两角和与差的正弦正切课件-高一下学期数学人教B版

8.2.2两角和与差的正弦、正切人教B版（2019）（必修第三册）学习目标CONTENTS1.类比两角和与差的余弦公式的推导过程，能推导两角和与差的正弦、正切公式，体现逻辑推理能力（重点）2.会利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数化简、求值等，体现数学计算能力（难点）课程引入尝试与发现1.怎样借助30°,15°的三角函数值求出sin75°，sin15°的值？虽然sin75°=sin(30°+45°)，sin15°=sin(45°-30°)，但是sin75°≠sin30°+sin45°，sin15°≠sin45°-sin30°当然我们可以这样求sin75°的值：sin75°=sin(90°-15°)=cos15°=cos(45°-30°)=2.一般地，怎样根据α与β的三角函数值求出sin(α＋β)，sin(α－β)的值吗？课程内容教学两角和与差的正弦公式Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;Sα-β:sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.课程内容教学对于上面的公式进行证明：由诱导公式以及两角和与差的余弦公式可知=sinαcosβ+cosαsinβ而且sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ+cosαsinβ课程内容教学举个例子：求sin75°，sin15°的值sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°注意：Sα+β与Sα-β同样可以求出105°以及证明诱导公式sin(+α)=cosα，sin(π-α)=sinα.课程内容教学例1：已知向量

，如图所示，将向量

绕原点O沿逆时针方向旋转45°到

的位置.求点P′(x′,y′)的坐标.设∠xOP=α，则因为|OP|

=，所以cosα=，sinα=因此x′=5cos(α+45°)=5(cosαcos45°-sinαsin45°)课程内容教学例1：已知向量

，如图所示，将向量

绕原点O沿逆时针方向旋转45°到

的位置.求点P′(x′,y′)的坐标.y′=5sin(α+45°)=5(sinαcos45+cosαsin45°)所以P′课程内容教学例2:求证：因为

，所以

例2也可将右边直接用Sα+β展开来证明课程内容教学尝试与发现如果函数

，你能求出

f(x)的最大值及最大值点吗？由例2的结果可知因此

f(x)的最大值为1，而且f(x)的最大值点x0满足

，因此最大值点为课程内容教学例3:

在求函数f(x)=cosx+sinx的最小值时，下面的说法正确吗？“因为sinx的最小值为-1，cosx的最小值也为-1，所以f(x)的最小值为-2.”如果不对，指出原因，并求f(x)的周期、最小值与最小值点.因为sinx=-1时有

；而cos

x=-1时有

.因此sinx=-1与cos

x=-1不能同时成立，这就是说，f(x)的最小值不是-2，有关说法不对.又因为

，所以课程内容教学由此可知函数f(x)的周期为2π，最小值为

，而且最小值点x0满足

，因此最小值点为

.课程内容教学根据例3得到的启示：由例3可以看出，当a,b都是不为零的常数时，为了求出函数f(x)=asinx+bcosx的周期、最值等，关键是要将函数化为f(x)=Asin(x+φ)的形式.也就是说，要找到合适的A和φ，使得asinx+bcosx=Asin(x+φ)①恒成立.课程内容教学尝试与发现满足①式的A和φ一定存在吗？它们与a,b有什么关系？如果①式恒成立，则将①式的右边用Sα+β展开可得asinx+bcosx=Asinxcosφ+Acosxsinφ因此a=Acosφ，b=Asinφ，从而可知a2+b2=(Acosφ)2+(Asinφ)2=A2如果取A=,则有②课程内容教学尝试与发现满足①式的A和φ一定存在吗？它们与a,b有什么关系？由②式以及任意角的余弦、正弦的定义可知，若记平面直角坐标系中坐标为(a,b)的点为P，而φ是以射线OP为终边的角，如图所示，则φ一定满足②式.这就是说，满足①式的A和φ一定存在.因此

asinx+bcosx=sin(x+φ)，其中φ满足②式.我们称这个式子为辅助角公式课程内容教学例4：已知函数f(x)=sin5x-cos5x，求f(x)的周期、最小值及最小值点.

因为

，所以由此可知函数

f(x)的周期为

，最小值为-2，而且最小值点x0满足

，因此最小值点为

.课程内容教学尝试与发现1.怎样借助30

，45

的三角角函数值求出tan75°，tan15°的值？因为所以可以借助30°，45°的正弦值与余弦值求出tan75°的值．2.由tanα，tanβ能求出tan（α＋β），tan（α－β）的值吗？课程内容教学两角和与差的正切公式其中α和

β的取值应使各项都有意义.课程内容教学对于上面的公式进行证明：因为在上式右边的分子分母同时除以cosαcosβ，即可得到类似地可以得到两角差的正切，也可以从Tα＋β推出：课程内容教学例5:求下列各式的值(1)求t