2025年大三（统计学）数理统计阶段测试卷

2025年大三（统计学）数理统计阶段测试卷

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______第I卷（选择题共30分）答题要求：本卷共6题，每题5分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确答案的序号填在括号内。1.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ为来自总体X的样本，样本均值为X̅，样本方差为S²，则下列说法正确的是（）A.X̅服从正态分布N(μ,σ²/n)B.(n-1)S²/σ²服从自由度为n-1的χ²分布C.X̅与S²相互独立D.以上都不对答案：B2.对于参数估计，下列说法错误的是（）A.点估计是用样本统计量来估计总体参数的具体数值B.区间估计是在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围C.无偏性是指估计量的数学期望等于被估计的总体参数D.有效性是指两个无偏估计量中方差较小的更有效，与样本容量无关答案：D3.在假设检验中，关于原假设H₀和备择假设H₁，下列说法正确的是（）A.H₀和H₁是相互对立的B.检验结果若拒绝H₀，则一定接受H₁C.H₀一定是关于总体参数的等式假设D.原假设的选取是随意的答案：A4.设总体X服从均匀分布U(0,θ)，X₁,X₂,…,Xₙ为样本，则θ的矩估计量为（）A.2X̅B.X̅C.X̅/2D.nX̅答案：A5.若总体X服从正态分布N(μ,σ²)，已知样本容量n=16，样本均值X̅=50，样本标准差S=4，则μ的置信水平为0.95的置信区间为（）（注：t₀.₀₂₅(15)=2.131）A.(47.869,52.131)B.(48.032,51.968)C.(47.921,52.079)D.(48.156,51.844)答案：A6.在一元线性回归模型Y=β₀+β₁X+ε中，关于回归系数β₁的检验，通常采用的检验方法及检验统计量是（）A.F检验，F=(SSR/1)/(SSE/(n-2))B.t检验，t=(β̂₁-β₁)/Sβ̂₁C.χ²检验，χ²=(n-2)SSR/SSED.以上都不对答案：B第II卷（非选择题共70分）填空题（共20分）答题要求：本卷共4题，请将正确答案填在题中的横线上。1.设总体X服从泊松分布P(λ)，X₁,X₂,…,Xₙ为样本，则样本均值X̅的数学期望E(X̅)=______，方差D(X̅)=______。答案：λ，λ/n2.已知样本X₁,X₂,…,Xₙ来自总体X，且E(X)=μ，D(X)=σ²，则样本方差S²=______。答案：1/(n-1)∑ᵢ₌₁ⁿ(Xᵢ-X̅)²3.在假设检验中，当原假设H₀为真时，拒绝H₀的概率称为______，记为______。答案：显著性水平，α4.对于一元线性回归模型Y=β₀+β₁X+ε，若已知β̂₁为β₁的最小二乘估计，则β̂₁=______。答案：(∑ᵢ₌₁ⁿ(Xᵢ-X̅)(Yᵢ-Y̅))/(∑ᵢ₌₁ⁿ(Xᵢ-X̅)²)简答题（共15分）答题要求：本卷共3题，请简要回答问题。1.简述点估计的评价标准。答案：点估计的评价标准主要有无偏性、有效性、一致性。无偏性是指估计量的数学期望等于被估计的总体参数；有效性是指在多个无偏估计量中，方差较小的更有效；一致性是指随着样本容量的增大，估计量依概率收敛于被估计的总体参数。2.说明假设检验的基本步骤。答案：假设检验的基本步骤为：提出原假设H₀和备择假设H₁；选择合适的检验统计量；确定显著性水平α；根据样本值计算检验统计量的值；作出决策，若检验统计量的值落入拒绝域，则拒绝H₀，否则接受H₀。3.简述一元线性回归模型中回归系数β₁和β₀的最小二乘估计的原理。答案：最小二乘估计的原理是使得残差平方和最小。对于一元线性回归模型Y=β₀+β₁X+ε，通过对β₀和β₁求偏导数并令其为0，得到方程组，解方程组得到β̂₀和β̂₁的表达式，使得∑ᵢ₌₁ⁿ(Yᵢ-β̂₀-β̂₁Xᵢ)²最小，从而确定β₁和β₀的估计值。计算题（共20分）答题要求：本卷共2题，请写出详细的计算过程。1.设总体X服从正态分布N(0,1)，X₁,X₂,X₃为样本，试求Y=(X₁+X₂)²+(X₂+X₃)²+(X₃+X₁)²服从的分布。解：因为X₁,X₂,X₃服从N(0,1)且相互独立。X₁+X₂服从N(0,2)，则(X₁+X₂)/√2服从N(0,1)，((X₁+X₂)/√2)²服从自由度为1的χ²分布。同理(X₂+X₃)/√2服从N(0,1)，((X₂+X₃)/√2)²服从自由度为1的χ²分布；(X₃+X₁)/√2服从N(0,1)，((X₃+X₁)/√2)²服从自由度为1的χ²分布。又因为(X₁+X₂)/√2，(X₂+X₃)/√2，(X₃+X₁)/√2相互独立，根据χ²分布的可加性，Y=(X₁+X₂)²+(X₂+X₃)²+(X₃+X₁)²服从自由度为3的χ²分布。2.已知样本数据如下：|X|1|2|3|4|5||----|----|----|----|----|----||Y|2|4|6|8|10|求一元线性回归方程。解：首先计算X̅=(1+2+3+4+5)/5=3，Y̅=(2+4+6+8+10)/5=6。∑ᵢ₌₁⁵(Xᵢ-X̅)(Yᵢ-Y̅)=(1-3)(2-6)+(2-3)(4-6)+(3-3)(6-6)+(4-3)(8-6)+(5-3)(10-6)=(-2)×(-4)+(-1)×(-2)+0+1×2+2×4=8+2+0+2+8=20。∑ᵢ₌₁⁵(Xᵢ-X̅)²=(1-3)²+(2-3)²+(3-3)²+(4-3)²+(5-3)²=4+1+0+1+4=10。则β̂₁=(∑ᵢ₌₁⁵(Xᵢ-X̅)(Yᵢ-Y̅))/(∑ᵢ₌₁⁵(Xᵢ-X̅)²)=20/10=2。β̂₀=Y̅-β̂₁X̅=6-2×3=0。所以一元线性回归方程为Ŷ=2X。综合题（共15分）答题要求：本卷共1题，请结合材料进行分析解答。材料：某工厂生产的某种产品的质量指标X服从正态分布N(μ,σ²)。现从该产品中随机抽取25件进行检测，测得样本均值X̅=12，样本标准差S=2。（1）求μ的置信水平为0.95的置信区间（注：t₀.₀₂₅(24)=2.064）。（2）若已知该产品质量指标的国家标准为μ₀=10，在显著性水平α=0.05下，检验该工厂生产的产品是否符合国家标准。解：（1）μ的置信水平为α=0.05的置信区间为：X̅±tα/₂(n-1)S/√n=12±2.064×2/√25=12±0.8256=(11.1744,12.825