(\r(10),10)14．当动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是________.15.(16分)如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，AA1⊥AB，BP⊥A1P，AB，A1B1分别为⊙O，⊙O1的直径，且AB∥A1B1.若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，回答下列问题：(1)求三棱锥A1－APB的体积；(2)在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为eq\f(2,5)？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由.课时跟踪检测(三十五)1．选D在正方体AC1中，与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条．故选D.2．选D∵m⊥l，n⊥l，∴m与n既可以相交，也可以异面，还可以平行．3.选A如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角，除去两条与l共面的母线，其余都符合要求．4.选B将三角形折成三棱锥．如图所示，GH与IJ为异面直线．在三棱锥A­DEF中，IJ∥AD，GH∥DF，所以∠ADF即为所求，因此GH与IJ所成的角为60°.5.选A连接AD1，D1O.因为正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1是平行四边形．则AD1∥BC1.所以∠D1AO或其补角是异面直线AO与BC1的夹角．不妨设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则AD1＝2eq\r(2)，D1O＝eq\r(2)，AO＝eq\r(A1A2＋A1O2)＝eq\r(6).因为ADeq\o\al(2,1)＝D1O2＋AO2，即D1O⊥AO，则0°<∠D1AO<90°，所以sin∠D1AO＝eq\f(D1O,AD1)＝eq\f(1,2)，即∠D1AO＝30°.6．解析：与AD1异面的面对角线分别为A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90°.答案：17．解析：结合等角定理及异面直线所成角的范围可知，异面直线MN与PQ所成的角为60°.答案：60°8．解析：设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝eq\r(3)，B1C2＝eq\r(3)，AC2＝eq\r(6)，所以ACeq\o\al(2,2)＝ABeq\o\al(2,1)＋B1Ceq\o\al(2,2)，则∠AB1C2＝90°.答案：90°9．解：如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC­A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1或其补角就是异面直线A1B与AC1所成的角．设AB＝a，∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1，∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos30°＝eq\r(3)a.又∠BAC＝90°，∴在矩形ABDC中，AD＝eq\r(2)a，∴A1D1＝eq\r(2)a，∴A1Deq\o\al(2,1)＋A1B2＝BDeq\o\al(2,1)，∴∠BA1D1＝90°.∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝eq\f(A1B,BD1)＝eq\f(a,\r(3)a)＝eq\f(\r(3),3).故异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为eq\f(\r(3),3).10．证明：取BD的中点H，连接EH，FH.因为E是AB的中点，且AD＝2，所以EH∥AD，EH＝1.同理FH∥BC，FH＝1.所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角．又因为EF＝eq\r(2)，所以EH2＋FH2＝EF2.所以△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边．所以∠EHF＝90°，即AD，BC所成的角是90°.故AD⊥BC.11.选ABC如图所示，连接A1B，易知点E为A1B的中点，由三角形中位线定理可得EF∥A1C1，所以EF，A1C1确定一个平面．显然EF与CD异面．因为A1C1⊥AA1，AA1∥BB1，所以A1C1⊥BB1.又EF∥A1C1，所以EF⊥BB1.连接B1D1，则A1C1⊥B1D1.易知BD∥B1D1，所以A1C1⊥BD.又知EF∥A1C1，所以EF⊥BD.故只有选项D中的结论不成立．12.选D如图，延长MB到P，使得BP＝MB.因为M是AB的中点，则MP＝AB.又MP∥A1B1，所以四边形A1B1PM是平行四边形，A1M∥B1P.所以异面直线A1M与B1N所成的角是∠PB1N(或其补角)．又N是BC的中点，所以BP＝BN＝1，NP＝eq\r(BP2＋BN2－2BP·BNcos∠PBN)＝eq\r(12＋12－2×1×1×cos120°)＝eq\r(3).因为三棱柱是正三棱柱，所以B1P＝B1N＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).故cos∠PB1N＝eq\f(B1P2＋B1N2－PN2,2B1P·B1N)＝eq\f(5＋5－3,2×5)＝eq\f(7,10).13.选B如图所示，直三棱柱ABC­A′B′C′向上方补形为直三棱柱ABC­A″B″C″，其中A′，B′，C′分别为各棱的中点，取B′B″的中点D′，可知CE∥C′D′，异面直线CE与C′A所成的角即为C′D′与C′A所成的角．设CB＝2，则C′D′＝eq\r(5)，C′A＝2eq\r(2)，AD′＝eq\r(21)，cos∠AC′D′＝eq\f(8＋5－21,2×2\r(2)×\r(5))＝－eq\f(\r(10),5)，故异面直线CE与C′A所成角的余弦值为eq\f(\r(10),5).14．解析：设正方体棱长为1，DP＝x，则x∈[0,1]，连接AD1，AP(图略)．由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角．在△AD1P中，AD1＝eq\r(2)，AP＝D1P＝eq\r(1＋x2)，故cos∠AD1P＝eq\f(\f(\r(2),2),\r(1＋x2)).又∵x∈[0,1]，∴cos∠AD1P＝eq\f(\f(\r(2),2),\r(1＋x2))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))).又∠AD1P∈(0，π)，∴∠AD1P∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))15．解：(1)由题意得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3.由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝2eq\r(3).∴S△PAB＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3).∴三棱锥A1­APB的体积VA1­APB＝eq\f(1,3)S△PAB·AA1＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)