研究生考试解答题模板及答案

研究生考试解答题模板及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪种函数是基本初等函数（）A.\(y=x+1\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=x^x\)D.\(y=\ln(x+1)\)2.若\(f(x)\)在\(x=a\)处可导，则\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)等于（）A.\(f'(a)\)B.\(f'(h)\)C.\(f'(0)\)D.\(f'(a+h)\)3.向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)与向量\(\vec{b}=(-1,-2,-3)\)的关系是（）A.平行B.垂直C.相交D.异面4.级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)当（）时收敛。A.\(p\leq1\)B.\(p\gt1\)C.\(p\lt1\)D.\(p\geq1\)5.函数\(z=x^2+y^2\)在点\((1,1)\)处的全微分\(dz\)为（）A.\(2dx+2dy\)B.\(dx+dy\)C.\(4dx+4dy\)D.\(0\)6.设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(\vertA\vert=0\)，则（）A.\(A\)中必有两行（列）元素对应成比例B.\(A\)中至少有一行（列）向量是其余行（列）向量的线性组合C.\(A\)中必有一行（列）元素全为零D.\(A\)的秩\(r(A)=n\)7.若\(X\)服从正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，则\(Y=\frac{X-\mu}{\sigma}\)服从（）A.\(N(0,1)\)B.\(N(\mu,\sigma^2)\)C.\(N(1,0)\)D.\(N(\mu,1)\)8.设\(f(x)\)是连续函数，\(F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt\)，则\(F'(x)\)等于（）A.\(f(x)\)B.\(f(0)\)C.\(f(t)\)D.\(0\)9.曲线\(y=x^3-3x^2+2x\)的拐点坐标为（）A.\((1,0)\)B.\((-1,-6)\)C.\((2,-2)\)D.\((0,0)\)10.行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\)的值为（）A.\(-2\)B.\(2\)C.\(10\)D.\(-10\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪些是导数的运算法则（）A.\((u+v)'=u'+v'\)B.\((uv)'=u'v+uv'\)C.\((\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}(v\neq0)\)D.\((u^n)'=nu^{n-1}\)2.下列函数中，在其定义域内是单调递增的有（）A.\(y=e^x\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=x^3\)D.\(y=\sinx\)3.空间直角坐标系中，平面方程的一般式为\(Ax+By+Cz+D=0\)，以下说法正确的是（）A.当\(A=0\)时，平面平行于\(x\)轴B.当\(B=0\)时，平面平行于\(y\)轴C.当\(C=0\)时，平面平行于\(z\)轴D.当\(D=0\)时，平面过原点4.下列级数中，收敛的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\)5.关于矩阵的特征值与特征向量，以下说法正确的是（）A.方阵\(A\)的属于不同特征值的特征向量线性无关B.若\(\lambda\)是\(A\)的特征值，则\(\vertA-\lambdaE\vert=0\)C.特征向量不能为零向量D.一个特征值只能对应一个特征向量6.设\(X\)和\(Y\)是两个随机变量，以下哪些是描述它们关系的统计量（）A.协方差\(Cov(X,Y)\)B.相关系数\(\rho_{XY}\)C.期望\(E(X)\)D.方差\(D(X)\)7.函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上满足罗尔定理的条件是（）A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续B.\(f(x)\)在\((a,b)\)内可导C.\(f(a)=f(b)\)D.\(f(x)\)在\((a,b)\)内有唯一驻点8.以下哪些是二元函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处可微的充分条件（）A.\(f_x(x_0,y_0)\)和\(f_y(x_0,y_0)\)都存在B.\(f_x(x,y)\)和\(f_y(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处连续C.\(\Deltaz-f_x(x_0,y_0)\Deltax-f_y(x_0,y_0)\Deltay=o(\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2})\)D.\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处连续9.设\(A\)和\(B\)为\(n\)阶方阵，下列等式成立的是（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)（当\(AB=BA\)时）B.\((AB)^T=B^TA^T\)C.\((A^{-1})^{-1}=A\)（当\(A\)可逆时）D.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)10.下列哪些函数是偶函数（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=e^{-x^2}\)D.\(y=\sinx\)三、判断题（每题2分，共10题）1.函数\(y=\frac{1}{x}\)在定义域内是单调递减函数。（）2.若函数\(f(x)\)在\(x=a\)处连续，则\(f(x)\)在\(x=a\)处一定可导。（）3.向量\(\vec{a}=(1,0,0)\)与向量\(\vec{b}=(0,1,0)\)的数量积为\(0\)。（）4.级数\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收敛，则\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\)。（）5.矩阵\(A\)的秩等于它的行秩也等于它的列秩。（）6.若\(X\)和\(Y\)相互独立，则\(Cov(X,Y)=0\)。（）7.函数\(y=x^3\)的二阶导数\(y''=6x\)。（）8.平面\(2x+3y-z+1=0\)的法向量为\((2,3,-1)\)。（）9.若\(A\)为\(n\)阶可逆方阵，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)也可逆。（）10.概率\(P(A)\)的取值范围是\((0,1)\)。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述求函数\(y=f(x)\)极值的步骤。答案：先求函数定义域，再求\(y'\)，令\(y'=0\)找出驻点，然后用导数符号判断驻点两侧导数正负，左正右负为极大值点，左负右正为极小值点，最后将驻点代入原函数得极值。2.简述矩阵可逆的充要条件。答案：\(n\)阶方阵\(A\)可逆的充要条件是\(\vertA\vert\neq0\)，此时\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^\)，\(A^\)为\(A\)的伴随矩阵。3.简述正态分布的性质。答案：正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)图像关于\(x=\mu\)对称，\(\mu\)决定对称轴位置，\(\sigma\)决定图像“胖瘦”，\(x=\mu\pm\sigma\)为其拐点横坐标，概率密度函数积分值为\(1\)。4.简述格林公式及其应用条件。答案：设闭区域\(D\)由分段光滑曲线\(L\)围成，\(P(x,y)\)，\(Q(x,y)\)在\(D\)上有一阶连续偏导数，则\(\oint_{L}Pdx+Qdy=\iint_{D}(\frac{\partialQ}{\partialx}-\frac{\partialP}{\partialy})dxdy\)。应用条件是\(D\)为闭区域，\(P\)、\(Q\)有连续偏导数。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论多元函数连续、可偏导、可微之间的关系。答案：可微能推出连续且可偏导，但连续不一定可偏导，可偏导也不一定连续，可偏导也不一定可微，可微是最强条件，连续与可偏导之间没有必然的推出关系。2.讨论线性方程组解的情况及判定方法。答案：对于线性方程组\(Ax=b\)，当\(r(A)=r(A,b)=n\)（\(n\)为未知数个数）时有唯一解；\(r(A)=r(A,b)\ltn\)有无穷多解；\(r(A)\neqr(A,b)\)无解。通过对增广矩阵\((A,b)\)初等行变换求秩来判定。3.讨论如何用导数研究函数的单调性和凹凸性。答案：用导数研究单调性，若\(f'(x)\gt0\)，函数在相应区间单调递增；\(f'(x)\lt0\)则单调递减。研究凹凸性，若\(f''(x)\gt0\)，函数图像下凸；\(f''(x)\lt0\)，函数图像上凸，拐点处\(f''(x)=0\)或不存在。4.讨论在实际问题中如何建立数学模型并求解。答案：先明确问题目标，分析相关因素，找出它们的数量关系，据此建立数学模型，如方程、函数等。再用相应数学方法求解模型，最后检验结果是否符合实际情况，若不符需调